居民消費價格指數兩種預測模型的比較

邢 珺，張 婷

（對外經濟貿易大學 國際經濟貿易學院，北京 100029）

0 引言

CPI是反映一定時期內居民購買生活消費品及服務支出費用價格變動的相對指標。通過CPI可以觀測居民生活消費品及服務項目價格的變化規律，為政府制定經濟政策，穩定物價水平、實現經濟增長、促進社會可持續發展提供科學的依據。

目前，我國的消費價格指數按對比基期不同，可以分為：以2000年價格為基期的指數（定基比），以上月價格為基期的指數（月環比），以上年同月價格為基期的指數（同期比），本年一月至報告期以上年同期價格為基期的指數（累計比）和以上年12月價格為基期的指數共五種。

謝佳利，楊善朝，梁鑫（2008）運用時間序列的幾個不同模型，對我國居民消費價格指數（CPI）的變化規律進行了比較研究，通過對我國2001年1月到2007年8月的CPI值建立帶有季節趨勢的ARIMA模型，并將該模型的相對誤差控制在1%以內。郭海(2011)在考慮傳統假期因素的基礎上,對用同期環比數據進行預測的結果進行修正。董梅(2011)通過建立VAR模型,從影響CPI的因素著手，對未來36個月的CPI走勢進行定量預測，其結論為不會發生大規模通貨膨脹。肖曼君等(2008)通過建立ARIMA模型分析，分析了1990～2007年的通貨膨脹同期比數據，結果表明居民消費價格指數數據具有較長的滯后性。

之前學者對于CPI居民價格指數建立的ARIMA模型，由于其使用數據期限較短，所以避免了ARIMA模型在預測期限較長數據時的偏理性。然而，CPI左右衡量經濟社會的重要指標，其隨時間、季節等的變化而變化，故對CPI的趨勢分析，應采取適宜較長期限結構的模型。基于此，本文將采用目前國家統計局公布的我國1990年1月至2014年的6月同期比月度數據，綜合考慮數據的趨勢性與季節性，建立具有季節調整的SARIMA模型與X-12-ARIMA模型進行預測分析，并驗證相對于SARIMA模型，X-12-ARIMA調整模型在短期內具有較高的預測精度。

1 模型介紹

1.1 SARIMA模型

SARIMA模型（Seasonal Auto-regressive Integrated Mov ing Average，季節性差分自回歸移動平均模型）是一種時間序列預測分析方法，它來源于自回歸單整移動平均模型（ARIMA），能夠采用Box-Jenkins的模型識別，估計和預測程序，能保障模型的預測精度而且很容易應用于實時預測。SARIMA模型的一般形式為:

Φ(B)Φ(BS)(1-B)d(1-BS)Dyt=c+θ(B)Θ(BS)εT

其中，S和D分別表示階級周期的長度和季節差分的階數；BS表示季節后移算子；Φ(BS)=1-Φ1BS)-...-ΦPBSP；Θ(BS)=1-Θ1BS)-...-ΘPBSP，P和Q的含義分別與ARIMA模型中的p與q的含義相同。上式所表示的SARIMA模型被記為SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S模型。

運用ARMA模型的前提條件是時間序列為零均值的平穩隨機過程。對于包含趨勢性或季節性的非平穩時間序列，需要經過適當的逐期差分及季節差分消除趨勢影響，再對形成的新的平穩序列建立ARMA(p，q)模型進行分析。對于只包含趨勢性的原序列，可表示為ARIMA(p,d,q)模型(求和自回歸移動平均模型)，如果原序列同時包含趨勢性和季節性，則可表示為SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型(乘積季節ARIMA模型)，d、D分別為逐期差分和季節差分的階數，p、q分別為自回歸和移動平均的階數,P、Q分別為季節自回歸和季節移動平均的階數。

1.2 X-12-ARIMA季節調整模型

季節調整問題最初是在1919年由美國的經濟學家提出的。1931年Macauley提出用移動平均比率法進行季節調整，成為了季節調整方法的基礎。1954年，Shiskin在美國普查局首先開發出在可計算機上運行的程序，對時間序列進行季節調整，被稱為X-1。此后，季節調整的方法每改進一次都以X加序號表示。

季節調整方法基于構成因素分解剔除原始數據中季節性因素，美國的X-11程序以及它的升級版本X-12-ARIMA程序使用最為廣泛。在這些季節調整程序中，經濟時間序列常常被分解為幾個相互正交的構成因素：趨勢--循環因素、季節因素和不規則因素。常用的主要有乘法模型、加法模型、對數加法模型以及擬加法模型等四種模型。

X-12方法的基本思路是假設時間序列Yt有趨勢Tt—Trend、循環Ct-Cycle、季節St-Seasonal和不規則項It-Irregular等四部分的組成元素。為從Yt中消除季節因素St的影響，X-12采用了移動平均的方法。為改善序列Yt兩端的不對稱情況，加拿大統計局對X-12方法進行了改進，提出了X-12-ARIMA方法，也就是在采用X-12方法前，先使用ARIMA模型對序列Yt的兩端進行了延伸。

由于X-12方法具有上述強大的季節調整功能，我們將嘗試使用X-12季節調整方法對我國的消費價格指數作季節調整，并對居民消費價格指數進行預測。

2 實證分析

2.1 數據及變量說明

本文采取國家統計局公布的我國1990年1月至2014年6月的同期比月度數據，以1990年1月至2013年12月的數據為樣本建立SARIMA模型與X-12季節調整模型，用2014年1月至2014年6月這6個月的數據為參照數據，用SARIMA模型與X-12季節調整模型進行預測，與真實數據比較，分析對比兩種模型的預測精確度。

2.2 模型對比分析

2.2.1 SARIMA模型的擬合

（1）對原始數據進行平穩性檢驗

采用Eviews6.0軟件，對同期比數據進行平穩性檢驗。主要采用兩種方法檢驗該數據平穩性。一是直接觀察序列的時序圖（如圖1，圖2），可以看出該數據有一定的趨勢，并且伴有季節波動；二是進行單位根檢驗，即ADF統計量檢驗，ADF統計量為-0.83，大于10%顯著性水平下的臨界值水平-1.61，即接受原單位根假設，原始數據CPI不平穩。依據以上兩種方法檢驗均可判斷該序列是非平穩的。

從圖1可以看出，CPI在1994年下半年到1995年之間，發生了較快增長，隨后從1995年下半年開始，CPI逐步下降，直到1998年開始，CPI微幅增長，到2004年至2005年，CPI遭遇小高峰，至2007年達到近些年來的最高點，隨后下降，2013年又有上升趨勢。

圖1 同期比居民消費價格指數時序圖

圖2 序列CPI的相關圖

（2）數據平穩化處理

從圖中可以看到數據有一定下降的趨勢，并伴隨季節趨勢，所以對數據先進行一階普通差分，再進行十二步季節差分（即作d(CPI,1,12)變換），從而消除序列的長期趨勢和季節波動，最終使數據平穩。經過這樣的處理，數據的單位根檢驗結果如下：ADF單位根-6.69，小于1%顯著性水平下的臨界值-3.46，則拒絕原單位根假設，即處理后的數據不存在單位根，該數據平穩。

（3）模型的識別，定階與參數估計

對于模型的識別，方法是觀察平穩后的序列的相關圖，如圖2所示，該序列一，二階偏自相關較高及相關系數較高，并且數據仍然具有一定的季節相關，因為滯后十二階、滯后二十四階與滯后三十六階的AC值與PAC值明顯增大。

可以判斷該序列可能適應以下幾種模型，分別對可能的模型進行估計，并做適應性檢驗，即觀察殘差序列是否為白噪聲。通過檢驗分析，下列四種模型既可以通過參數顯著性檢驗，又可以通過適應性檢驗，結果指標對比見表1。

圖3 序列d(CPI,1,12)的相關圖

表1 不同階數模型的比較

上述模型對比得出，模型四AIC值最小，故模型四優于其他三個模型此時，AIC值最小，調整后的R2值最大，DW值接近2。得出的參數估計結果如下：

(1+0.93B)(1-0.719B12-0.367B24)(1-B)(1-B12)CPIt=-0.014+(1-0.394B-0.203B2)(1-0.886B12)Ut t=(25.61)(-13.62)(-7.85)(-0.75)(-5.56)(-3.23)(-9639.56)

（4）模型的擬合性檢驗及預測

為更進一步確定模型選擇是否最優，需要進行擬合檢驗，方法是選擇1990年1月到2013年12月的樣本數據回歸上述確定的模型，SARIMA(1,1,2)(2,1,1)12。然后利用模型預測2014年1月到2014年6月（共6個月）的數值并與已有的真值比較，觀察預測值與真實值的偏離程度，從而確定模型的擬合效果。通過計算可得這6個月預測誤差在10%以內，該模型的擬合效果一般好。預測結果見表2。

表2 2014年1～6月預測值

通過表2的預測結果，可以看到SARIMA模型預測結果存在一定的系統性偏差，預測結果低于實際值，可能因為模型選擇主觀性較強，且SARIMA適用于短期預測，對于稍長數據期限則導致預測精度下降。對于樣本量的變化模型選擇比較敏感。

2.2.2 X-12季節調整分析

時間序列數據是隨時間變化記錄的，它的變動是綜合因素影響的結果，尤其是特殊時間段的影響，比如星期因素、節假日因素、季節因素等。X-12就是分解時間序列季節趨勢，長期趨勢以及不規則變動的一種重要方法，對居民消費價格指數的研究，也可以采用X-12分析，并在分析的基礎上進行預測。對于影響時間序列的各因素綜合作用的形式，通常有乘法模型、加法模型以及混合模型三種，其中乘法模型是最常用的。本文采用乘法模型，即CPI=T*S*I，其中T為長期趨勢，S為季節因素，I為不規則變動。

通過軟件內置運算程序可以對數據進行分解，關鍵是如何預測。預測總的思想是：通過軟件將原始序列分解為CPI_SA（季節調整后的序列，也即長期趨勢），CPI_SF（季節因子，也即季節因素），CPI_IR（不規則變動），然后分別對這三個被拆分的序列進行預測得SAF，SFF，IRF，最終CPI的預測值CPI=SAF*SFF*IRF。由于季節因子相對穩定，故SFF選擇上年同期的季節因子值，下面著重預測SAF與IRF。

（1）長期趨勢SAF的預測。

從長期趨勢CPI_SA的時間序列圖中可以看出曲線近似于一條拋物線，所以對數據進行拋物線擬合，得出結果如下：

可以看出雖然系數通過了檢驗，R2值較低，DW值接近于0，該模型明顯存在自相關。故在模型中引入AR(1)，重新估計，得到的結果中T2的系數不顯著，將T2去除后估計結果如下：可以看出擬合效果很好，模型的自相關得到了消除，并且對殘差做ADF檢驗知殘差是平穩的，證明CPI_SA與時間T之間的相關關系是協整的：

最終確定模型為：

根據此模型對2014年1月到2014年6月的數據進行預測，預測結果見表3：

表3 CPI_SA的預測值

（2）不規則變動的預測.

通過觀察不規則變動序列CPI_IR的相關圖，可以看出其非白噪聲。

從相關圖還可以看出，該序列與其自身滯后十二階的自相關系數和偏相關系數均比較大，且其滯后一階和二階自相關和偏自相關系數較大，經過模型試算，最終采取模型如下：

CPIt=1.00+(1-0.2655B2)(1-0.5193B12)et

圖4 序列CPI_IR的相關圖

t=（14463）（-4.191）（-8.956）

DW=2.1 F=45.51 R2=0.29

根據選擇的模型對2014年1月到2014年6月的數據進行預測，預測結果見表4：

表4 不規則變動的預測值

（3）對CPI的預測

季節調整因子假設不變，故采取2013年的季節調整因子如表5所示：

表5 季節調整因子的預測值

根據以上的預測值對最終的CPI預測CPIF=SAF*SFF*IRF，得如下：

表6 X-12方法最終預測值

2.3 模型評價

兩種方法對于原始序列的擬合效果都不錯，都是可選的。從理論上來講，SARIMA模型對于數據的擬合采取方式為提取樣本數據包含時間信息，而X-12可以更好的刻畫建立數據長期趨勢模型，提取季節因子，對于不規則變動部分采取ARIMA模型的方式來估測數據，對數據的處理更完善，且更加穩定，從本例的預測值來看，SARIMA模型的預測誤差在8%-9%之間，而X-12季節調整模型的預測誤差在2.0%以內，其預測精度更高。下圖為兩種方法預測值的比較，從下圖可以看出，SARIMA模型對于居民消費價格指數的估計，容易存在系統性偏差，如在本文中，SARIMA模型的估算結果，穩定的小于真實值，而X-12季節調整模型的估算結果，則與真實值服從相同的波動，故對于時間期限較長的數據，采用X-12季節調整模型容易得到更精確的估計結果。

圖5 兩種模型預測準確度比較

3 結論

價格指數時間序列通常不僅受到趨勢性的影響，更主要的是受季節性成分的影響，目前主要采用ARIMA或者考慮季節調整的SARIMA模型進行預測。雖然SARIMA模型短期預測精度很高，預測值的相對誤差可以控制在1%以內，但是隨著時間序列數據的跨期增多，其長期預測效果一般，相對誤差范圍在10%以內。故可以采用X-12季節調整方法直接對價格指數類時間序列數據進行預測，該方法盡管一直以來被用來處理時間序列的原始數據，真正應用于預測的并不多，但通過本文的分析可以看到，直接采用X-12季節調整模型對于中長期數據的預測效果較好，其相對誤差控制在2%以內。2014年，預計我國短期內將不會出現CPI的大幅波動，且CPI將高于同期比數據，短期內我國消費價格指數也不會出現大幅回落的情況，高于去年同期比的物價水平將持續一段時間。

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