線性代數在實際生活中應用實例

靳寶霞/廣西科技大學鹿山學院

線性代數在實際生活中應用實例

靳寶霞/廣西科技大學鹿山學院

線性代數理論有著悠久的歷史和豐富的內容。隨著科學技術的發展，特別是電子計算機使用的日益普遍，作為重要的數學工具之一，線性代數的應用已經深入到了自然科學、社會科學、工程技術、經濟、管理等各個領域。但是對于剛接觸線性代數的大多數學生而言，仍然感到其理論比較枯燥，不知道學習線性代數到底能用到生活中的哪些地方，本文將舉出幾個其在實際生活中的例子來展示線性代數應用的廣泛性，同時也能更好的加深學生對知識點的理解。

線性代數； 矩陣； 方程組

1 交通問題

四個城市的單向航線圖如下

2 藥方配置問題

問題：某中藥廠用九種中草藥（A-I）根據不同的比例配制成了7中特效藥，各用量成份見表一（單位：克）

?

(1)某醫院要購買這七種特效藥，但藥廠的第3號藥和第6號藥已經賣完，請問能否用其它特效藥配制出這兩種脫銷的藥品？

(2)現在醫院想用這7種草藥配制三種新的特效藥，表2給出了三種新的特效藥的成份，請問能否配制？如何配制？

1號新藥2號新藥3號新藥A 40 162 88 B 62 141 67 C 14 27 8 D 44 102 51 E 53 60 7 F 50 155 80 G 71 118 38 H 41 68 21 I 14 52 30

解：（1）把每一種特效藥看成一個九維列向量，分析7個列向量構成向量組的線性相關性。

若向量組線性無關，則無法配制脫銷的特效藥；

若向量組線性相關，并且能找到不含 u3,u6的一個最大線性無關組，則可以配制3號和6號藥品。

經計算該向量組線性相關，一個最大無關組為u1,u2,u4,u5,u7且u3=u1+2u2，u6=3u2+u4+u5.所以可以配置處這兩種脫銷的藥品。

（2）三種新藥用v1,v2,v3表示，問題化為v1,v2,v3能否由u1—u7線性表示，若能表示，則可配制；否則，不能配制。

經計算可得：v1=u1+3u2+2u4，v2=3u1+4u2+2u4+u7，v3則不能被線性表示，所以無法配藥。

3 產品成本的計算

某廠生產三種成品，每件產品的成本及每季度生產件數已知。試提供該廠每季度在每種產品上的成本表。

解 將M和P相乘，得到的矩陣設為Q，Q的第一行第一列元素為Q(1,1)=0.10×4000+0.30×2000+0.15×5800=1870

不難看出，Q表示了夏季消耗的原材料總成本。

4 人口遷徙模型

設在一個大城市中的總人口是固定的。人口的分布則因居民在市區和郊區之間遷徙而變化。每年有6％的市區居民搬到郊區去住，而有2％的郊區居民搬到市區。假如開始時有30％的居民住在市區，70％的居民住在郊區，問10年后市區和郊區的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？

解 這個問題可以用矩陣乘法來描述。把人口變量用市區和郊區兩個分量表示。

從初始到k年，此關系保持不變，因此上述算式可擴展為

經Mablab計算可得：

當無限增加時間k，市區和郊區人口之比將趨向一組常數0.25/0.75。

5 化學方程的配平

試確定x1,x2,x3,x4，配平上面化學方程式。

解 使方程兩邊原子數相同稱為方程式的配平。則可得到下列方程

寫成矩陣方程為

以上是幾個簡單的能用線性代數的知識解決的案例，其中比較復雜的計算可用數學軟件Matlab來解決，隨著計算機的發展，線性代數的應用會越來越多，越來越簡單。

【1】線性代數∕段復建主編.— 北京：科學出版社，2010.

【2】線性代數的應用 西安理工大學數學系.

【3】黃玉梅，彭濤.線性代數中矩陣的應用典型案例 蘭州大學學報（自然科學版）

2014年廣西高等教育教學改革重點項目《數學軟件在獨立學院數學類課程中的應用研究與實踐》（項目編號：2014JGZ192）;2015年廣西科技大學鹿山學院轉型發展專項項目《公共數學課“教、學、評”的研究與實踐》（項目編號：2015ZXZD004）。