關于絲綢之路的數學模型

◎ [俄] 阿特米·S·馬爾可夫

一、引言

隨著人們對將數學方法應用于社會科學的興趣不斷增加，對歷史事件進行計算機模擬有著巨大的前景。能像在物理學和生物學中所發現的規律那樣邏輯嚴密、論證充分的，描述社會結構的表現（或曰進程）的規律并不存在；然而，生物和物理科學的歷史表明，概念的形式化為人們提供了可檢驗的推斷，那樣一來，研究人員便能“棄糟取精”。因此，一些確定的“社會方程”可以幫助歷史事件的數學建模者獲取邏輯嚴密、論證充分的結論，對社會體系作出預測，正如物理法則及其體系中的假設能指引研究的方向。

建立社會進程的數學模型這門學科的興起，主要源于數學方法和計算機應用的進步，同時也是人們對社會的相互作用、風險和威脅的復雜性了解程度不斷加深的結果。對復雜物理學過程建模的巨大成功，激發了人們將數學模型應用到社會科學中。雖然社會學模型的初次嘗試表明，有時候簡單的線性方程足以給出充分的預測，但這些嘗試也暴露了一些根本性的問題。其中之一便是“人為因素”。機械體系中并沒有自由選擇，因此傳統的物理-數學結合的方式并不容許描述擁有自由選擇的復雜體系。

為了建立一個邏輯嚴密、論證充分的理論，有必要從宏觀體系考察近現代以前那些相對簡單的社會。這樣做既可以避免長期預測（因為我們已經知曉近現代以前的社會體系的“未來”發展動態）和人為因素（對大型體系影響不大，但對小型體系影響很大）的問題，也能夠通過歷史上簡單的社會體系建立的模型來預測現代的、層級的、復雜的體系。盡管歷史進程是獨特且不可復制的，我們仍會在不同時期的不同社會中發現一些相同的基本進程。從這個意義上，歷史給予了我們豐富的數據集，足以用來建立和檢驗邏輯嚴密、論證充分的理論。這表明，社會動態也許存在一些基本規律，我們可以對其進行定義和將其形式化。

如前文概述中提到，用歷史建模是非常有前景的。但這方面的相關科研著作并不多（見Guseynova, Ustinov, Pavlovskii 1981; Nefedov 2001; Turchin 2002; Malkov 2002）。本文有兩大目標：一是提出一個邏輯嚴密、論證充分的框架，二是將其應用到歷史進程中。如前文指出，嘗試對宏觀體系作出描述似乎是當前條件下最具創造性的做法。然而這些研究在考察社會內部關系時并沒有將地理屬性作為主要屬性。這個方法對于大型的、隔離的農業社會是可以接受的，而它們也是上述文獻關注的焦點。然而，除了自給自足的農業國以外，還有大量必須依賴這些農業國之間轉口貿易的社會，它們顯然要依賴相鄰農業國的地理位置。于是，空間因素成為這些社會動態的重要決定因素。

為了有助于建立空間貿易的模型，我們可以梳理之前關于空間經濟的研究，例如，由Beckmann(1952)提出和建立的運輸連續模型。該模型考察某些地理區域（如城市范圍內）的商品運輸過程。但它是為了優化貿易往來而建立的，并沒有描述實際流程和貿易路線的演變。因此，Beckmann的模型必須經過改良和泛化才能用于描述空間歷史動態。

Beckmann提出，商品的源泉（生產者）和低洼地（消費者）的位置應與所考察的地理區域相匹配。區域的每一點都由商品流J和通過該點的運輸成本來表示。Beckmann想在生產者、消費者和運輸成本的分布給定的條件下找出最優的流程。其空間市場模型的假設前提是“交易商不可有損失。這意味著從貿易中獲得的收益正好等于運輸成本……” (Beckmann, Puu 1985: 16)，因此他得到的是一個靜態的商品流分布。Beckmann證明了這是最優分布，因為每一條流通路線的運輸成本都是最低的。

Beckmann指出最優商品流J(x,y)依賴于每一點的價格分布且J≠0。此處的p(x,y)為價格分布而k為相關系數。

這個模型在空間經濟領域很有實際價值，因為它可以有效地控制貿易流，但其中的一些局限性使它無法應用于歷史動態問題之上。首先，它是一個靜態模型，因此無法描述動態。歷史是一個非靜態的過程；演變時慢時快，任何變化都可能是瞬間的。描述歷史的模型必須是動態的。

其次，選擇最優路線的必要條件是不現實的，因為我們不可避免地缺少足夠的歷史信息去作出這樣的決定。盡管Beckmann假設交易商絕對會選擇運輸成本最小的路線，但顯然一個真正的交易商（尤其是古代的交易商）在做生意時只能對運輸成本作出粗略估算。Beckmann提出的模型對“中性路線”(Beckmann, Puu 1985:38)也只給出了模糊的解決方案，“中性路線”是指一個區域的兩個點之間存在兩條成本相同的貿易流路線。然而在Beckmann的模型中，兩者中任何一條路線的成本若出現極其微小的變化，都會破壞中性路線，從而使得交易商選擇另一條作為最佳路線。換言之，微觀層面的變化會引起宏觀層面的巨變。這種情況顯然是不現實的。一個真正的交易商更可能（在某種意義上）隨機地選擇路線，但其選擇可能主要依賴于對運輸成本的粗略估算。再者，風險、習慣、聲譽和其他因素也會左右路線的選擇——并且由于兩條路線的成本趨同，這些因素變得更加重要。

最后，將運輸成本作為一個地域特征只有在當代社會的條件下才有用。因為我們很難重構這類歷史信息，需要有一種估算運輸成本的方法。因此有必要引入另外一種更有意義的衡量尺度來描述某片區域的貿易傳導性，它既不那么依賴貨幣和價格，又能更多地涵蓋影響選擇的非貨幣因素（風險、聲譽等），并且易于量化。因此，Beckmann的模型需要經過改良和泛化才能適用于空間歷史動態問題。

二、貿易流模型

下面我們來考察一個封閉區域的空間單一商品市場。假設T(x,y)為商品的密度，q(x,y)為生產的過剩密度[即生產密度和消費密度之間的差（若生產超過消費，則q為正數）]，t為時間。

這一過程的發散規律為

其中J為商品流向量。

這一著名方程描述了任何物質的連續流動（如：熱、液體等）。在特定條件下，它可以表述為：“商品密度的增加T/t是生產q和商品流入與流出之差的總和。”

價格動態的線性表示是

其中p(x,y)為商品價格分布，D(x,y)為該點的需求密度，S(x,y)為供應密度，為比例常數，表示市場價格對供求平衡的敏感性。

上述方程可表述為：“供不應求時價格上升，供大于求時價格下降。”

假設商品銷售為無限，

也就是說，“供大于求時會出現庫存過量，而供不應求時銷售才會積極。”

最后，該模型的主要假設是

其中商品傳導系數k(x,y)為空間不均衡的衡量尺度。該方程表明，商品流與商品價格的梯度成比例。其文字表述為：“相鄰兩點間商品運輸的流動與兩點間的價格差成比例。”

這一方程是區別于Beckmann的模型的關鍵。Beckmann假設商品流必須與價格梯度的方向一致（眾所周知，梯度向量朝著上升最快的路線——即價格上升最快的路線）。相反，我們假設商品流的方向與梯度的方向一致，其絕對值則與梯度值成比例。

這一改良看似微小，卻十分關鍵。具體而言，它解決了“中性路線”以及在信息匱乏的條件下做決定的問題。換言之，交易商可以利用市場的地方屬性確定其本地區內的貿易量。他們并不需要關于其他遙遠市場的額外的需求信息。

上述模型的優點之一是它與Beckmann的模型從根本上并不矛盾。另外，由于時間是無限的，這一動態模型也能夠實現Beckmann的最優靜態解決方案。這意味著該體系作為一個整體最終達到了運輸成本最低的靜態最優方案。這種做法更貼近現實——假設該系統最初是穩定的，但突然產生了一系列條件變化（如啟動新的生產、企業倒閉、貿易路線上的區域武裝紛爭）。由于缺乏信息，商品流無法在條件變化后即時達到最優配置，但隨著時間變化（假設條件并未再發生重大變化），商品流重新穩定并在現有條件下再次達到最優。需要指出，衡量尺度對應信息傳遞和系統響應的速度。值越高，實現最優穩定狀態的速度就越快。

將上述所有方程組合在一起，可以得出：

這個著名的方程稱為“熱傳導方程”，它描述了帶有熱源和低洼地以及一個不平衡的熱傳遞系數的空間系統的演變。關于熱傳導方程的理論和實踐研究都非常多(Tikhonov, Samarskii 1951)，它具有很強的分析處理能力和各種計算方法。

商品傳導系數k在數學上等同于熱傳導系數，因此我們可以利用這樣的類比展開討論。商品傳導系數（CCC）是空間市場中的一個重要因素。該系數越高，給生產者和消費者帶來的收益條件就越好；CCC越低，生產者價格低而消費者價格高。價格差與運輸開支相對應。這種情況不是最優的，會降低生產和消費。盡管CCC與Beckmann的運輸成本系數有關，但CCC更具一般性。它不僅包括經濟屬性，還有非貨幣方面，如風險、聲譽、習慣等。另外，CCC更適合度量歷史進程。例如，假設我們有兩座相距城鎮之間的商品流數量以及每座城鎮的價格估算值，便能確定連結兩城價格的路線的CCC值。當然，實操起來可能不如說的容易——畢竟商品流和價格都是隨時間變化的——但模型是動態的，因此就有可能甄別出引起變化的原因（例如，外部條件、市場本身的演變）。

三、商品流方程

商品傳導系數k依賴于地域的屬性。假設價格梯度是固定的。那么，每英里的價格差為ΔP=p。為滿足現有需求，需要多少商隊途經該地域？這依賴于商隊途經的速度，因為他們需要支付

其中w（每小時收入）是在梯度p向量（每英里每噸的收入）下，一個商隊以速度v（每小時英里數）運送m（商品的噸數）的每小時收入。

假設商隊的數量與從此次商旅中獲得的收入成比例（利潤越高，商隊越多）。如果沒有風險（該地域沒有稅收、強盜或戰爭），那么商隊每小時收益為w。如果有風險，那么獲得全部收益的可能性便會降低：(1-r)w＜w，其中r為風險因素(0≤r≤1)。當r=1時，意味著損失了所有收益；當r=0時，意味著沒有風險，收益完全得到保證。

那么，運送m噸貨物的商隊數量N為

其中a為比例系數。

最后，商品流J為N個商隊以速度v運送m噸商品的乘積：

可以看出，商品傳導性依賴于兩個基本的空間度量：r（損失收益的風險）和v（商隊能夠前進的最快速度）。

即便價格差很大，商人們也不會在該區域形勢緊張、存在高風險（戰爭、強盜、高稅收、帶有攻擊性的部落、野獸出沒）時運輸商品，或在存在商隊無法克服的自然障礙（高山、叢林、河流、沙漠）時快速前進。為了對貿易流進行模擬，我們需要估算k，或者更具體地說，r和v。

由于風險難以測度，我們在模擬時假設龐大帝國疆界之外風險高，而疆界之內風險低，因為帝國能夠保護道路和支持貿易。邊界內r(x,y) = 0，邊界外r(x,y) = 0.9。對于速度v我們需要另外一個能從地域的自然屬性中得出速度的邏輯嚴密、論證充分的模型。

四、運輸摩擦的估算

許多環境因素都會影響某一地區的運輸速度。例如，在平坦、植被稀疏的地形前進的速度比山路崎嶇或叢林茂密的地區要快得多。因此，我們必須確定一個能夠通過實證來衡量的運輸摩擦系數。系數μ由兩方面構成：一是地形崎嶇，二是途經某個特殊生物群落（生態區）的難度。由于高海拔地區起伏很大，崎嶇的地形會使μ值升高，而熱帶雨林等難以穿越的生物群落亦是如此。

為了估算絲綢之路時代的這一系數，我們運用13世紀旅行到中國的著名威尼斯商人馬可·波羅旅程中的數據。盡管其著作中包含了一些有爭議的內容，但它仍然是非常有價值的古代數據來源。特別是馬可·波羅記錄了他在旅途中從一點步行到另一點所需的時日。類似的信息有60多條，這對于確定此次旅途的系數而言是一個可觀的樣本量。

假設通過地形的前進速度與環境相關，則

它分別與由歷史數據決定的前進速度v，由地理信息數據（圖1）得出的海拔變化H和以該方程為基礎加上系數μ(x,y)為分段常數的假設的系數μ聯系起來——雖然μ(x,y)會隨著自然區域的不同而浮動（圖2），但它在每個區域內是恒定的。

圖1 海拔圖（顏色越深表明海拔越高）

圖2 生態區（生物群落）圖

系數評價的想法源自解決逆向問題。前進速度vi+0.5,j和vi,j+0.5是通過對系數μ根據路線經過的生物群落的地形設定不同值而計算得出的。運用最短路徑算法，便可計算出馬可·波羅書中提到的兩點之間徒步所需的時間τ（圖3）。將計算得出的前進時間τ與馬可·波羅提到的相應的時間τMP作比較，可以得到一系列點(τ, τMP)，假設馬可·波羅始終以最快速度并選擇最短路徑前進，那么就會以直線通過0點。當然，完美組合是無法達到的，但通過修正對μ的估算以配合當地地形，便可以極大地優化模型預測的前進時間和馬可·波羅所記錄的前進時間之間的相關性。

圖3 關于馬可·波羅的旅程中兩點之間（在時間上）的最短路徑的計算。此處的算法是對生物群落運用了不同的運輸摩擦系數以得出從一座城市到另一座城市按天數計算的時間。黃線勾勒出的是在相同的時間內，商隊從一座城市出發能走的最遠距離和受到運輸摩擦的阻礙時所作的反方向運動。

圖4 計算得出的前進時間和馬可·波羅所花費的時間之間的關系。(a)不包括海拔和區域(μ=常數, H=常數)；(b)包括海拔和區域（生物群落）。

在最簡單的情況下，前進時間與兩座城市之間的距離成比例，τ與τMP之間的R2為0.44。若考慮海拔變化和不同生態區中系數μ的差異，則R2上升到0.69（圖4）。考慮海拔變化和系數μ的差異后得出的模型計算結果更為貼近實際數據。對海拔變化定量需要用到一個理想的網格尺寸。例如，同樣是穿越1公里的路程，海拔緩慢提升100米的地形比總體海拔提升100米的高山峽谷地形要容易得多。但如果這兩種假設路徑的網格距離都是1公里，那么得出的難度值都是一樣的。

問題解決如下。使用配合間隔約為0.1°的地球極地的海拔網格H[i,j]。網格HK[i,j]沿y軸遞增，與子午線一致。原有網格的最接近值作為新網格節點的值：

圖5 沿子午線的海拔變化的總和依賴于網格間隔

圖6 R2為不同的μ值下模型預測的和馬可·波羅所記錄的前進時間之間的相關系數。R2的最大值對應的是不同地區的相關系數：(a)為闊葉林地區；(b)為山區。

表明SK海拔變化的總和依賴于網格尺寸K。結果（圖5）顯示網格間隔的改變會導致海拔變化總和的改變。

假設μ會隨著區域的不同而變化，那么精確測量μ對于模型預測的精準度而言至關重要。事實上，τ和τMP之間的最佳相關系數取決于按不同地形的大小順序排列的μ值（圖6）。

五、模型的檢驗

下一個步驟便是通過賦予其歷史數據來檢驗模型。如果模型能夠準確預測，那么就可以認定它是一個正確的模型。我們需要一個（在空間上和時間上都）足夠大、描述精確且具有分析性的空間市場體系的例子。有一個體系完全能夠滿足上述條件：那就是著名的貿易路線體系——絲綢之路。

絲綢之路體系是一個獨特的現象。它是世界上存在時間最長、規模最大的貿易路線體系。它不僅是一條商旅路線，更是亞非歐融合的基本因素之一(Chase-Dunn,Hall 1997)。絲綢之路具有復雜的歷史動態，歷經三個主要時代：古絲路時期（公元前2世紀～公元3世紀）、伊斯蘭征服時期（公元6～9世紀）和蒙古帝國時期（公元11～14世紀）。絲路貿易在每個時期都有所加強，而到了末期都出現衰退。不過每個時期主要貿易路線的模式都不同，這些變化也是未來研究的關注點。

影響路線的密集程度和位置的主要因素是什么？雖然可納入考慮范圍的因素眾多，但我們可以將這個體系簡化，選擇一個或幾個起主導作用的因素。

計算結果顯示，絲綢之路位置的決定性因素是龐大帝國的空間布局。這一觀點與Jerry Bentley(1993)不謀而合，他研究了跨文化聯系，如絲綢之路，指出龐大帝國應該是絲綢之路存在和演進背后的主要原因。

“絲綢之路時代——約從公元前200年至公元400年——象征著第一個主要的跨文化交流時期。龐大帝國城邦的統治在亞歐大陸的大部分地區得到鞏固，貿易網絡得以安全地連結大陸的兩端……然而大概從6世紀開始，長距離貿易的復蘇為第二輪密集的跨文化交流提供了保證。跨文化貿易的復蘇還是要依賴龐大帝國城邦的建立……第二個時期還沒有完全結束，便漸漸融入了一個新的時期——約從1000年到1350年……該時期的特點是……游牧民族大規模的軍事及政治擴張，主要是突厥人和蒙古人，他們建立起龐大的跨區域帝國，支持各民族間定期交往……” (Bentley 1993:26-27)

毋庸置疑，帝國本身并不是獨立的現象，還有許多其他因素導致帝國的興衰。不過我們檢驗模型時并不考慮這些因素。我們僅推斷帝國的存亡是商品流模式的先決條件。龐大帝國對知名商品貿易網絡的需求和供給很大，它們支持道路和其他基礎設施建設，為地區的商貿發展創造了安定的環境。龐大帝國帶來的其他積極影響還有很多，但幸好大多數都能通過上述空間貿易模型中簡化地表述出來：龐大帝國能夠提升其領土范圍內商品的傳導性。

這意味著一個地理區域若屬于某一帝國（如被其征服后），則其的商品傳導系數增加，若帝國喪失對該區域的控制（如帝國滅亡），則系數減少。傳導性的增加可以降低運輸成本（前文有討論），從而降低交易商的開支。帝國內部聯系越快速安全，帝國內的道路對交易商便越具有吸引力——即便帝國邊界之外還存在另一條更短的路徑。

不過許多空間和時間因素都會發生變化。原先的主要商品流位置的利潤可能會下降，或者臨近新成立的帝國使其變得不穩定。即便主要商品制造商和消費者的位置保持恒定，一般的流通模式也可能隨著時代的變遷、帝國的興亡而變化。

因此對絲綢之路的模擬包含如下假設：

1. 空間貿易模型是絲綢之路動態的數學基礎。

2. 每個地理位置的最初傳導性是通過各地自身的條件估算得出的。

3. 考察三個歷史時期：古絲路時期、伊斯蘭時期和蒙古時期。

4. 每個時期分別考察兩個地點：主要商品（絲綢）的生產地和消費地。

5. 每個時期對應的主要帝國的布局是既定的，帝國疆界內的商品傳導系數增加。

從數學上看，該模型符合拋物線方程，它包含了一個源泉點、一個低洼點、空間可變系數以及流動為0的邊界條件。模擬以有限差分法進行。

圖7～9給出了每個時期絲綢之路的位置。每幅圖都標明了該時期主要帝國已知的地理疆界，然后是模型得出的該時期的數學模擬結果。每組的第三幅圖對應的是主要貿易路線位置上的實際歷史數據(World History,1956-1958)。

從公元前2世紀至公元3世紀的古絲路時期（圖7），主要帝國有羅馬、帕提亞、貴霜和中國的漢朝。這是歷史上首次亞歐大陸形成一個融合的體系。然而，只有知名商品網絡是融合的。相比之下，這些世界體系內的軍事網絡和散裝貨物網絡的規模要小得多(Chase-Dunn, Hall 2003)。

圖7 公元前2世紀至公元3世紀古絲路時期。(a) 該時期的主要龐大帝國：1.羅馬；2.帕提亞；3.貴霜；4.漢朝。(b) 商品流的計算：點的顏色越深，途經該點的商品運輸越多。(c)該時期絲綢之路位置的歷史數據。

從公元6至9世紀是伊斯蘭教的開拓時期（圖8），我們將整個伊斯蘭地區視作一個不分疆界的帝國。同時期的其他帝國有拜占庭帝國和中國的唐朝。絲綢之路在這一時期繁榮，是因為伊斯蘭有著興盛的商人傳統。

圖8 公元6至9世紀 伊斯蘭教的開拓時期。(a) 該時期的主要龐大帝國：1.拜占庭；2.伊斯蘭國家；3.唐朝。(b) 商品流的計算：點的顏色越深，途經該點的商品運輸越多。(c) 該時期絲綢之路位置的歷史數據。

圖9 公元11至14世紀 蒙古帝國時期。(a) 該時期的主要龐大帝國為蒙古帝國。(b) 商品流的計算：點的顏色越深，途經該點的商品運輸越多。(c) 該時期絲綢之路位置的歷史數據。

從公元11至14世紀（圖9），蒙古帝國是該時期的主要力量。軍事網絡在歷史上首次達到相當的規模。由于蒙古人在該地區的活動，里海以北首次出現了一條穩定、密集的絲綢之路路線。各主要路線系統在歐洲的終點威尼斯交匯。

圖10 15世紀后的商品傳導性。隨著歐洲航海帝國的發展，印度洋貿易的傳導性增加，陸路貿易的傳導性下降。

蒙古帝國滅亡后，絲綢之路體系隨之衰退，并再也沒有恢復往日的輝煌。對于這一事實，模型給出了一個有意思的解釋。根據模型，歐洲海洋貿易是這一進程的成因。由于歐洲帝國航海業的擴張增加了印度洋的商品傳導性，陸路貿易減少而海洋貿易增加（圖10）。

六、結語

本文得出的結論雖然粗略，卻非常有意思。我們運用的模型非常簡單，只有龐大帝國這個單一因素，無法像物理學一樣從模型中獲得每個點的精確預測。若要對結果進行修正，就必須將其他因素納入考慮范圍，添加新的方程，擴充模型。然而，新的方程必須在得到證明和檢驗后才能提出；倉促擴充模型也是不理性的。我們的結果顯示該模型在理論上是成立的，因此下一步便是將更精確的歷史數據代入，提出更有效的傳導性估算方法，從而獲得更精確的預測。

[1]Beckmann M.J. 1952. A continuous model of transportation. Econometrica, 20(4): 643-660.

[2]Beckmann M.J., Puu T. 1985. Spatial Economics: Density, Potential and Flow. North Holland Publishing Company, Amsterdam.

[3]Bentley J.H. 1993. Old World Encounters: Cross-Cultural Contacts and Exchanges in Premodern Times.Oxford University Press, Oxford.

[4]Chase-Dunn C., Hall T.D. 1997. Rise and Demise: Comparing World-Systems. Westview Press,Boulder, Colorado.

[5]Guseinova A.S., Ustinov V.A., Pavlovskii Ju.N. 1984. Opit imitationnogo modelirovania istoricheskigo processa (An Experience of Imitational Modeling of Historical Process), Nauka, Moscow. (in Russian)

[6]Nefedov S.A. Laws of history [http://hist1.narod.ru]

[7]Malkov S.Ju. 2002. Matematicheskoe modelirovanie istoricheskih processov (Mathematical modeling of historical processes). Novoe v synergetike (Synergetics News), pp. 291-323. Nauka, Moscow.

[8]Malkov, A. 2005. Mathematical modeling of the dynamics of agrarian societies (in Russian). Ph.D. thesis.Institute of Applied Mathematics, Moscow.

[9]Tikhonov A.N., Samarskii A.A. 1951, Uravnenia matematicheskoi physiki (Equations of Mathematical Physics), GITTL, Moscow.

[10]Turchin P. 2003. Historical Dynamics: Why States Rise and Fall, Princeton University Press, Princeton,NJ.

[11]World History. 1956-1958, Vsemirnaya istoria (World History), 1956-1958, vol. II-IV (maps),Gospolitizdat, Moscow.