基于Bayes小子樣理論的導彈貯存可靠性評估方法研究

2015-01-04 06:24:16崔加鑫宋貴寶

船電技術 2015年11期

崔加鑫，宋貴寶

（海軍航空工程學院，山東煙臺 264001）

0 引言

導彈是投資巨大、長期貯存、一次性使用的裝備。在長期貯存過程中導彈的貯存可靠性隨著貯存時間的延長會下降，這會直接影響其戰備完好率和任務成功率。因此導彈武器的貯存可靠性的評估是非常有必要的，其有利于找出其貯存失效規律，能夠及時排除故障隱患，以保持其良好的性能。現代導彈裝備的結構越來越復雜，造價也越來越高。這種情況下，需要大量樣本的傳統試驗鑒定方法不再適用，因為昂貴的導彈武器系統若進行大量的試驗,其代價是難以接受的。而以小樣本為基礎的Bayes方法可以利用以往積累的數據和經驗，結合少量的現場數據進行統計推斷，能大大減少試驗樣本數，節省了試驗的時間和費用。

1 導彈貯存可靠性的概念及主要指標參數

所謂導彈貯存可靠性是指導彈在一定的貯存條件下和一定的貯存時間內，保持自身功能的能力。導彈的可靠性越高，導彈就越能保持其性能的能力就越強。導彈可靠性的指標參數主要有：貯存可靠度，可靠貯存壽命和失效率。

1.1 貯存可靠度

導彈的貯存可靠度是指在規定時間t內和規定的貯存條件下，維持其規定功能的概率，它是時間t的函數，記為R(t)。當時間t增大時，R(t)逐漸減少。

設隨機變量T是系統正常工作時間，則有：

1.2 可靠貯存壽命

設產品的可靠度函數為R(t)，可靠貯存壽命指合格產品在規定的貯存條件下，滿足規定貯存可靠度R(0＜R＜1)要求的貯存時間。通常用TRL表示。

設隨機變量T表示導彈的貯存壽命,TRL表示其可靠貯存壽命，R表示貯存可靠度，三者關系可表示為:

式中1-α為規定的導彈貯存可靠度。

導彈的可靠貯存壽命越長，說明導彈貯存可靠度下降的速率就越慢，也從側面反應了導彈抵御環境因子影響的能力就越強。

1.3 失效率

在規定的技術條件下，失效率λ(t)是指導彈系統貯存一段時間后，單位時間內發生失效（或故障）的概率。就是導彈在(0,t)內正常工作的條件下，在(t,t+Δt)內發生故障的條件概率。

如果產品的失效分布函數為F(t),失效概率分布函數為f(t)，則可將失效率和可靠度的關系表示為：

2 Bayes統計分析方法

2.1 Bayes統計分析的基本思想

Bayes方法解決問題的思路不同于經典統計方法。它與經典統計方法的區別是：Bayes方法在保證決策風險盡量小的情況下，應用一切可以利用的信息。這些信息不僅僅包括現場的信息，還包括現場試驗之前的信息，也就是驗前信息。而驗前信息的獲取有很多不一樣方式，例如通過專家經驗獲得的信息，以往同類型產品的試驗信息，還有通過仿真獲取的試驗信息，以此確定其驗前分布，然后根據試驗信息利用Bayes公式進行統計分析和推斷，而經典統計法只利用現場數據進行評估。

2.2 Bayes方法應用的一般過程

1）收集所要試驗的產品或相同類型產品的歷史試驗數據，將這些信息轉化成未知參數θ的分布，稱為驗前分布π(θ)。

2）通過對產品進行現場試驗，獲取試驗數據X＝(x1,x2,…,xn)，并形成似然函數L(θ|X)；

3）運用Bayes公式，將驗前分布π(θ)與似然函數L(θ|X)融合，得到的θ驗后分布π(θ|X)。4.根據驗分布π(θ|X)，推斷出未知參數θ的點估計，區間估計等。

3 基于失效率的導彈貯存可靠性Bayes估計

3.1 基本假設

1）假設導彈的壽命是服從指數分布的，即f(t|λ)＝λe-λt，λ＞0。其中，分布參數λ為導彈的失效率。

2）假定對M枚導彈進行貯存壽命試驗（獨立試驗），得到失效時間數據為:

對于定數截尾壽命試驗，N為指定的失效數。對于定時截尾壽命試驗，τ為預先指定的試驗終止時間，此時失效數N是隨機的。

3.2 導彈貯存可靠性Bayes模型

1）通過現場失效數據t1≤t2≤…≤tN，建立似然函數為：

其中T為總試驗時間：

由于兩種截尾試驗的似然函數是一樣的，在Bayes分析中兩者也是完全類似的，因此此處我們僅討論定數截尾壽命試驗。

2）相同類型的導彈已經經過歷次試驗，有驗前信息可以利用。此時可以將前一段（歷次）試驗后的λ的驗后密度作為現場試驗的驗前信息，那么λ就取共軛驗前分布 Gamma分布作為它的驗前分布。記此時它的驗前分布為：

其中：0α、0β為超參數。0α、0β的統計意義為：在過去的試驗中，總試驗時間為0α，總失效數為0β。

3）根據驗前分布和似然函數可得到驗后分布：

也可表示為：

其中，N+β0為聯合失效次數，T+α0為聯合試驗時間。由此可以看出,應用驗前信息的作用，相當于現場失效次數N增加了β0次，而試驗時間T延長了α0個單位時間。

3.3 導彈貯存可靠性Bayes點估計和置信限

1）失效率λ的Bayes估計和置信上限。

在平方損失函數之下，λ的Bayes估計為：

下面對λ進行置信估計，只需注意在給定N之下，2(T+α0)·λ的概率密度函數為：

很明顯，它是自由度為 2(N+β0)的χ2分布密度函數。于是可以得到λ的單側置信上界為：

2）可靠度R的Bayes估計和置信下限。

上面給出了失效率λ的Bayes估計和置信估計。由此，可以求出導彈在t時刻內正常工作的概率R＝e-λt的Bayes估計及置信估計。

λ的驗前密度為 Gamma密度函數G(λ;α0,β0)，由于λ＝-lnRt，可推算出R的驗后密度為：

于是，在二次損失函數之下，可靠度R的 Bayes估計為：

利用λ的置信上界，可知R的置信概率為1-α的置信下界為：

4 實例分析

某型導彈的故障主要發生在彈上電氣系統和制導控制系統等電子產品密集部位，這些部位發生故障后導彈將無法正常工作，因此可以通過分析這些部位的故障數據來確定導彈的可靠性水平，現有導彈30枚，經過一段時間的貯存后，共有10枚導彈發生故障，故障時間分別為：4860，10016，11201，14982，35942，43689，48792，50876，57213，62105（小時）；且通過查閱相關技術資料，可得到同類型導彈貯存的歷史數據：總試驗時間α0＝2 864752，總失效數β0＝18。