等效線化方法分析亞音速壁板非線性極限環顫振

唐懷平，楊翊仁

（西南交通大學力學與工程學院，四川成都610031）

等效線化方法分析亞音速壁板非線性極限環顫振

唐懷平，楊翊仁

（西南交通大學力學與工程學院，四川成都610031）

研究了受集中質量與非線性運動約束聯合作用下的二維亞音速壁板的極限環顫振問題。采用Galerkin方法將非線性壁板運動方程離散為常微分方程組。分析了集中質量大小及其位置對壁板系統失穩特性的影響；采用等效線化方法研究了系統的分叉特性及極限環顫振穩定性。結果表明：系統會產生顫振失穩，質量塊的大小及其位置對顫振臨界速度有著重要的影響；系統會經歷超臨界的 Hopf分叉而處于穩定的極限環運動；等效線化方法可在一定范圍內較為精確地對極限環穩定性及其幅值進行判定。

壁板；亞音速流；等效線化；Hope分叉；極限環顫振

引 言

近些年，隨著高速鐵路運行速度的不斷提升，列車的氣動彈性問題也越來越突顯，并已經成為高速列車中亟待解決 的關鍵基 礎問題 之 一［1-2］。由 于高速列車采用流線型的設計，因此列車車體中存在著大量的蒙皮等壁板結構。這些壁板結構在列車高速運行時會產生明顯的振動，如武廣客運專線試驗中，當列車運行速度達到350 km/h時，列車車身蒙皮和車窗的振動非常顯著，并會產生很大的輻射噪聲。因此有必要對這類特殊壁板的氣動彈性問題進行相關研究。

就現有高速列車的運行速度而言，其基本上屬于低亞音速范圍（馬赫數約為0.3）。針對亞音速氣流中壁板的氣動穩定性問題，文獻［2］曾指出兩端簡支的壁板會在馬赫數為0.125時發生顫振失穩，并得到了風洞吹風試驗的證實。而文［3-6］卻指出，兩端固定支撐的壁板在亞音速氣流中并不會發生顫振失穩，而僅會出現發散失穩；而一端固支一端自由的壁板卻會出現顫振失穩。除了壁板的氣動失穩問題，亞音速壁板結構在失穩后的復雜非線性運動特性也是學者們關注的焦點。現有的研究較為廣泛地考慮壁板大變形而產生的幾何非線性對系統失穩特性的影響。文［7-9］均針對該非線性作用下的壁板的穩定性及極限環響應進行了研究。事實上，由于生產、安裝過程中的誤差，壁板結構常常還會受到其他結構非線性因素的作用。這些非線性因素會約束壁板結構的位移并導致壁板呈現出復雜動力學特性。Li等［10-11］考慮 支撐松動產生的接觸非線 性因素，研究了亞音速壁板的極限環顫振及混沌響應。相比于幾何非線性而言，針對壁板在位移約束下的研究還比較欠缺。另外，上述研究主要是以理論模型分析為主，均未涉及到實際的風洞模型。事實上，對于實際風洞實驗中的壁板而言，不可避免地需要對壁板結構施加某些必要的集中質量，以滿足模型設計要求及數據測試要求，例如在壁板關鍵位置安裝有一定質量的傳感器及某些必要的實驗掛件等。這些額外的重量對壁板的動力學行為，尤其是對非線性極限環運動有何影響，也是需要關注的一個重要問題。

因此，本文綜合考慮非線性約束及集中質量兩個因素的影響，對壁板的穩定性及極限環響應進行分析。文中采用Galerkin方法對非線性亞音速黏彈性壁板的運動方程進行離散；采用等效線化方法研究壁板的非線性運動特性。著重考察集中質量對系統穩定性及極限環運動的影響，并采用數值方法進行積分驗證。

1 壁板顫振模型

考慮一端固支一端受位移約束的懸臂二維黏彈性壁板，如圖1所示。壁板長度為l，厚度為h，且h?l，壁板單位長度的質量為ρs。壁板上表面作用有沿x方向的亞音速不可壓縮氣流，來流速度為U∞，空氣密度為ρ∞。壁板在lm處作用有一質量為m的集中質量塊；壁板在端部受到的非線性運動約束fnon可以表示為

式中w為壁板的橫向振動位移，K1和K3為非線性運動約束的控制參數。

圖1 亞音速懸臂壁板的幾何模型Fig.1 Schematic diagram of a cantilevered plate in subsonic flow

利用Hamilton原理可得壁板的橫向振動方程［10-11］

式中D=為板的彎曲剛度，E為板的彈性模量，gs為黏性阻尼系數，ν為泊松比，ΔP為作用在壁板上表面的氣動壓力載荷。

而壁板的邊界條件為

由文［3-4，10］可知作用在壁板單側的氣動力

引入如下無量綱參數

可得壁板的無量綱運動方程

在下面的計算中，選取如下的基本參數：E= 70 GPa，ρs=2 750 kg/m3，ρ∞=1.25 kg/m3，l= 1.0 m，h=2.0 mm，υ=0.3，gs=0.000 5。

文獻［12］的研究表明采用系統前兩階模態可以得到較為滿意的定性和定量的分析結果。本文的目的在于定性分析和展示系統所蘊含的典型的非線性特性，因此選取懸臂梁的前兩階模態對方程（6）進行離 散［12］，即

采用Galerkin方法對式（6）進行離散化，可得

引入如下變換

式（8）變為

在選定的基本參數情況下，式（8）的各系數為：

式（10）的各系數為

2 顫振邊界分析

首先，考察集中質量及運動約束剛度對系統顫振穩定性的影響。為計算系統的臨界顫振速度，將式（10）寫作狀態空間形式

采用數值方法計算式（11）在零平衡點的雅克比矩陣的特征值，并依據特征值得特性對系統的顫振臨界速度進行判定。

圖2給出了當附加質量塊位于端部，即em=1時，不同端部支撐剛度k1對應的臨界顫振速度λf與集中質量ˉm的變化關系。由圖2可知，隨著集中質量的增加，顫振臨界速度呈現下降趨勢，系統的顫振臨界速度隨著剛度的增加而增加。有趣的是，當集中質量較小時，剛度對顫振臨界速度影響較為明顯；而當集中質量增加至0.5左右時，不同剛度對應的系統顫振臨界速度將趨于相同的值。

圖3給出了當無量綱集中質量=0.1，不同剛度k1時，系統顫振臨界臨界速度與集中質量的位置ξm之間的變化關系。圖3中的點劃線對應的是無集中質量時系統的顫振臨界速度。由圖3可知：不同剛度時系統的顫振臨界速度隨位置的變化呈現相

圖2 不同集中質量時系統顫振邊界Fig.2 Flutter boundary for different

圖3 不同集中質量位置時系統顫振邊界Fig.3 Flutter boundary for different

似性；系統的顫振臨界速度隨位置的變化呈現非線性關系。特別值得指出的是：不同剛度對應的顫振邊界與點劃線的交點有著相同的橫坐標，即

當＜＜時，集中質量會提高系統的臨界顫振速度并增加系統的穩定性；而當＜或ξm＞ξmB時，集中 質 量卻 起 到了相 反 的作 用；而 在ξm=ξmA及ξm=ξmB兩點處，集中質量對系統的顫振穩定性沒有影響。

圖4給出了=0.1，k1=5.0，λ=49.29時，不同集中質量位置對應的系統線性的響應相圖。從圖可知：即使在相同的動壓下，由于不同集中質量的放置位置，系統也會呈現出截然不同的穩定特性。

圖4 不同集中質量位置時線性系統的運動響應相圖Fig.4 Phase plots for differentξm

3 極限環顫振分析及討論

在上一節中，已經分析了系統的顫振失穩。下面就針對系統在顫振失穩后可能呈現的非線性極限環運動進行分析。采用等效線化方法來分析極限環顫振（LCO），已有許多重要的成果發表。文獻［11，13-14］均基于等效線化方法對機翼系統中的極限環顫振運動進行了研究。這種方法為定性及定量分析壁板系統的極限環顫振提供了指導。因此本文也采用等效線化方法對極限環運動進行分析。在下面的計算中進一步給定如下參數：k1=5，k3=2，ˉm= 0.1。

針對本文中的立方非線性而言，依據等效線化方法，式（11）中的非線性可以表示為

式中Keq=，A為系統（11）的極限環運動分支p1的幅值。

將式（13）代入至方程（11）后，非線性系統（11）將變成線性系統，其狀態方程可以寫作

下面考察ξm=0.7和ξm=1.0兩個特殊位置的顫振邊界曲線，結果分別如圖5（a）和（b）所示。從圖5可知，隨著等效剛度的增加兩組顫振臨界速度都呈現單調增加趨勢。

圖5 系統顫振速度隨等效剛度的變化關系Fig.5 Curves of critical flutter dynamics pressure vs.equivalent linearized stiffness

下面以ξm=1.0為例說明如何依據等效剛度-幅值-顫振臨界動壓三者的耦合圖（如圖6所示）對系統極限環的穩定性進行判定。首先，假設動壓λt對應的極限環幅值為As，依據耦合圖可知，當其有一個正的增量ΔAs時，等效剛度及顫振臨界速度都將會增大，系統將呈現穩定的收斂到幅值為As的運動。而當幅值有負的增量——ΔAs時，由于等效剛度及顫振臨界速度都將降低，系統也將呈現收斂于幅值為As的運動。因此，無論對于正的或者負的幅值增量，系統都將最終穩定于幅值為As的穩定極限環運動。因此，系統在λ=λf處產生超臨界的Hopf分叉。同理，針對ξm=0.7這一工況，也會得到相同的結論。

圖6 極限環穩定性判定耦合圖Fig.6 A coupled scheme for the stability of LCOs

圖7（a）及（b）分別給出了當動壓λ=40（小于顫振速度λf=41.5）時及λ=43時，系統的運動相圖。由圖7（a）及（b）可知，系統分別處于收斂運動和穩定極限環運動，這也與理論預測的一致。圖8給出了ξm=0.7時系統穩定極限環幅值隨動壓的變化曲線圖，圖8中圓圈表示數值模擬的結果，而實線代表等效線化的分析結果。由圖8可知：當動壓較小時（Ⅰ區域），等效線化的分析結果與數值模擬結果吻合較好；但當動壓較大（Ⅱ區域）時，兩者的相差較大。這主要是由于在Ⅱ區域內系統已經處于非周期運動，如混沌等復雜運動（如圖9所示）。而等效線化分析方法卻只能對周期運動進行分析。對于混沌等運動的研究可參見文獻［10］，而本文暫不涉及。

圖7 不同動壓時系統的運動相圖Fig.7 Phase plots for differentλ

圖9 λ=55時系統運動相圖Fig.9 Phase plots forλ=55

圖10（a）及（b）分別給出了ξm=0.7及ξm=1.0時，系統處于穩定的極限環運動時壁板的振動形態圖。從圖10可知看出，雖然在兩種不同位置時壁板均呈現極限環運動，但其運動的形態已經有了很大的不同。相比于圖10（b）而言，圖10（a）中在ξ=0.7附 近 顯示 出 了明 顯 的節 點［10-11］。

4 結束語

本文利用等效線化方法分析了受集中質量和位移約束作用的亞音速黏彈性壁板的極限環顫振運動。結果表明：系統的顫振臨界速度隨著集中質量位置及位移約束剛度的增大而分別呈現減小和增大的趨勢（如圖2，3所示）；不同的集中質量位置會導致不同性質的運動響應（如圖4所示）；集中質量的位置對系統的極限環振動的節點及其位置有著顯著的影響（如圖10所示）；系統經歷超臨界的Hopf分叉而處于穩定的極限環運動（如圖7（b）所示）；等效線化方法可在一定范圍內（如在圖8中的Ⅰ區域）對極限環運動穩定性（如圖6所示）及極限環的運動幅值進行比較精確地分析。但需要特別指出的是，當壁板處于幅值相對較大的極限環運動時，壁板將不可避免地受到其自身大變形幾何非線性的約束并影響到其非線性運動特性，這也是后續理論及實驗工作研究的重點。

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圖8 系統極限環幅值隨動壓的變化關系
Fig.8 The curve of the amplitudes of LCOs vs.dynamic pressure

Analysis of nonlinear limit cycle flutter of a subsonic plate based on equivalent linearized method

TANG Huai-pin，YANG Yi-ren
（School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The limit cycle flutter of a subsonic plate with a concentrated mass and subjected to nonlinear motion constraints is addressed in this paper.The Galerkin method is used to transfer the partial differential equation of motion of the plate to a set of ordinary differential equations.The theoretical analysis of the bifurcations and the stabilities of the limit cycles are conducted with the help of the equivalent linearized method.Results show that the system undergoes flutter instability；the mass and its location has significant effect on the flutter critical dynamic pressure；the system undergoes stable limit cycle oscillations （LCO）due to the supercritical Hopf bifurcation；the results obtain by equivalent linearized method are in good agreement with the numerical ones.

plate；subsonic flow；equivalent linearized method；Hope bifurcation；limit cycle flutter

U270.1+1

A

1004-4523（2015）05-0748-06

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.009

唐懷平（1967—），男，博士研究生，副教授。電話：（028）87600797；E-mail：thp-vib@163.com

2014-11-28；

：2015-04-28

國家自然科學基金資助項目（11302183；11072204；11102170；11102172）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（2013TD0004）