二元復合重心有理插值

侯中麗，趙前進

（安徽理工大學理學院，安徽 淮南232001）

Thiele型有理插值常被用來逼近帶極點的函數，但是它難以避免極點和不可達點，也難以控制極點。Berrut，Baltensperger，Klein，Nguyen等對重心有理插值進行了深入的研究［2-15］，張玉武給出了二元重心有理插值的具體形式，插值節點較多并且是等距節點時，逼近效果不是很好。在文獻［1］中，Floater和Hormann通過在子節點集上構造插值多項式，然后用特定的權函數對這些插值多項式進行重心型的混合，構造了無極點高精度的復合重心有理插值。本文將文獻［1］中的方法推廣到矩形域上的二元復合重心有理插值。首先在小矩形域上構造二元重心有理插值，然后基于特定的權函數進行重心型的復合，構造二元復合重心有理插值，并且證明了其插值性質。最后，給出的數值例子說明了新方法的逼近效果。

1 二元復合重心有理插值

設矩形區域D＝（a，b）×（c，d），

對任意整數d1和d2（0≤d1≤m，0≤d2≤n），對于每個i＝0，1，2，…，m-d1，j＝0，1，2，…，n-d2，設Pij（x，y）為｛（xk，yq）｜k＝i，i＋1，…，i＋d1；q＝j，j＋1，…，j＋d2｝上的二元重心有理插值，對重心有理插值復合，構造二元有理函數

3 數值例子

圖1 被插值函數

圖2 m＝n＝10時的插值函數

圖3 m＝n＝10的誤差函數

圖4 m＝n＝20時的插值函數

表1 不同方法的最大誤差

例2 取函數f（x，y）＝e-x2-y2在區間［-1，1］×［-1，1］，m＝n＝50，d1＝d2＝5，用二元復合重心有理插值得到的最大絕對誤差為3．710172249e-04；用二元重心有理插值得到的最大絕對誤差為0．0054671356。可見新方法的插值效果優于（26）式的插值效果。

4 結論

本文給出矩形域上的二元復合重心有理插值，首先在每個小矩形域上構造二元重心有理插值，然后復合重心方法，構造出了二元復合重心有理插值，證明了二元復合重心有理插值無極點和不可達點，最后給出數值例子驗證了新方法的逼近效果。

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