局部波動特征分解及其在齒輪包絡分析中的應用

張 亢，吳家騰，廖力達

（長沙理工大學能源與動力工程學院，湖南 長沙410076）

局部波動特征分解及其在齒輪包絡分析中的應用

張 亢，吳家騰，廖力達

（長沙理工大學能源與動力工程學院，湖南 長沙410076）

提出了一種新的自適應非平穩信號分析方法——局部波動特征分解（Local Oscillatory-Characteristic Decomposition，LOD），該方法以信號本身的時間尺度特征為基礎，并采用微分、坐標域變換、分段線性變換等運算手段將信號分解為一系列瞬時頻率具有物理意義的單一波動分量（Mono-Oscillatory Component，MOC），非常適合于處理多分量信號。在詳細說明 LOD分解原理的基礎上，通過對仿真信號的分析將 LOD和經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）進行了對比，結果表明了LOD的優越性。同時，針對多分量調制的齒輪故障振動信號在包絡分析中的特點，將LOD應用于齒輪故障振動信號的分析，對齒輪實驗信號和實際信號的分析結果表明，LOD可以有效地應用于齒輪的包絡分析。

故障診斷；齒輪；時間尺度特征；局部波動特征分解；包絡分析

引 言

齒輪故障診斷的關鍵是從齒輪故障振動信號中提取故障特征，而當齒輪發生故障時，其振動信號表現為以嚙合頻率及其諧波為載波，故障齒輪轉頻為調制頻率的多分 量調制特 征［1-2］。要從 此類 信 號中提取故障特征，需要對其進行解調，包絡分析是目前常用的解調方法。然而，在傳統的包絡分析中，由于齒輪故障振動信號的載波頻率和調制范圍難以確定，因此帶通濾波時，濾波器的中心頻率和帶寬的選擇具有很大的主觀性。對此，采用一種信號分解方法先分解出齒輪故障振動信號的各種頻率成分，再進行包絡分析，是合理的思路。

目前，小波變換、經驗模態分解、局部均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）等方法，常被用于各類信號的分解［3-7］。其中，小波變換最大的缺陷是缺乏自適應性，體現在分解過程中基函數和時頻結構是固定不變的；EMD和LMD都是以信號本身的時間尺度特征為基礎的自適應信號分解方法，能將信號分解為若干個固有模態函數（Intrinsic Mode Function，IMF）或乘積函數（Product Function，PF），不需要任何的先驗知識，每一個IMF或PF都代表了原信號的一種時間尺度特征。只是對于這兩種分解方法具體所采用的運算手段不同，而在實際中，正是由于運算手段本身的某些固有缺陷，導致了無法對多分量信號進行快速準確地分解，如EMD中利用三次樣條函數插值形成包絡線而導致過包絡、欠包絡和產生虛假分量的問題，LMD中通過平滑迭代得到均值函數和包絡函數導致計算量大、采用解調方式得到純調頻信號可能導致信號局部突變的問題等，這些問題仍然處在研究當中［8-12］。

在借鑒EMD和LMD的自適應分解思路的基礎上，提出了一種新的自適應信號分解方法——局部波動特征分解，該方法具體運用了微分、坐標域變換和分段線性變換等運算手段，能夠自適應地、快速地將一個復雜信號分解為一系列單一波動分量之和，在理論上具有分解結果穩定、計算效率高、實時性強的特點。利用LOD對具有非平穩、多分量特點的齒輪故障振動信號進行自適應分解，可以為后續準確的包絡分析打下基礎。本文在提出LOD方法的基礎上，通過仿真信號將LOD與EMD進行了對比分析，結果表明LOD在運算時間、端點效應等方面要優于EMD，更加適合于實時在線分析，同時將LOD應用于齒輪的包絡分析，對齒輪實驗信號和實際信號的分析結果表明，該方法可以有效地應用于齒輪的包絡分析。

1 局部波動特征分解

LOD沿用了EMD和LMD的基本思路，即根據信號本身的局部波動特征對信號進行自適應分解，得到一系列瞬時頻率具有物理意義的單分量信號。具體的LOD算法包含了3種基本運算：①微分運算。即對原始信號進行微分，然后從微分信號獲得原信號的初始均值函數，由于微分能放大信號的局部波動特征，從而可以使分解結果更加真實地反映原信號的局部波動特征；②坐標域變換運算。即將原始信號的坐標通過預先定義的變換式從原數據域變換到鋸齒域，繼而在鋸齒域進行每一步迭代，由于在鋸齒域改變了信號不同位置的數據點的稀疏程度，從而可以減小算法的分解誤差；③分段線性變換運算。即以相鄰極值點之間的數據為一段對原信號進行分段線性變換，同時以分段線性變換計算均值曲線，這樣大大提高了LOD算法的計算效率與實時處理性。采用LOD自適應地將一個信號分解為若干個分量信號，因為每個分量信號理論上代表了一種波動形式，所以將其稱為單一波動分量MOC。LOD的具體分解步驟如下：

1）找到信號x（t）的所有極值Xk，k=1，2，…，M及其對應的時刻值τk，k=1，2，…，M，在任意兩個相鄰極值點 ［Xk，Xk+1）之間對x（t）進行線性變換，得到分段線性函數s1（t），線性變換式為

為了減小算法的分解誤差，定義鋸齒變換函數，將原數據域坐標（t，x）轉換成鋸齒域坐標（u，s），變換公式為

圖1為某信號的坐標變換示意圖，圖中實線為原數據域曲線，實心點為其采樣點；虛線為鋸齒域曲線，空心點為其采樣點。可以看出變換式（2）和（3）并不會改變信號的幅值（縱坐標），只是對時間軸（橫坐標）進行了壓縮或擴展，實際效果是：在不改變信號數據點數量的情況下，增大了信號極值點附近的數據點密度，而減小了信號其他位置的數據點密度，這樣可以在不影響算法運算時間與空間的情況下獲得信號極值點處更加精確的信息，這對以信號極值點信息為分解基礎的LOD來說可以提高其分解精度。

另外，值得說明的是鋸齒域變換不會改變信號局部極值點的坐標位置和稀疏程度，而局部極值點的位置和稀疏程度決定了信號的頻率特征，因此，鋸齒域變換理論上不會改變原信號的頻率特征，也不會引入虛假頻率特征。

圖1 信號變換示意圖（實線：數據域信號x（t）；虛線：鋸齒域信號s（u））Fig.1 Schematic diagram of the signal transformation （solid line：data domain signal x（t），dotted line：sawtooth domain signal s（u））

2）對x（t）求微分得到x＇（t），找到x＇（t）的極值所對應的時刻值τk′，k=1，2，…，N，并找出原始信號x（t）中對應于時刻值τk′的函數值Xk′，k=1，2，…，N，然后在鋸齒域利用線性變換將Xk′，k=1，2，…，N線性連接得到m1（u）。m1（u）實際上就是均值函數（即低頻成分），線性變換式如下

引入微分運算的說明：假設某信號x（t）由兩種成分組成，表達如下

式中A1，A2為幅值，頻率f1＞f2，那么為振幅比。

對x（t）進行微分運算后得

3）將原始信號的鋸齒域函數s1（u）減去鋸齒域均值函數m1（u），得到c1（u）。c1（u）為一高頻波動函數

4）利用反變換將c1（u）的坐標從鋸齒域還原到原數據域c1（t），即

理想地，如果c1（t）為一個瞬時頻率具有物理意義的單分量信號，則c1（t）為x（t）的第1個MOC分量MOC1（t）；

5）如果c1（t）不是一個瞬時頻率具有物理意義的單分量信號，則將c1（t）作為原始信號重復步驟1）～4），循環m次，直至得到瞬時頻率具有物理意義的單分量信號cm（t）。cm（t）即為信號x（t）的第一個分量MOC1（t）。

6）將MOC1（t）從x（t）中分離出來，得到一個新的信號r1（t），將r1（t）作為原始數據重復步驟1）～5），重復循環n次，直到rn（t）為一單調函數為止。這樣便可以將x（t）分解為n個MOC分量和一個余量rn（t）之和，即x（t）=+rn（t）。

從上述迭代分解過程可以看出，LOD是基于信號本身的局部波動特征的，即是自適應的；另外LOD是基于線性變換的，且每次線性變換只需任意兩個相鄰極值點之間的信息，無需整個原始數據的信息，因此，LOD算法計算效率高，具有較強的實時處理性。而對于LOD的分解結果MOC分量，由于分解過程中不但保證了相鄰極值點間的單調性，而且迭代過程中采用了減去均值曲線的方式，也就保證了其包絡的局部對稱性，因此，理論上MOC分量是滿足瞬時頻率具有物理意義的條件的［5，7］。

2 仿真信號分析

考察如下所示的仿真信號x（t）

x（t）由3個正弦分量組成，其時域波形和組成分量波形如圖2所示。

圖2 仿真信號x（t）的波形Fig.2 Waveform of the simulation signal x（t）

在LOD中，首先需要確定信號局部極值點，然而信號兩端點有可能既不是極大值點，也不是極小值點，因此，LOD和EMD一樣，需要對端點進行處理。

采用自 適應 波形匹配 延 拓 法［14］對仿真信 號x（t）進行延拓，以減小端點效應。對延拓后的信號分別采用LOD和EMD進行分解，分解過程中采用標準差（Standard Deviation，SD）判據［5］作為迭代終止條件，即通過計算連續兩次迭代結果的標準差值，并與預先確定的閾值進行比較，以此決定迭代的終止點。此次分解，LOD和EMD都設定SD＜0.3作為迭代終止條件，x（t）的LOD分解結果如圖3所示，共得到了3個MOC分量和1個余量，3個MOC分量很好地對應了仿真信號x（t）的3個組成分量，每一個MOC分量都具有物理意義，說明了LOD的自適應分解特性；從圖4的EMD分解結果可以看＞出，各個IMF分量也較好地對應了仿真信號的組成分量，但對比圖3和4可以看出LOD分解的余量的幅值要小于EMD的，說明此次LOD分解的整體效果要優于EMD。

圖3 LOD分解結果Fig.3 Results of the LOD decomposition

圖4 EMD分解結果Fig.4 Results of the EMD decomposition

另外，為了比較LOD和EMD算法的計算效率，將兩種算法在同一臺計算機上各運行了50次，LOD和EMD算法得到前3個分量的平均運行時間分別為=0.381 s和=4.719 s，兩者相差了12倍。以上說明，在相同迭代終止條件下，與EMD相比，LOD在計算效率方面較EMD有了大的提高，對于數據量大的信號，這種優勢會更加凸顯。

3 在齒輪故障診斷中的應用

當齒輪發生故障時，其振動信號一般為多分量的調制信號，要提取故障特征需要對其進行解調，包絡分析是目前常用的解調方式，但運用包絡分析首先需要將多分量的調制信號分解為單分量信號。由于LOD的本質是將多分量信號自適應地分解為若干個單分量信號，因此本文首先采用LOD將齒輪故障振動信號分解為若干個單分量（即MOC分量）信號，然后利用Hilbert變換對包含故障信息的MOC分量進行包絡分析，得到Hilbert包絡譜，從而提取齒輪故障振動信號的故障特征。

3.1 實驗信號分析

在圖5所示的旋轉機械故障實驗臺上進行齒輪斷齒故障實驗。實驗用的主動齒輪和從動齒輪均是模數為2.5 mm，齒數為37的標準直齒輪，通過激光切割切掉從動齒輪上的一個齒來模擬斷齒故障，信號采集設備為比利時LMS公司的40通道振動和噪聲數據采集系統。實驗時輸入軸轉頻fr= 7 Hz，即嚙合頻率fs=259 Hz。圖6為采集到的斷齒齒輪振動加速度信號的時域波形，采樣頻率為1 024 Hz。

圖5 旋轉機械故障實驗臺Fig.5 Rotating machinery fault test rig

圖6 齒輪斷齒故障振動信號Fig.6 Fault vibration signal of the broken teeth gear

對圖6所示的斷齒齒輪振動信號進行LOD分解，共得到9個MOC分量和1個余量，限于篇幅列出了前5個MOC分量的時域波形如圖7所示，可以看出信號從高頻到低頻得到了自適應的分解。進一步進行包絡分析，由于信號采樣頻率為1 024 Hz，即最大分析頻率為512 Hz，因此，該齒輪振動信號中，只包含1個以嚙合頻率為中心的頻率分量，對應著第1個MOC分量MOC1（t）。對MOC1（t）進行Hilbert變換，得到Hilbert包絡譜如圖8所示，可以看出，在轉頻fr=7 Hz處存在明顯譜線，可以判斷該齒輪存在局部故障，與實際情況相吻合。圖9和圖10分別是采用EMD分解斷齒齒輪故障振動信號的前5個IMF分量的時域波形圖以及第1個IMF分量的Hilbert包絡譜，可以看出EMD的分解效果較好，且Hilbert包絡譜也能提取出故障特征，但統計LOD和EMD得到前5個分量的_平均運算時間（運行50次）分別為=0.049 s和=0.263 s，表明LOD更加適合應用于實時在線分析。

另外，引入正交索引（Index of Orthogonality，IO）［5］評價分解結果的正交性，表達式如下

式中 當為LOD分解時，ci（t）和cj（t）代表MOC分量；當為EMD分解時，ci（t）和cj（t）代表IMF分量，i，j=k+1時，表示分解得到的余量。理論上分解結果正交性越好，則IO越接近于0。本次LOD 和EMD分解結果的IO分別為0.086 3和0.145 7，說明本次LOD的分解結果的正交性要優于EMD的。

將同型號的正常齒輪替換斷齒齒輪，并在同樣的工況下進行實驗。圖11是采集到的正常齒輪振動加速度信號的時域波形，按照前面同樣的方式，對其進行基于LOD的Hilbert包絡譜分析，其中第1 個MOC分量MOC1（t）的時域波形，以及Hilbert包絡譜分別如圖12和13所示。可以看出，在轉動頻率fr=7 Hz及其倍頻處均無明顯的譜線，與實際情況相符，驗證了方法的有效性。

圖7 LOD分解結果Fig.7 Results of the LOD decomposition

圖8 第1個MOC分量的Hilbert包絡譜Fig.8 Hilbert envelope spectrum of the first MOC

3.2 實際信號分析

如圖14是岳陽鷹山石油化工公司的涼水塔風機齒輪箱結構示意圖，圖中齒輪1，2，3，4的齒數分別為11，31，25，53；轉軸Ⅰ的轉速n1=980 r/ min，轉軸Ⅰ、轉軸Ⅱ、轉軸Ⅲ的轉頻分別為fⅠ≈16.3 Hz，fⅡ≈5.8 Hz，fⅢ≈2.5 Hz。2003年6月24日，在線監測系統發現該齒輪箱振動異常，振動加速度的最大值偏大較多，在停機檢修中發現該齒輪箱的4個齒輪都發生了不同程度的磨損和齒面膠合問題，齒輪1和齒輪2的磨損情況尤為嚴重。為了驗證基于LOD的Hilbert包絡譜的有效性，將其運用于當日測得的一段振動加速度信號的分析。該信號的時域波形如圖15所示，其采樣頻率為1 024 Hz，采樣長度1 024點。首先采用LOD進行分解，迭代終止條件取SD＜0.5，得到的前5個MOC分量如圖16所示。進一步對各個MOC分量進行Hilbert包絡譜分析，其中前3個MOC分量的Hilbert包絡譜分別如圖17～19所示。從圖17中可以看出，在轉頻fⅠ的2倍頻處存在幅值很大的譜線；在圖18中，在轉頻fⅠ的1，2，3，4倍頻處以及轉頻fⅡ的1，2倍頻處都存在明顯的譜線；在圖19中，在轉頻fⅡ的2倍頻處以及轉頻fⅢ的1，2倍頻處存在譜線，根據上述譜線分布情況和譜線幅值大小可以判定齒輪箱3根軸上的齒輪都存在一定的故障，且以齒輪1和齒輪2的故障程度更為嚴重，而齒輪3和齒輪4的故障程度較輕，這與實際開箱檢查的情況相符，驗證了LOD方法的有效性。

圖9 EMD分解結果Fig.9 Results of the EMD decomposition

圖10 第1個IMF分量的Hilbert包絡譜Fig.10 Hilbert envelope spectrum of the first IMF

圖11 正常齒輪振動信號Fig.11 Normal gear vibration signal

圖12 正常齒輪振動信號的第1個MOC分量Fig.12 The first MOC of normal gear vibration signal

圖13 第1個MOC分量的Hilbert包絡譜Fig.13 Hilbert envelope spectrum of the first MOC

為了驗證MOC分量的瞬時頻率是否具有物理意義，也即是否為單分量信號，根據文獻［5］中提出的判斷信號是否為單分量信號的充分條件予以驗證。表1列出了圖16中前3個MOC分量的極值點和過零點數目，可以看出最多相差了30，另外3 個MOC分量的包絡均值也不等于0。這主要是對于機械故障振動信號這類復雜信號（與簡單的仿真信號對比），由于受到非線性干擾、包絡估計誤差、端點效應、迭代終止條件等因素的影響，一般很難滿足Huang N E提出的理論條件，在EMD中也存在該問題。不過雖不能得到嚴格的單分量信號，但一般能得到接近單分量信號的結果，對于工程分析來說已能滿足需求，這從本文風機齒輪箱振動信號的LOD分析結果可以看出。

圖14 風機齒輪箱結構示意圖Fig.14 Fan gearbox structure schematic diagram

圖15 風機齒輪箱振動信號Fig.15 Fan gearbox vibration signal

圖16 風機齒輪箱振動信號的LOD分解結果Fig.16 LOD decomposition results of the fan gearbox vibration signal

圖17 第1個MOC分量的Hilbert包絡譜Fig.17 Hilbert envelope spectrum of the first MOC

圖18 第2個MOC分量的Hilbert包絡譜Fig.18 Hilbert envelope spectrum of the second MOC

圖19 第3個MOC分量的Hilbert包絡譜Fig.19 Hilbert envelope spectrum of the third MOC

表1 極值點和過零點數目Tab.1 The number of extrema and zero-crossings

4 結 論

根據EMD和LMD方法的思路，提出了一種新的自適應非平穩信號分解方法——局部波動特征分解，通過仿真信號將LOD與EMD進行了對比分析，同時將LOD應用于齒輪的包絡分析，得出了以下結論：

（1）LOD算法效率高，分解時間短。在LOD算法中采用了分段線性變換的方式，即每次只需知道信號任意兩個相鄰極值點之間的信息，所以在同一時刻，可以并行處理不同“段”的信號，而EMD必須知道信號所有的信息后才能進行處理；另外，LOD通過線性變換獲得均值函數，避免了EMD采用三次樣條線形成上、下包絡線，以包絡平均線作為均值函數，這樣大大減少了計算量。因此，相比于EMD，LOD具有更高的計算效率，更有利于信號的實時在線分析。

（2）針對齒輪故障振動信號的多分量調制特點，采用LOD對齒輪實驗信號和實際信號進行了分析，并與EMD分解結果進行了對比，結果表明基于LOD的Hilbert包絡譜可以有效地提取齒輪故障振動信號的故障特征，并且效果優于EMD方法。

LOD方法擁有一些優點，但作為一種新提出的方法，要得到廣泛應用，還有一些理論問題需要研究和完善，如MOC的單分量性質的嚴格證明、LOD的分解能力、微分運算對調制信號的影響等。隨著這些問題的深入研究，LOD將得到更廣泛的應用。

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Local oscillatory-characteristic decomposition and its application to gear envelope analysis

ZHANG Kang，WU Jia-teng，LIAO Li-da
（School of Energy and Power Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410076，China）

A new self-adaptive nonstationary signal analysis method named local oscillatory-characteristic decomposition（LOD）is proposed.This method is based on time-scale characteristics of signal itself，and it uses kinds of operations such as differential，coordinates domain transformation and piecewise linear transformation to decompose the signal into a series of mono-oscillatory components（MOC）whose instantaneous frequency has physical meanings，and thus especially suitable for multi-component signal processing.On the basis of illustrating the decomposition principle of LOD in detail，the LOD is compared with the empirical mode decomposition（EMD）by analyzing the simulated signal.The results show the advantages of LOD.Meanwhile，taking account of the characteristics of multi-component modulated gear fault vibration signal in envelope analysis，the LOD is applied to the gear fault vibration signals analysis.The analytical results from experimental gear signal and actual gear signal demonstrate that the LOD apply to gear envelope analysis effectively.

fault diagnosis；gear；time-scale characteristic；local oscillatory-characteristic decomposition；envelope anslysis

TH165+.3；TN911.7

A

1004-4523（2015）05-0846-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.21

張亢（1983—），男，講師。電話：13786161238；E-mail：zhangkang513@163.com

2014-05-09；

：2014-12-29

國家自然科學基金資助項目（51305046）；能源高效清潔利用湖南省高校重點實驗室開放基金資助項目（2013NGQ007）