環肋旋轉殼聲振特性分析的半數值方法

王獻忠

（1.武漢理工大學高性能艦船技術教育部重點實驗室，湖北 武漢430063；2.武漢理工大學交通學院船舶、海洋與結構工程系，湖北武漢430063）

環肋旋轉殼聲振特性分析的半數值方法

王獻忠1，2

（1.武漢理工大學高性能艦船技術教育部重點實驗室，湖北 武漢430063；2.武漢理工大學交通學院船舶、海洋與結構工程系，湖北武漢430063）

采用精細傳遞矩陣法結合改進波疊加法建立了加筋旋轉殼水下聲輻射的數學模型，推導了旋轉殼的場傳遞矩陣和環肋的點傳遞矩陣，運用精細算法克服了傳統傳遞矩陣法的數值不穩定問題，利用改進波疊加法考慮了旋轉殼上聲壓激勵的作用，考慮流固耦合邊界處的連續條件，求解了加筋旋轉殼的水下輻射聲。分別以擺動球、脈動球、加筋圓柱殼和球殼為例，將計算的脈動球和擺動球表面聲壓值和相應解析解對比；還將加肋圓柱殼的水下輻射聲壓周向分布和文獻值及實驗結果進行對比；最后將球殼的振動和水下聲輻射和文獻值對比，驗證此方法的有效性。

聲輻射；旋轉殼；精細傳遞矩陣法；波疊加法

引 言

開展潛艇和魚雷等水下航行器的振動與聲輻射研究時，往往將其中部簡化為圓柱殼模型，艉部結構簡化為圓錐殼模型，首部結構簡化為錐殼或球殼計算模型。無論圓柱殼、圓錐殼及球殼均滿足旋轉殼的軸對稱結構特征。在保證總重量不變的情況下，通過加筋方式能夠很好地增加旋轉殼強度和穩定性。因此開展加肋旋轉殼結構的振動和聲輻射研究顯得尤為重要。

關于圓柱殼的振動和聲輻射特性計算方法已經進行了大量的研究。Stepanishen［1］研究了兩端有無限長圓柱型剛性障板的有限長圓柱殼的聲輻射計算模型，采用模態疊加法和Green函數得到耦合振動方程。Laulagnet［2］研究了采用能量法處理肋骨，并討論了肋骨參數對其聲輻射的影響。湯渭霖［3］通過將環肋以附加阻抗的形式進行考慮，推導出了水中有限長加筋圓柱殼的輻射聲解析解，并對加筋對圓柱殼振動和聲輻射的影響進行討論分析。陳美霞［4］通過單、雙層環肋圓柱殼模型試驗，研究了不同性質激勵下殼體振動與外場聲輻射的關系。由于旋轉殼的雙曲率特性，動力學方程比圓柱殼更為復雜，使得解析方法在求解旋轉殼仍然存在一定的困難。有限元和邊界元［5］理論上能夠處理任意復雜的結構，但其計算精度受限于計算頻段。計算頻率的增加會導致計算模型網格數的急劇增加，計算效率就面臨很大挑戰，考慮到離散方法還存在難以進行機理性分析的問題，這些問題均限制了有限元和邊界元方法的發展。因此，半解析半數值法逐漸成為進行旋轉殼力學性能分析的有效辦法。H Tottenh和K Shimizu［6］首次提出了一種針對圓柱殼自由振動問題的傳遞矩陣法。T Irie將傳遞矩陣法擴展應用到具有離散彈簧支 承的圓柱 殼［7］、變厚 度 錐殼［8］等各類結構在空氣中的諧振問題。張敬東［9］采用彈性力學中傳遞矩陣方法和聲學中邊界元方法相結合的方式，給出水下任意形旋轉薄殼振動和聲輻射問題的數值預報方法，并進行了理論和實驗驗證。鄒時智［10］導出了旋轉薄殼狀態向量的一階常微分矩陣方程，實現了一種半解析半數值求解。瞿葉高［11］提出了一種區域分解法來分析任意邊界條件的復合材料層合旋轉殼自由振動。但是迄今尚未見到有關加筋旋轉殼體結構振動和水下聲輻射的半解析方法。

本文采用精細傳遞矩陣法和改進波疊加法相結合給出了一種分析加筋旋轉殼等此類結構聲振特性的半解析半數值方法。分別以脈動球、擺動球、圓柱殼及球殼等旋轉殼結構形式為例，將計算結果分別與文獻及實驗結果進行對比，驗證該方法在聲振特性預報上的有效性。

1 環肋旋轉殼的傳遞矩陣

1.1 旋轉殼的控制方程

根據Flügge殼體理論，分別在s，φ，n三個方向建立力平衡方程：

式中Ns為軸向力；Nsφ為剪力；Qs為橫向力；Msφ，Mφs，Mφ為彎矩和 扭矩，這些 膜力、剪力 及 其余內力參見文獻［10］；A，B代表lame常數；u，ν，w分別代表s，φ，n三個方向的位移變形；ρ為材料的密度；h為殼體的厚度；ω為圓頻率。同時對所有狀態向量進行無量綱化，并根據其軸對稱特征沿周向展開成Fourier級數形式：

式中n為周向波數；E，ν分別代表旋轉殼的彈性模量、泊松比；剛度K=Eh3/［12（1-ν2）］；R為旋轉殼φ方向最大曲率半徑，如圖1所示。

圖1 環肋旋轉殼模型示意圖Fig.1 Geometry and coordinate for stiffened shells of revolution

為了簡化分析過程，分別令ξ=sR-1，λ2=ρh R2ω2D-1對參數s及ω進行無量綱化。s為旋轉殼上沿母線s方向上任意一點位置，ω為外激勵頻率，為抗拉剛度，λ為無量綱的頻率參數。任意旋轉殼的一階控制微分方程可表示為

式中F（ξ）代表殼體受到的外界激勵力，p（ξ）為殼體表面的聲壓。殼體的狀態向量Z（ξ）=其中分別代表旋轉殼母線s方向、周向φ方向、徑向n方向無量綱位移值及無量綱轉角。分別代表無量綱膜力、無量綱彎矩、Kelvin-Kirchhoff剪力及薄膜合剪力。系數矩陣U（ξ）就是結構狀態向量的場傳遞矩陣，各非零元素Uij（i，j=1，2，…，8）為對φ運算后得到的參數。

1.2 環肋處點傳遞矩陣

假定環肋布置處母線與軸線的夾角為α時，和滿足=ucosα+wsinα和=usinα+wcosα。考慮環肋與旋轉殼在連接處滿足位移連續條件，即環肋截面質心的位移分量與殼體中面位移分量u，ν，w之間的關系滿足：

式中e為偏心距，內肋取負號，外肋取正號；Rb為肋骨形心半徑，Rb=R+e；Fu，Fν，Fw和Mφ分別表示旋轉殼作用在單位長度環肋截面形心上的軸向力、切向力、徑向力和扭矩；分別表示環肋作用在單位長度旋轉殼上的軸向力、切向力、徑向力和扭矩。令=Fucosα+Fwsinα=Fusinα+Fwcosα，則殼體與環肋間相互作用的作用力滿足Fw=-，Fν=-Fν，Fu=-，Mφ-。在某一環肋位置ξk處，環肋左端面ξ=ξLk、右端面ξ=ξRk的狀態向量滿足

1.3 諧激勵作用的處理

假設旋轉殼結構受到的機械激勵力設為集中力，作用點為（x0，θ0），故機械激勵力表達式為

將式（6）進行正交變換可得

式中fn=f0（ 2π）。因此，作用在旋轉殼結構上的激勵載荷可以表示為

式中frn，fan分別為給定周向波數n情況下的徑向激勵、縱向激勵。

2 流體介質中旋轉殼的聲輻射

2.1 改進波疊加法

為解決傳統邊界元法求解聲輻射時存在的問題，Koopmann［12］提出一種基于波疊加原理的虛擬邊界積分方法，黃玉盈［16］提出一種求解軸旋轉空穴三維聲輻射問題的復數矢徑虛擬邊界譜方法。本文在上述研究的基礎上，采用Fourier級數求和代替對積分方程進行離散化求和的辦法，將虛擬源與彈性結構之間的距離d進行復數化，避免特征頻率的不唯一性，并應用快速Fourier變換進行計算，最終給出了一種改進的波疊加法。

對于彈性體振動的聲輻射問題，以虛擬面作為虛擬分布源，可寫出輻射聲場的虛擬邊界積分表達 式［12］

虛擬源面上任意一點O與外輻射聲場中任一點P的距離在柱坐標系下可表示為

將σ（O）和K（P，O）沿著周向進行Fourier級數展開后代入到方程（9）可得

將式（12）代入式（11）中，可知

令Kmn，將母線積分區間0～L＇進行M等分，周向積分區間（0～2π ）也進行N等分，則

輻射聲壓可表示為

由式（15）可知，結構是采用2的冪級數進行離散，因此計算Kmn（~P）時可采用快速Fourier變換。

2.2 流-固耦合問題的求解

對于旋轉殼上任意一點P均滿足流-固耦合邊界條件

同理，將σ（O） 和K＇（P，O）沿周向進行Fourier級數展開，可得

式中L＇為配置曲面的母線長。將σn

同理將結構表面法向位移（w P）沿周向進行Fourier級數展開后代入式（16），殼體母線上任一點均應滿足

2.2.1 外界激勵作用下的振動響應

對殼體沿母線方向進行N等分離散，任何分段均滿足假設分段布設有環肋，則滿足

式中Tj+1為第j分段的場傳遞矩陣，Pj+1為第j分 段 的 非 齊 次 項。可令 傳遞 矩 陣Tj+1中 的為精細算法的指數矩陣/2是第j分段的平均值，進而可采用精細積分方法。式（20）的非齊次積分項可應用高斯積分進行求解。

借鑒有限元封裝質量陣、剛度陣的思想，對Tj進行整合，可得

考慮殼體的兩端邊界條件，可得到外激勵力Fk和單項廣義聲壓Kmn下的狀態向量Zfn（ξ）和（ξ）。

2.2.2 流場輻射聲壓的求解

根據疊加原理可知，給定周向波數n下旋轉殼體表面各點的法向位移可表示為

將式（22）代入式（19）中，可得

由于任一點在給定周向波數n下均滿足式（23），故沿著封閉系統母線進行配點（配點數要求q≥2m+1）可以構造線性方程組

3 數值計算

本文采用精細傳遞矩陣法結合改進波疊加法分別對脈動球、擺動球、環肋柱殼及球殼的聲輻射進行計算，并將計算結果與解析解及實驗值進行對比，驗證本文方法的有效性。

3.1 脈動球與擺動球

取脈動球的半徑為r0=1 m，法向表面振速為1 m/s做呼吸態脈動。外界介質阻抗為ρc，計算時分別取波數為0～10，步長為0.5。收縮系數α取0.65，復數因子γ取0.1。周向、母線方向展開Fourier級數分別取2和8，計算結果如圖2所示。取擺動球的半徑為r0=1 m，擺動球振動速度的幅值為ν0=1 m/s，方向為z軸，即φp=0。坐標系原點建立在球心處。擺動球表面法向振速為ν0cosφp，計算結果如圖3所示。

圖2 脈動球的聲壓分布Fig.2 Sound pressure at the pulsating sphere surface

通過對圖2和圖3中脈動球、擺動球的聲壓對比結果可知：本文方法計算結果與解析解對比吻合良好。由于本文方法對d進行復數化處理，能夠有效避免采用傳統波疊加法存在特征頻率處解的不唯一性問題。

3.2 圓柱殼

本文圓柱殼模型1的參數為：長度L=20 m，半徑R=1.0 m，厚度h=10 mm，彈性模量E=2.1× 1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3。外部流體介質參數為：密度ρ=1 000 kg/m3，聲速c= 1 500 m/s。分別采用本文方法和有限元對兩端剛性固定時圓柱殼的固有頻率進行對比計算，如表1所示。

圖3 擺動球的聲壓分布Fig.3 Sound pressure at the swing ball surface

表1 固有頻率計算結果Tab.1 Results of natural frequency（Unit：Hz）

從表1可以看出，本文提出的精細傳遞矩陣方法與有限元及文獻計算結果吻合較好，誤差小于3%，驗證了本文方法的有效性。

本文圓柱殼模型2的參數：長度L=0.6 m，半徑R=0.175 m，厚度h=2 mm，徑向力作用在內殼（L/2，0）處，幅值為1 N。水聽器安裝在距殼體外面1 m處，激勵頻率f=4 k Hz。模型為加兩根外肋圓柱殼，模型的材料都相同，肋骨等間距布置。模型2的彈性模量E=2×1011N/m2，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3，損耗因子取η=0.01。流體密度取ρ0=1 000 kg/m3，聲速度c0=1 500 m/s。邊界條件為兩端簡支。分別采用本文方法和B Laulgnet［2］方法求解模型2的水下輻射聲壓，并將計算結果與文獻中的測試結果［15］進行對比，計算結果和時間對比見表2所示。

表2 水下聲輻射計算結果（f=4 k Hz）Tab.2 Results of the radiated noise（f=4 k Hz）

從表2中數據可知：本文采用精細傳遞矩陣法結合改進波疊加法計算得到各周向角度的輻射聲壓與B Laulgnet［2］方法的計算結果基本吻合在一起。本文方法與實驗測量值除了局部角度存在一定差異，但整體上基本吻合在一起。這說明本文方法在求解環肋柱殼時具有較好的精確度，并且能夠應用于求解有限長加肋圓柱殼的水下聲輻射預測。表1和表2中的數據表明，本文方法的CPU時間要小于有限元方法和B Laulgnet［2］方法，證明了本方法在求解殼體結構聲振特性時具有較高的計算效率。

3.3 受均布載荷的球殼

本文球殼模型的半徑R=1 m，h=0.03 m，力激勵的分布角度α=36°，流場中參考點的位置為r=20 m，彈性模量E=2×1011N/m2，泊松比ν= 0.3，密度ρ=7 668.71 kg/m3，水介質的參數為：密度ρ=1 000 kg/m3，聲速c=1 500 m/s。由于球殼結構受到軸對稱激勵，故只有n=0階模態受到激發。計算時只需取n=0，m=10。圖4給出了ka= 1和ka=2時本文方法計算球殼表面法向位移和輻射聲壓和文獻值的對比。可以發現，在不同的無量綱頻率下的位移和輻射聲壓與文獻值吻合良好，證明本文方法在計算旋轉殼結構聲振特性上的有效性和可行性。

圖4 球殼表面法向位移和輻射聲壓結果對比圖Fig.4 Distribution of surface normal displacement and sound pressure of spherical shell

4 結 論

本文給出了一種精細傳遞矩陣法結合改進波疊加方法用于求解計算旋轉殼結構的聲振特性。本文在求解旋轉殼的動響應時，采用精細積分方法，克服了傳統傳遞矩陣法的數值不穩定問題；求解旋轉殼的水下聲輻射時，采用改進波疊加法避免了數值計算的奇異性和特征頻率處解的不唯一性問題。文中分別以擺動球、脈動球、加筋圓柱殼和球殼為例，對相應模型的振動和聲輻射進行計算并與文獻值和實驗結果進行對比，驗證本文方法的有效性。

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A semi-numerical method for predicting the vib-acoustic problem of stiffened shells of revolution

WANG Xian-zhong1，2
（1.Key Laboratory of High Performance Ship Technology of Ministry of Education，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China；2.Departments of Naval Architecture，Ocean and Structural Engineering，School of Transportation，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China）

A coupled precise transfer matrix and modified wave superposition method is presented for predicting the structural and acoustic radiation responses of shells of revolution.Considering the effect of the ring-stiffeners，the field transfer matrixes of shells of revolution are obtained accurately by precise transfer matrix method which overcomes the numerical instability problem of traditional transfer matrix method.The sound pressure in fluid is described by modified wave superposition method which is employed to satisfy the fluid-solid coupling boundary condition.Then the structural and acoustic responses of shells of revolution are obtained finally.The structural and acoustic radiation responses of the pulsating sphere，swing ball，submerged cylindrical shell and spherical shell are compared with FEM results and test results，and they are quite close to each other.

acoustic radiation；shell of revolution；precise transfer matrix method；wave superposition method

O422.6；TB53

A

1004-4523（2015）05-0793-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.015

王獻忠（1986—），男，博士，講師。電話：13720383690；E-mail：xianzhongwang00@163.com

2014-08-29

：2015-04-21

國家自然科學基金資助項目（51409200）；中央高校基礎科研業務費專項資金資助項目（2014-Ⅳ-022）