一種基于鐘形函數的變步長LMS算法

茍川杰，李 毅，何方敏，高 鑫

（海軍工程大學艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室，武漢 430033）

0 引言

在艦艇、飛機等有限空間艙室內，當發射機與接收機同時工作，由于空間耦合，接收機接收信號中混有本地發射機強干擾信號，強干擾信號會超出接收機晶體管器件的工作范圍，嚴重時可能燒壞接收機器件[1]。利用LMS算法自適應濾波技術可以有效地消除接收信號中的強干擾信號。最陡下降法是一種常用的LMS算法，沿著均方誤差的負梯度方向搜索最優濾波系數，以達到均方誤差最小意義下的最優濾波。實際信號處理中，通常使用瞬時誤差的平方e(n)2來代替均方誤差E(e(n)2)，稱為隨機梯度法，其最終得到濾波器系數也將圍繞最優濾波系數隨機游動[2]。

固定步長的LMS算法存在著收斂速度與穩態誤差的矛盾，而變步長LMS算法（簡稱VSLMS算法）能有效解決這個問題，其思想是在迭代初期誤差較大，使用大步長加快收斂速度；在穩態時誤差較小，使用小步長減小穩態誤差。文獻[3]介紹了一種利用瞬時誤差來調整步長的VSLMS算法，能有效提取強干擾信號中的弱信號。文獻[4-6]分別介紹了幾種通過建立步長與瞬時誤差函數來調節迭代步長的算法。

本文提出了一種基于鐘形函數的VSLMS算法，該算法能同時保證高收斂速度和小穩態誤差。通過與固定步長LMS算法和文獻[3]中算法比較，驗證了本文算法在收斂速度與穩態誤差上的優越性。

1 現有的幾種LMS算法

1.1 LMS算法與干擾消除

自適應濾波技術應用于干擾消除的基本原理如圖1所示。接收信號由有用信號s(n)和強干擾x1(n)疊加，干擾取樣x0(n)與強干擾x1(n)是同一信號源（如本地發射機）經過不同信道產生的相關信號。對于 FIR 濾波器，輸出信號y(n)＝ωTX(n)，其中ω是濾波器抽頭系數，X(n)是n時刻輸入信號矢量:

圖1 基于自適應濾波技術的干擾消除原理圖

式中：

M為濾波器抽頭數。誤差信號為e(n)＝d(n)-y(n)＝s(n)+x1(n)-y(n)，在最小均方誤差意義下，y(n)是對接收信號中強干擾x1(n)的估計，因此誤差信號e(n)就是對有用信號s(n)的估計。

維納濾波器是最小均方誤差意義下的最優濾波器，但是需要知道信號的統計特性，并且需要計算矩陣求逆，運算量大，不適用于實時信號處理。常用最陡下降法通過迭代使濾波器系數收斂到最優解，其迭代公式為

為了使算法收斂，固定步長μ應滿足

Pin為濾波器輸入信號的功率[2]。固定步長 LMS算法存在收斂速度與穩態誤差的矛盾，大步長收斂快，但是穩態誤差大；小步長可以減小穩態誤差，但是收斂慢。

1.2 VSLMS算法

固定步長LMS算法存在上述缺陷，而變步長LMS算法能彌補該缺陷。目前提出的VSLMS算法很多，如文獻[3，6]。VSLMS算法的核心思想是在誤差較大時利用大步長，在誤差較小是利用小步長，以提高收斂速度并同時減小穩態誤差。

文獻[3]提出了一種常用的 VSLMS算法，該算法利用瞬時誤差控制迭代步長的。其濾波器系數迭代公式為

步長迭代公式為

其中記憶因子0＜α＜1，誤差影響因子γ＞0，μmax與μmin分別是能保持 LMS算法收斂的最大限定步長與滿足收斂速度下限的最小限定步長。

文獻[4]提出了一種基于抽樣函數的 VSLMS算法，步長與瞬時誤差的關系式為

該算法能很好解決收斂速度與穩態誤差的矛盾，并獲得較小的穩態誤差。

2 基于鐘形函數的VSLMS算法

2.1 算法分析

建立迭代步長與瞬時誤差之間滿足鐘形函數曲線，公式如下式，

鐘形函數曲線存在上界，當瞬時誤差較大時，迭代步長能夠自動逼近最大限定步長，提高收斂速度；同時當瞬時誤差較小時，迭代步長趨近于0，能夠減小穩態誤差。

在強干擾消除應用中，自適應濾波之后的誤差信號就是對接收信號中有用信號的估計，在理想情況下，誤差信號的幅值滿足，因此誤差信號幅值跨度較大。自適應濾波穩態時濾波器系數變化越小，系統穩定性越好，因此要求在穩態時迭代步長足夠小，并且迭代步長隨著誤差信號變化盡量小。對于文獻[3]中算法，步長對誤差的變化率為：

當誤差趨近于0時，該變化率是誤差的一階無窮小量。對于文獻[4]中算法，變化率為:

利用泰勒級數求無窮小階數，如下式：

所以變化率是誤差的一階無窮小量。對于鐘形函數曲線變化率為

當誤差趨近于0時，變化率是誤差的b-1階無窮小量，所以取b≥3時，鐘形函數曲線相對于文獻[3]的算法具有更小的穩態誤差。從圖2能夠直觀看出相比于抽樣函數曲線，鐘形函數曲線（b≥3）在誤差較大時不存在振蕩，具有更加穩定的步長；在誤差較小時鐘形函數具有更小的步長，同時步長隨誤差變化更小，這使得自適應濾波具有更小的穩態誤差。

圖2 抽樣函數曲線與鐘形函數曲線對比

2.2 參數選取

在本文提出的算法中，參數μmax、a、b的選取決定了算法的性能。μmax是鐘形函數的上界，所以μmax理論上可以選擇使固定步長 LMS算法收斂的最大步長，在仿真和實際應用中，μmax選擇應滿足：

a與b決定了函數曲線的形狀，影響收斂速度和穩態誤差。b決定了小步長與大步長之間過渡帶的坡度，b越小，過渡帶步長變化越慢，曲線越平緩；b越大，過渡帶步長變化越快，曲線越陡峭。過渡帶過于平緩降低了步長對誤差的敏感度，從圖3（上）可以看出，當誤差達到6，對于b取值大于3，步長收斂到μmax，而對于b取值小于3，步長小于μmax，因此b取值會直接影響步長從而影響收斂速度，一般b取值越大，收斂越快。過渡帶過于陡峭增加了步長對誤差的敏感度，從圖3（上）可以看出當誤差從1變化到2，對于b取值為5和6，步長由接近0變化到接近μmax，而對于b取值小于4，步長變化幅度較小，因此b取值同樣會影響穩態時濾波器系數的變化，從而影響穩態誤差。綜合考慮收斂速度和穩態誤差，b取值應適中。a決定了小步長的誤差范圍（如圖3（下）），從而決定了系統穩態范圍。干擾抵消的誤差信號是對接收信號中有用信號的估計，其幅值在一定范圍內變化，可以根據有用信號的強度來選擇a。a過小使系統誤差很大時迭代步長趨近于 0，從而增大了穩態誤差；a過大使系統誤差較小時仍有較大的迭代步長，從而造成振蕩，增大了穩態誤差。在下文的仿真中，可以直觀看到a與b取值對收斂速度和穩態誤差的影響。

圖3 a與b取不同值鐘形函數曲線對比

3 仿真結果及分析

仿真主要對比了本文算法、固定步長 LMS算法和文獻[3]中算法的性能，同時比較了a與b取不同值對干擾消除性能的影響。

仿真有用信號為s(n)＝1.2sin(0.075πn)，干擾信號由v(n)＝8(sin(0.15πn)+N(n))經信道1（耦合信道）產生并疊加到s(n)上，其中N(n)是白噪聲，v(n)經信道 2（采樣信道）進入自適應濾波器的輸入端。誤差信號e(n)就是有用信號的估計e(n)＝(n)，用［s(n)-e(n)］2作為衡量濾波性能的標準。

圖4是本文算法與固定步長LMS算法的性能對比，可以看出：當固定步長 LMS算法取最大限定步長時，最陡下降法具有理論上的最快收斂速度，本文算法能夠達到最快收斂速度，并且能大大減小穩態誤差；當固定步長 LMS算法步長小于最大限定步長時，穩態誤差減小，而本文算法仍具有更小的穩態誤差并且收斂時間更短。可以看出基于鐘形函數的 VSLMS算法相比傳統LMS算法在收斂速度和穩態誤差上性能占優。

圖5是本文算法與文獻[3]中算法的性能對比，可以看出，兩者具有相同的收斂速度，而本文算法具有更小的穩態誤差。

因此，基于鐘形函數的VSLMS算法在收斂速度和穩態誤差上具有良好的性能。下文將通過仿真分析參數a與b選取對算法性能的影響。

圖4 本文算法與 L MS算法性能對比

圖5 本文算法與文獻[3]算法性能對比

圖6是b取不同值對算法性能的影響，可以看出，b取值越大，算法收斂速度越快，b取不小于4的值，算法能達到最快收斂速度；b取值越小，收斂速度越慢；b取值過大或者過小都會增大穩態誤差，當b取1時，基于鐘形函數VSLMS算法比固定步長LMS算法穩態誤差更大。

圖6 b取不同值對算法性能的影響

圖7是a取不同值對算法性能的影響，可以看出a取值對算法收斂速度基本沒有影響，對穩態誤差影響較大，a取值過大或者過小都會增大穩態誤差。

圖7 a取不同值對算法性能的影響

從仿真結果可以看出，參數a與b選取對算法性能的影響與前文分析一致。選擇性能較優的一組參數a＝0.08，b＝4，得到干擾消除的結果如圖8所示，收斂速度快，干擾消除效果好。

4 結束語

本文以對接受信號中強干擾信號消除為背景，提出了一種基于鐘形函數的變步長 LMS自適應濾波算法，并對比研究了固定步長 LMS算法和其他VSLMS算法，分析了本文算法的優點以及參數選取對算法性能的影響，最后通過仿真驗證了分析。

圖8 干擾消除結果

基于鐘形函數的 VSLMS算法能很好解決收斂速度與穩態誤差的矛盾，在保證自適應濾波算法快速收斂的同時減小了穩態誤差，有很大的應用前景。

[1]鄭偉強，杜武林.自適應干擾抵消研究.電訊技術,1991.

[2]吳正國，尹為民，侯新國，歐陽華.高等數字信號處理.機械工業出版社,2009.

[3]Raymond H Kwong，Edward W Johnston.A variable step size LMS algorithm[J].IEEETransactions onSignal Processing,1992.

[4]詹國強，吳正國.一種新的變步長LMS自適應濾波算法.海軍工程大學學報,2006.