分裂廣義均衡問題及其收斂算法

陳玉清，黃建華

(福州大學數學與計算機科學學院，福建福州 350116)

0 引言

設E1和E2是兩個實的Banach空間，C和Q分別是E1和E2的兩個非空閉凸子集．設f:C×C→R，g:Q×Q→R是二元泛函，A:E1→E2是有界線性算子，F:C→E1是α－逆強單調算子，S:Q→E2是β－逆強單調算子．所謂分裂廣義均衡問題(SGEP)是求一x*∈C，使得，

且使得u*:=Ax*∈Q滿足，

單獨觀察問題(1)，它是一個廣義均衡問題．廣義均衡問題是一個十分熱點的問題，近年來，眾多學者對其進行了大量的研究并取得了許多有意義的成果．而分裂廣義均衡問題研究的是一個廣義均衡問題的解在給定的有界算子下的像是另一個廣義均衡問題的解．分裂可行問題(SFP)、分裂最優化問題、分裂變分不等式問題(SVIP)、分裂均衡問題(SEP)等都是分裂廣義均衡問題的特殊情況．其中分裂可行問題可應用于圖像修復、信號處理、強度調解放射性治療(IMRT)模型中．分裂最優化問題可廣泛應用于兩個不同空間中的優化問題．

本文針對SGEP問題提出三種不同的算法，并證明由這些算法構造的迭代序列弱收斂或強收斂于分裂廣義均衡問題的解．所得的結果推廣了文［1］等相關結論．

1 預備知識

以下恒設H是一實的Hilbert空間，C是H之中非空的閉凸子集，分別用〈·，·〉和 ·表示H上的內積和范數，用N和R分別表示正整數集和實數集，“→”和“——w→”分別表示強收斂和弱收斂．

定義1 映像S:C→C稱為非擴張的，如果 Sx－Sy≤ x－y，?x，y∈C．記F(S)為S的不動點集，即F(S)={x∈C=S(x )}．

定義2 映像A:H→H稱為逆強單調的，如果存在α＞0，使得易見，如果映像S是非擴張的，則I－S是－逆強單調的．

定義3 映像T:H→H稱為穩定非擴張的(firmly nonexpansive)，如果?x，y∈H有

定義4 映像T:H→H稱為穩定擬非擴張的(firmly quasi－nonexpansive)，如果?x∈H，q∈F(T)有，Tx－q2≤ x－q2－ x－Tx2．

容易看出:1)T是穩定非擴張的? Tx－Ty2≤〈Tx－Ty，x－y〉，?x，y∈H;

2)如果T是穩定非擴張的，則T是非擴張的．

定義5 設C是H之一閉凸子集，f:C×C→R是一個二元泛函，假設f滿足下列條件［2］:

(A1)對所有的x∈C，f(x，x)=0;

(A2)f是單調的，即，f(x，y)+f(y，x)≤0，?x，y∈C;

(A4)對任意的x∈C，y|→f(x，y)是凸的和弱下半連續的．

引理1［3］設C是H之一閉凸子集，f:C×C→R為滿足(A1)～(A4)的二元泛函，對r＞0及x∈H，定義映像Tfr:

1)Tfr是單值的;

2)Tfr是穩定非擴張的(firmly nonexpansive)，即，

3)F(Tfr)=EP(f);

4)EP(f)是閉凸的．

引理2［4］設C是H之一閉凸子集，且S:C→C是非擴張映像，則映像I－S在原點是半閉的．即{xn}?C，{xn}x，且xn－Sxn→0時，有x=S(x)．

引理3［5］設{xn}和{zn}是Banach空間E中的有界序列，{γn}?(0，1)且:0＜γn≤γn＜1．假設xn+1= γnxn+(1－γn)zn，n＞0以及(zn+1－zn－ xn+1－xn)≤0，那么zn－ xn=0．

自我是人性的必然組成部分，但是，這一代小孩為什么會唯我獨尊到目空一切的程度呢？我想，很大原因就是，我們大部分家庭中，孩子的情緒、利益和需要都受到了父母的空前尊重。從小孩出生開始，就營造了一種氛圍——孩子，你是家庭的核心，我們做的一切都是為了你。

一個Banach空間滿足Opial條件，如果對X中的任意序列{xn}，xnx，則

任一Hilbert空間滿足Opial條件．設H是一實的Hilbert空間，則任給x，y∈H，有

2 主要結果

條件1 設H1和H2是兩個實的Hilbert空間，C和Q分別是H1和H2的兩個非空閉凸子集．設f:C×C→R，g:Q×Q→R滿足條件(A1)～(A4)，A:H1→H2為有界線性算子．假設F:C→H1為α－逆強單調算子，S:Q→H2為β－逆強單調算子．

記U=Tfr(I－r FPC)，T=Tgr(I－r SPQ)，r∈(0，a)，a=min{2α，2β，1}，μ∈(0，1/L)，L是算子A*A的譜半徑，A*是A的共軛算子．

算法1 任給初始點

算法2 任給初始點x1∈C，αk∈(0，1)．

算法3 任給初始點

其中

定理1 在條件1下，如果Ω:={x∈EP(f，F)，Ax∈EP(g，S)}≠φ．那么由算法1產生的序列{xk}弱收斂于Ω中某一點x*．

證明 由引理1關于Tf

r的定義可知:對r＞0及x∈H．

因此 EP(f，F)=F(Tfr(I－rF )) ，同理可知EP(g，S)=F(Tgr(I－rS )) ．類似的，對r＞0及x∈H，

設z∈Ω，則z∈EP(f，F)且Az∈EP(g，S)，z∈C，Az∈Q那么

對任意的x，y∈C，由F是α－逆強單調的、r∈(0，a)知:

故I－r FPC是非擴張的，同理可證I－r SPQ是非擴張的，從而U、T也都是非擴張映像．由算法1可得:

由式(4)、(8)及T是非擴張的知:

又因

結合式(10)～(11)，可得:因為μ∈(0，1/L)，所以 xk+1－z2≤ xk－z2，于是xk－z 存在．

令 uk=xk－ μA*(I－T)Axk，則 ukj=xkj－ μA*(I－T)Axkj．因為 xkjx*，所以ukjx*．

下面證明x*∈EP(f，F)．若x*?EP(f，F)，則x*≠ Tfr(I－rF)x*，由于x*∈C故x*≠Tfr(I－r FPC)x*，因此Ux*≠x*．因U是非擴張的，故U－I是半閉的，所以

于是，存在某個ε＞0及{ukj}的子列{ukjs}使得對所有的s≥0，有 Uukjs－ukjs＞ε．

由于U是穩定非擴張的，又因z∈F(U)，故

同時由式(9)～(12)知 xk+1－z≤ xk－μA*(I－T)Axk－z= uk－z≤ xk－z．根據式(13)有，

從上式我們得出 {ukjs－z }是單調遞減的，故ukjs－z存在．另一方面，由式(13)～(14)知ukj－z2＜ ukjss+1－z－ε2，故存在矛盾，假設不成立，即x*∈EP(f，F)，所以x*∈Ω．

下證xkx*，假設存在{xk}的子列{xks}，使得xksp，且x*≠p．則根據Opial條件有，

矛盾．因此x*=p，所以{xk}弱收斂于x*∈Ω．定理得證．

收斂于某一點x*∈Ω．為證明定理2，我們先證明下面的引理．

引理4 定理2中的U［I－μA*(I－T)A］是非擴張映像．

證明 由于T是非擴張的，

因T是非擴張的，故I－T是1－逆強單調的，因此2

聯立式(15)～(16)知:

因μ∈(0，1/L)，所以 ［I－μA*(I－T)A］x－［I－μA*(I－T)A］y2≤ x－y2．所以I－μA*(IT)A是非擴張的，又因U是非擴張的，故U［I－μA*(I－T)］A是非擴張映像．

定理2的證明:設z∈Ω，則z∈EP(f，F)且Az∈EP(g，S)．由式(8)知z=Uz且Az=T(Az)．從而根據式(3)以及U非擴張知:

由式(10)～(11)可得式(17)等價于下面的式子:

故 xk+1－z2≤ xk－z2，所以xk－z存在．又由式(18)可得，

令zk=U(xk－μA*(I－T)Axk)，uk=xk－μA*(I－T)Axk，由式(17)～(18)知:

另外由式(3)有，

從而根據式(19)～(20)得知:0≤(1－αk)( xk－z2－ zk－z2)≤ xk－z2－ xk+1－z2．

所以序列{xk}是Cauchy列，設xk→x*．易得T(Ax*)=Ax*，Ax*∈EP(g，S)．

下面證明x*∈EP(f，F)．若x*?EP(f，F)，類似于定理1可知存在某個ε＞0及{uk}的子列{ukj}使得對所有的s≥0有

由 xk+1－z2≤ xk－z2及式(20)、(21)、(4)可得:

定理3 在條件1下，假設Ω:={x∈EP(f，F)，Ax∈EP(g，S)}≠φ．序列{xk}由算法3產生，且 {αk}? (0，1)，{βk}? (0，1)，{γk}?(0，1)滿足:

證明 設z∈Ω，則z∈EP(f，F)且Az∈EP(g，S)．由式(8)知z=Uz且Az=T(Az)．令zk=

因此由式(3)、(23)知:

于是序列{xk}有界，序列{zk}、{uk}也是有界的．

又因U是非擴張的，即得:

T gr(I－r SPQ)Ax*=Tgr(I－rS)Ax*，所以Ax*∈EP(g，S)．

下面證明x*∈EP(f，F)．若x*?EP(f，F)，類似于定理1可知，存在某個ε＞0及{uk}的子列{ukj}使得對所有的s≥0有

于是根據式(23)、(25)可得:

例1 設E1=E2=R，C=［2，+∞)，Q=［6，+∞)．假設Ax=3x，Fx=2x，Su=2u以及f(x，y)=2(y－x)，g(u，v)=v－u，則問題(1)和(2)可分別重寫為2(y－x)+2x(y－x)≥0和v－u+2u(vu)≥0，容易看出EP(f，F)={2}，且A(2)=6∈EP(g，S)，所以2∈Ω．

［1］He Zhenhua．The split equilibrium problem and its convergence algorithms［EB/OL］．［2012 －07 －20］．http://www．journalofinequalitiesandapplications．com/content/2012/1/162．

［2］Blum E，Oettli W．From optimization and variational inequalities to equilibrium problems［J］．Studia Mathematica，1994，63:123－145．

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