（u，v）冪等矩陣與本質(zhì)（m，l）冪等矩陣

林志興，楊忠鵬，陳梅香，2，陳智雄，陳少瓊

（1．莆田學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 莆田 351100；2．福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350007；3．華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510640）

0 引言

設(shè)Fn×n為數(shù)域F上n×n矩陣的集合，C為復(fù)數(shù)域，In為n×n單位矩陣．r（A）和mA（x）分別表示A∈Fn×n的秩和最小多項(xiàng)式．設(shè)N為非負(fù)整數(shù)集合且［p1，…，pk］為非零的p1，…，pk∈N的最小公倍數(shù)．使λk＝1，（λ∈C），成立的最小正整數(shù)k稱為單位根λ的階，記為．總約定ε0，ε1，…，εu－v－1為所有u－v次單位根，這里u，v∈N，u＞v．

若正整數(shù)u∈N使Au＝A，稱A為u冪等的．文［1－7］研究了u冪等矩陣與秩的有關(guān)問(wèn)題．若u，v∈N，u＞v，使Au＝Av，稱A為（u，v）冪等矩陣［8－9］．記Pn（u，v）（F）＝ ｛AA∈Fn×n，Au＝Av｝．顯然Pn（u，0）（F）、Pn（u，1）（F）分別是通常的u冪幺、u冪等矩陣集合．文［8］、［10］給出了（u，v）冪等矩陣秩的等式．

命題1［9］設(shè)A∈Fn×n，u，v∈N 且u ＞v，則

命題2［12］設(shè)A∈Pn（u，v）（F），則A相似于準(zhǔn)對(duì)角矩陣diag（M，ε0In0，ε1In1，…，εu－v－1Inu－v－1），其中：M為由型Jordan塊構(gòu)成的準(zhǔn)對(duì)角矩陣，且它們最大階數(shù)不超過(guò)v；ni＝n－r（A－εiIn），i＝0，1，…，u－v－1．

由文［2］得到了3冪等矩陣的一個(gè)重要性質(zhì)：

顯然冪等矩陣是3冪等的．為了區(qū)別這種情況，文［13－14］給出了本質(zhì)3冪等矩陣的定義，即滿足A3＝A≠A2（即（3）式中B，C都非零）的A．

設(shè)A∈Fn×n，若有最小正整數(shù)m使m＞l（∈N）且Am＝Al成立，稱A為本質(zhì)（m，l）冪等矩陣，記A∈EPn（m，l）（F）．可 見(jiàn) 例1中A∈EP3（3，2）（F）為本質(zhì)（3，2）冪等的．由文［15－16］知EPn（m，0）（F）、EPn（m，1）（F）分別為本質(zhì)m冪幺矩陣、本質(zhì)m冪等矩陣集合．

由文［9］知冪等性與數(shù)域擴(kuò)大無(wú)關(guān)，因此當(dāng)A∈Fn×n時(shí)，A∈Pn（u，v）（F）（EPn（m，l）（F））當(dāng)且僅當(dāng)A∈Pn（u，v）（C）（EPn（m，l）（C））．這樣只要考慮A∈Cn×n．

以下總設(shè)A∈Cn×n的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形滿足

當(dāng)ni＝1時(shí)，約定Jor dan塊是1階矩陣；因此1階冪零的Jor dan塊N1＝0∈C．

滿足r（Al）＝r（Al＋1）的最小l∈N 稱為矩陣A 的指數(shù)，記ind A［17－18］．文［15－16］證明當(dāng)A∈Cn×n所有特征值為零時(shí)，A∈EPn（m，l）（C）?l＝n1且m＝l＋1；此時(shí)l＝n1＝ind A（由文［17］知ind A＝0?A是可逆的；當(dāng)A∈Pn（u，v）（C）且r（A）＝n時(shí)，必有Au－v＝In．由于文［5］、［19］討論了這種情況．因此只考慮非冪零且不可逆的情況，總有式（4）～（6）滿足1≤t＜s且1≤ind A．

文［15－16］繼承了文［13－14］嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，但宋小力［12］認(rèn)為此時(shí)涉及Jordan標(biāo)準(zhǔn)形等計(jì)算是復(fù)雜的，實(shí)際使用不方便．為此 ［12］刪除了對(duì)（u，v）冪等矩陣u最小性的限制．

眾所周知，Jor dan標(biāo)準(zhǔn)形是矩陣?yán)碚摷皯?yīng)用的有效工具．Horn和Johnson指出：“雖然推導(dǎo)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程是一個(gè)明確的算法，它在原則上可以用來(lái)計(jì)算一個(gè)已知矩陣的Jor dan標(biāo)準(zhǔn)形，但是絕對(duì)不能指望用計(jì)算機(jī)對(duì)它自動(dòng)實(shí)施數(shù)值計(jì)算．實(shí)際上并沒(méi)有一個(gè)計(jì)算Jor dan標(biāo)準(zhǔn)形的數(shù)值方法．”［20］

本文證明了（u，v）冪等矩陣與本質(zhì)（m，l）冪等矩陣的互相確定關(guān)系．由此不依賴通常的Jor dan標(biāo)準(zhǔn)形的算法，只應(yīng)用矩陣方冪的秩和u－v次單位根εi所確定的矩陣秩，完全準(zhǔn)確地給出（u，v）冪等矩陣的Jor dan標(biāo)準(zhǔn)形；進(jìn)而得到了以矩陣秩為基本工具的判定（u1，v1）冪等矩陣與（u2，v2）冪等矩陣相似的充分必要條件．

1 預(yù)備知識(shí)

引理1［21］設(shè)A ∈Cn×n，則

引理3 設(shè)A∈Cn×n，則ind A≥1?存在正整數(shù)l使得r（Al－1）＞r（Al），并且對(duì)任何r≥l，均有r（Ar）＝r（Al）．

證明 由矩陣指數(shù)的定義知必要性成立．

充分性：如果存在正整數(shù)l使得r（Al－1）＞r（Al），并且對(duì)任何r≥l，均有r（Ar）＝r（Al）．那么，顯然有ind A＝l≥1．證畢．

引理2說(shuō)明矩陣指數(shù)是其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中冪零Jordan塊的最大階數(shù)（由此可得文［21］的冪零矩陣結(jié)論）．

引理4 設(shè)A∈Cn×n所有不同特征值為μ1，μ2，…，μk，dj是μj的重?cái)?shù)而pj是μj確定的Jordan塊的個(gè)數(shù)，則r（A－μjIn）＝n－pj，j＝1，2，…，k．

證明 從已知可設(shè)A的Jor dan標(biāo)準(zhǔn)形

從式（7）、（8）知，r （J（μi－μj） ）＝r （J（μi）－μjIdi）＝di，當(dāng)i≠j時(shí)；且由引理1得

當(dāng)a∈C不為A∈Cn×n的特征值即r（A－a In）＝n時(shí)，約定由a∈C所確定的JA中Jor dan塊的個(gè)數(shù)p＝0，于是由引理4可得．

引理5 設(shè)A∈Cn×n，a∈C，則a為A的特征值?r（A－a In）＜n；a不為A的特征值?r（A－a In）＝n；由a所確定的JA中Jor dan塊的個(gè)數(shù)p＝n－r（A－a In）．

引理6［20］設(shè)A∈Cn×n所有不同特征值為μ1，μ2，…，μk，則mA（x）＝ （x－μi）ri，其中ri為特征值μi確定的JA中Jor dan塊的最高階數(shù)．

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)A ∈ EPn（m，l）（C），u，v∈N且u＞v．則A∈Pn（u，v）（C）?v≥l，且存在d∈N使得u＝d（m－l）＋v．

證明 必要性：由xv（xu－v－1）是A∈Pn（u，v）（C）的化零多項(xiàng)式，知A的非零特征值λ滿足λu－v＝1且mA（x）整除xv（xu－v－1）．這樣由A∈EPn（m，l）（C），由命題3和引理6得v≥l；再?gòu)拿}3知A的所有非零特征值的階的最小公倍數(shù)為m－l，因此存在（1≤）d∈N使得u－v＝d（m－l）即u＝d（m－l）＋v．

充分性：由v≥l，可設(shè)v＝l＋r，r∈N．從A∈EPn（m，l）（C）知Am－lAl＝Al．

對(duì)d作歸納法，當(dāng)d＝1時(shí)，u＝（m－l）＋l＋r＝m＋r，此時(shí)Au＝Am＋r＝AlAr＝Av，結(jié)論成立．

假設(shè)對(duì)d－1成立，則有Au＝A（d－1）（m－l）＋v＝Av．對(duì)d，有Au＝A（d－1）（m－l）＋（m－l）＋v＝A（d－1）（m－l）＋vAm－l＝Al＋rAm－l＝ （Am－lAl）Ar＝Al＋r＝Av．證畢．

例2 設(shè)A＝diag（N4，I2，－I3），從A6＝A4＝diag（0，I2，I3）和命題3知A ∈EP9（6，4）（C）．當(dāng)v＝132，d＝50時(shí)，由定理1知u＝232即A∈P9（232，132）（C）；這樣由命題2得的JA中冪零Jor dan塊的最大階數(shù)≤v＝132．這對(duì)9×9矩陣沒(méi)有任何實(shí)際意義．

證明 從xv（xu－v－1）為A的化零多項(xiàng)式，知ε0，ε1，…，εu－v－1是A的所有可能兩兩不同非零特征值，由mA（x）整除xv（xu－v－1）和引理6知A的每個(gè)非零特征值確定的Jor dan塊都是1階的；由存在1≤l≤r∈N 使r（Al－1）＞r（Al）＝r（Ar）和引理3知ind A＝l．

例3不僅說(shuō)明應(yīng)用（2）來(lái)判定A∈Pn（u，v）（C）計(jì)算量可能很大，而且知對(duì)給定的任意大的正整數(shù)m總存在A∈EPn（m，l）（C）．當(dāng)A∈ （C）n×n且ind A＝l時(shí)，從引理2知式（4）～（6）中的冪零Jor dan塊的不同階數(shù)最多有l(wèi)＝n1＝ind A個(gè)，這樣可設(shè)

式（11）中的tl，…，t2，t1為JA中冪零Jor dan塊的不同階數(shù)的個(gè)數(shù)，ti∈N，i＝1，2，…，l．

定理3 設(shè)A∈EP（m，l）n（C），則

證明 由命題3和約定知1≤l＝ind A＝n1，1≤t；這樣當(dāng)1≤r≤l時(shí)，由式（11），引理1和引理2知：

即

由式（13）得

由和式（13）得，

可見(jiàn)式（14）對(duì)r＝1也成立，即

令l－r＋1＝f，則r＝l－f＋1，進(jìn)而可得式（15）的等價(jià)形式

由式（16）得，tr＝ （t1＋t2＋ … ＋tr－1＋tr）－ （t1＋t2＋ … ＋tr－1）＝ （r（Al－r）－r（Al－r＋1））－ （r（Al－r＋1）－r（Al－r＋2）），即式（12）成立．證畢．

定理4 設(shè)A∈Pn（u，v）（C），r（Al－1）＞r（Al）并且對(duì)于任意r≥l，均有r（Ar）＝r（Al）．則必存在正整數(shù)k使式（9）、（10）成立且m＝［λ1，λ2，…，λk］＋l，此時(shí)A的Jor dan標(biāo)準(zhǔn)形為

式（18）中的J（0，r）∈Cr×r表示由特征值0確定的Jor dan塊，tr由（12）確定．

證明：從定理1及其證明知ind A＝l且存在正整數(shù)k使式（9）、（10）成立且m－l＝［，，…，］，λ1，λ2，…，λk為A的所有非零特征值即A∈EPn（m，l）（C）．從命題3知，由λi確定的Jor dan塊都是1階的，再由引理4得λi的重?cái)?shù)ni＝n－r（A－λiIn），因此JA＝diag（M，λ1In1，λ2In2，…，λkInk），其中M是由A的所有冪零的Jor dan塊構(gòu)成的．這樣從式（12）知式（18）成立，進(jìn)而可得式（17）．證畢．

從命題2不能準(zhǔn)確給出A∈Pn（u，v）（C）的JA．我們不依賴通常的Jor dan標(biāo)準(zhǔn)形算法，可給出由（17）～（18）確定的JA．由定理1知（u，v）有很多種命名，因此不容易確定這類矩陣的相似關(guān)系．

定理5 設(shè)A∈Pn（u1，v1）（C），B∈Pn（u2，v2）（C），r（Al－1）＞r（Al）并且對(duì)于任意r≥l，均有r（Ar）＝r（Al）．如果u－v＝ ［u1－v1，u2－v2］且u＞v≥ max｛v1，v2｝，則

A與B 相似 ?r（Ar）＝r（Br），1≤r≤l；r（A－εiIn）＝r（B－εiIn），0≤i≤u－v－1．

證明 必要性是顯然的．只證明充分性．從存在1≤l≤r∈N使r（Al－1）＞r（Al）＝r（Ar）和定理2知ind A＝l；由r（Ar）＝r（Br），1≤r≤l和引理3知ind A＝ind B＝l．由u－v＝［u1－v1，u2－v2］且u＞v≥max｛v1，v2｝知，存在f1，f2∈N使得u－v＝f1（u1－v1）＝f2（u2－v2），從u＞v知1≤f1∈N．

對(duì)（1≤）f1∈N用歸納法證明，Au＝Av；此時(shí)可設(shè)v＝v1＋r1，r1∈N．

當(dāng)1＝f1即u＝（u1－v1）＋v1＋r1＝u1＋r1時(shí)，Au＝Au1 Ar1＝Av1 Ar1＝Av，即結(jié)論成立．

假設(shè)f1－1時(shí)，Au＝A（f 1－1）（u1－v1）＋v＝Av．這樣當(dāng)u＝ （f1－1）（u1－v1）＋v＋ （u1－v1）時(shí)，Au＝A（f 1－1）（u1－v 1）＋vAu1－v1＝AvAu1－v1＝Au1－v 1＋v1＋r 1＝Au1Ar 1＝Av1Ar 1＝Av 1＋r 1＝Av．

類似可證明當(dāng)u－v＝f2（u2－v2）時(shí)，總有Bu＝Bv．這樣可知A，B∈Pn（u，v）（C），因此ε0，ε1，…，εu－v－1是A，B的所有可能的非零特征值．由r（A－εiIn）＝r（B－εiIn），i＝0，1，2，…，u－v－1和引理4、5知存在正整數(shù)k使式（9）、（10）對(duì)A、B同時(shí)成立；因?yàn)閕nd A＝ind B＝l，所以m＝［，，…，］＋l，進(jìn)而由定理2知A、B∈EPn（m，l）（C），同時(shí)λ1，λ2，…，λk為A、B的所有非零特征值且相應(yīng)重?cái)?shù)相同；這樣再由r（Ar）＝r（Br），1≤r≤l；應(yīng)用式（12）、（17）、（18）知JA＝JB即A、B相似．證畢．

例4說(shuō)明即使有相同的最小多項(xiàng)式的A，B∈EPn（m，l）（C）也未必總是相似的．

推論1 設(shè)A∈Pn（u1，v1）（C），B∈Pn（u2，v2）（C）且mA（x）＝mB（x）；如果u－v＝ ［u1－v1，u2－v2］且u＞v≥max｛v1，v2｝；則A與B相似 ?r（Ar）＝r（Br），1≤r≤n；r（A－εiIn）＝r（B－εiIn），i＝0，1，…，u－v－1．

證明 將引理2和引理6應(yīng)用到mA（x）＝mB（x），就知ind A＝ind B＝l，這樣從定理5知推論1成立．證畢．

由定理4和定理5可得文［23］冪零矩陣的Jor dan標(biāo)準(zhǔn)形的相應(yīng)結(jié)果，當(dāng)然文［1－7］和文［19］等涉及的m冪等、m冪幺矩陣的結(jié)論可在當(dāng)v＝1，v＝0時(shí)給出．

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