有限維Hil bert空間中框架的最大魯棒性擦除

潘建麗，朱玉燦

（福州大學數學與計算機科學學院，福建 福州 350116）

0 引言

為研究非調和傅里葉級數的某些問題，Duffin和Schaeff er［1］于1952年引入了Hil bert空間中的框架，但當時并沒有引起人們的重視．直到1986年，Daubechies，Gross mann和Meyer［2］對框架進行重新研究，并展現了框架在數據處理中的重要性．不管是在數學理論上，還是在實際應用中框架都有著重要的應用，如信號和圖像處理、信號采樣、數字通訊等領域．

由于框架在實際問題中的應用大部分都表現在有限維向量空間中，因此，國內外有許多學者對有限維框架進行一些深入、系統的研究［3－4］．Casazza，Rolli等對有限維Hil bert空間中框架、緊框架的構造進行研究［5－10］．框架是標準正交基的推廣，它的向量組是線性相關的，即框架具有冗余性．正是框架的冗余性，使得框架有著重要的應用．框架的冗余性具有兩個優點：靈活性和魯棒性．靈活性允許它構造一個框架來適應一個特定的問題．魯棒性，即在傳播信息時，丟失的信息可以得到還原，還可以減輕信號中噪聲的影響．緊框架比一般框架具有更簡單的算法和重構公式等，這使得緊框架更有效用．因此，如何根據具體問題構造相應的緊框架顯得特別重要．Casszza和Puschel分別在文獻［5－6］中提到了有關構造緊框架的方法．但是，其結論和證明存在問題．

本文主要對文獻［5－6］進行討論并指出其存在的問題，通過對文獻［5－6］中存在的問題進行一些處理，得到Cn的最大魯棒性擦除的等模、實緊框架．

本文都采用如下的記號：

設m，n，k為正整數，Hn表示n維復（或實）的Hil bert空間；Mm，k表示m×k矩陣的全體；Mm表示m階方陣的全體；記In為n階單位矩陣，矩陣Jn是矩陣In中所有列的倒序的矩陣；矩陣A＊表示矩陣A的共軛轉置矩陣；用M［I］表示由矩陣M中下標在集合I中的所有列組成的矩陣，其中I?｛0，1，…，m－1｝．Cn表示n維復向量空間，Rn表示n維實向量空間，Cn和Rn中的向量都看作行向量．

定義1 向量組｛fk｝km1?Hn稱為Hn的框架，如果存在正數A，B，使對任意f∈Hn，有＝

成立．A，B分別稱為框架的下界，上界．若A＝B，則稱｛fk｝km＝1為Hn的緊框架．若存在a＞0，使得fk＝a，（k＝1，…，m），則稱｛fkm｝k＝1為 Hn的等模框架．

定義2 設｛fk｝km1是Hn中的框架，若對任意指標集I?｛1，2，…，m｝，＝r，向量組｛fk｝k∈IC仍是Hn的框架，則稱框架｛fk｝km＝1具有r擦除魯棒性．特別地，若對任意指標集J?｛1，2，…，m｝，＝m－n，向量組｛fk｝k∈JC仍是Hn的框架，則稱框架｛fk｝km＝1為最大魯棒性擦除框架．

由上面表達式可知：在Cn的標準正交基｛εk｝nk＝1和Cm的標準正交基｛ek｝km＝1下，框架F＝ ｛fk｝km＝1的預框架算子TF和合成算子TF＊對應的矩陣分別為m×n矩陣和n×m矩陣，即

框架算子為矩陣S＝TF＊TF．

引理1［3］框架F ＝ ｛fk｝km＝1是Cn的緊框架當且僅當TF＊TF＝a In，常數a≠0．

引理2［6］設Hn中的框架F ＝ ｛fk｝km＝1的預框架算子的對應矩陣為TF，假設下面所有矩陣的乘積有意義．

1）如果F為Hn的最大魯棒性擦除框架，那么對任意可逆對角矩陣D和任意可逆矩陣U，矩陣DTFU的行向量組成的向量組為Hn的最大魯棒性擦除框架．

2）如果F為Hn的緊框架，那么對任意的酉矩陣U，V和常數a≠0，矩陣a UTFV的行向量組成的向量組為Hn的緊框架．

3）如果F為Hn的等模框架，那么對任意對角酉矩陣D，酉矩陣U和常數a≠0，矩陣a DTFU的行向量組成的向量組為Hn的等模框架．

引理3［6］設m≥n，那么矩陣T＝（DFTm）［0，1，…，n－1］的行向量所構成的向量組是Cn的最大魯棒性擦除的等模、緊框架，其中DFTm＝［ωkl］∈Mm，ω＝．

注 下面引理為文獻［6］中的引理6，但其證明過程存在問題，我們重新處理．

引理4［6］設m≥n，則矩陣F＝ （DFTm）［0，1，…，n－k－1，m－k，…，m－1］的行向量構成的向量組是Cn的最大魯棒性擦除的等模、緊框架，其中矩陣DFTm＝［ωkl］∈Mm，ω＝．

其中：Dm為m階對角方陣，且Dm＝diag（ 1，ω－1，…，ω－（m－1））．因為：

而Dkm為對角酉矩陣，Zn－km為酉矩陣，由引理2和引理3知矩陣F的行向量構成的向量組是Cn的最大魯棒性擦除的等模、緊框架．

1 問題的提出

我們知道，從離散傅里葉變換DFTm＝［ωkl］∈Mm，ω＝中任取n列所構成的新矩陣，以新矩陣的行構成的向量組是Cn的一個框架．文獻［5－6］中提出將新矩陣與一個酉矩陣作乘積之后，可以得到Cn的一個實框架，但作者在證明過程中存在一些問題．

文獻［6］中給出如下結論：

通過驗證得到：

1）矩陣（DFTm）［0，1，…，k，m－k，m－k＋1，…，m－1］Un≠ ［P，Q］；

2）矩陣（DFTm）［0，1，…，k，m－k，m－k＋1，…，m－1］Un的行向量構成的向量組不是Cn的緊框架；

3）矩陣［P，Q］的行向量構成的向量組也不是Cn的緊框架．

事實上，考慮特殊情況，取m＝4，k＝1，則n＝3．

1）直接計算得到，矩陣

即取m＝4，k＝1，n＝3，有：（DFTm）［0，1，…，k，m－k，m－k＋1，…，m－1］Un≠ ［P，Q］．

定理2［5］令1≤k≤和n＝2k，那么矩陣的行向量構成的向量組是Cn的最大魯棒性擦除的等模、實緊框架，其中矩陣

1）矩陣 ［0，1，…，k－1，m－k，m－k＋1，…，m－1］Vn≠ ［A，B］；

3）矩陣［A，B］的行向量構成的向量組不是Cn的緊框架．

2 主要結論

針對前面的問題重新處理給出相應正確的結論，即本文的主要結論．

證明 記矩陣

當0≤p≤m－1，q＝0時，apq＝×1 ＝．當0≤p≤m－1，1≤q≤k時，

當0≤p≤m－1，k＋1≤q≤2k時，

從而矩陣

其中：ET＝ （1，…，1）∈Rm．

由引理4知，矩陣（DFTm）［0，1，…，k，m－k，m－k＋1…，m－1］的行向量構成的向量組是Cn的最大魯棒性擦除的等模、緊框架．因為Un是酉矩陣，由引理2可知，｛fk｝km＝－10為Cn的最大魯棒性擦除的等模、實緊框架．

由于向量組｛fk｝km＝－10是實的向量組，根據框架的定義，得到｛fk｝km＝－10也是Rn的最大魯棒性擦除的等模、緊框架．

證明 記矩陣

當0≤p≤m－1，1≤q≤k時，

當0≤p≤m－1，k＋1≤q≤2k時，

從而有

因為矩陣

其中：Λ為m階對角酉矩陣，且Λ＝diag ［1，eimπ，ei2mπ，…，ei（m－m1）π］，從而矩陣

由引理4可知，矩陣（DFTm）［0，1，…，k－1，m－k，m－k＋1，…，m－1］的行向量構成的向量組是Cn中的最大魯棒性擦除的等模、緊框架．因為Λ為對角酉矩陣，Vn是酉矩陣，由引理2可知，｛gk｝m－1k＝0為Cn的最大魯棒性擦除的等模、實緊框架．

由于向量組｛gk｝km＝－10是實的向量組，根據框架的定義，得到｛gk｝km＝－10也是Rn的最大魯棒性擦除的等模、緊框架．

注 在定理3和定理4中，當m＝n時，矩陣DFTm＝［ωkl］∈Mm的行向量構成的向量組｛φk｝km＝－10 是Cn的一組正交基，矩陣F＝ （DFTm）Un的行向量構成的向量組｛fk｝km＝－10，其中fk＝φkUn．因為 fk＝φkUn＝ φk，〈fk，fl〉＝ 〈φkUn，φlUn〉＝ 〈φk，φlUnUn＊〉＝ 〈φk，φl〉，從而向量組｛fk｝km＝－10是Cn的一組正交基，由于向量組｛fk｝km＝－10是實的向量組，所以向量組｛fk｝km＝－10是Rn的一組正交基．同理有，矩陣＝∈Mm的行向量構成的向量組是Cn的一組正交基，矩陣F＝ ）Vn的行向量構成的向量組是Rn的一組正交基．

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