Vold-Kalman濾波和高階能量分離在時(shí)變工況行星齒輪箱故障診斷中的應(yīng)用研究

秦嗣峰，馮志鵬，LIANG Ming

（1.北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京100083；2.渥太華大學(xué)機(jī)械工程系，安大略渥太華K1N 6N5，加拿大）

Vold-Kalman濾波和高階能量分離在時(shí)變工況行星齒輪箱故障診斷中的應(yīng)用研究

秦嗣峰1，馮志鵬1，LIANG Ming2

（1.北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京100083；2.渥太華大學(xué)機(jī)械工程系，安大略渥太華K1N 6N5，加拿大）

時(shí)變工況下的行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)具有明顯的時(shí)變調(diào)制特點(diǎn)，常規(guī)的頻譜分析方法難以識(shí)別齒輪故障特征頻率。提出了基于Vold-Kalman濾波和能量分離的時(shí)頻分析方法，識(shí)別行星齒輪箱的時(shí)變特征頻率，診斷齒輪故障。與傳統(tǒng)的時(shí)頻分析方法相比，基于Vold-Kalman濾波和能量分離的時(shí)頻表示具有良好的時(shí)頻分辨率，而且沒有交叉項(xiàng)干擾，能夠有效提取非平穩(wěn)信號(hào)中的時(shí)變頻率成分。分析了行星齒輪箱時(shí)變工況下的實(shí)驗(yàn)信號(hào)，準(zhǔn)確地診斷了齒輪故障，驗(yàn)證了該方法的有效性。

故障診斷；行星齒輪箱；高階能量分離；Vold-Kalman濾波；時(shí)頻分析

引 言

行星齒輪箱在風(fēng)力發(fā)電機(jī)、直升機(jī)和車輛等裝備中應(yīng)用廣泛，實(shí)際運(yùn)行中，其工況經(jīng)常發(fā)生變化，產(chǎn)生非平穩(wěn)的振動(dòng)響應(yīng)。目前的研究主要集中在恒定工況方面［1-2］，而針對(duì)時(shí)變工況方面的研究并不多見，其中，Williams和Zalubas［3］考慮直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)的非平穩(wěn)特點(diǎn)，應(yīng)用Wigner-Ville分布檢測(cè)行星齒輪箱故障。Bartelmus和Zimroz［4-5］發(fā)現(xiàn)行星齒輪箱故障對(duì)載荷變化敏感，應(yīng)用齒輪嚙合振動(dòng)幅值與工況之間的線性依賴關(guān)系監(jiān)測(cè)時(shí)變工況下的行星齒輪箱運(yùn)行狀態(tài)。

行星齒輪箱故障診斷的關(guān)鍵是根據(jù)故障特征頻率及其幅值的變化識(shí)別故障原因。行星齒輪箱嚙合頻率和齒輪故障特征頻率與轉(zhuǎn)速直接相關(guān)。工況（轉(zhuǎn)速和負(fù)荷）的變化將引起轉(zhuǎn)速波動(dòng)，嚙合頻率和齒輪故障特征頻率也會(huì)隨之發(fā)生變化。因此，如何從非平穩(wěn)信號(hào)中有效地識(shí)別齒輪故障特征頻率及其時(shí)變特征，是時(shí)變工況下行星齒輪箱故障診斷的關(guān)鍵問題。

對(duì)于時(shí)變工況下的行星齒輪箱的非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)，時(shí)頻分析是一種有效的分析手段。但是，常見的時(shí)頻分析方法各有優(yōu)缺點(diǎn)［6-7］。例如：線性時(shí)頻表示（如短時(shí)Fourier變換和小波變換）雖然不存在交叉項(xiàng)干擾問題，但是其時(shí)頻分辨率受Heisenberg不確定性原理的限制，不能同時(shí)達(dá)到最佳；Wigner-Ville分布雖然時(shí)頻分辨率高，卻存在固有的交叉項(xiàng)干擾問題，不適合分析復(fù)雜多分量信號(hào)；以Wigner-Ville分布為基礎(chǔ)的雙線性時(shí)頻分布（包括Cohen類分布和仿射類分布）通過各種核函數(shù)進(jìn)行平滑處理，雖然抑制了交叉項(xiàng)干擾，但是會(huì)造成信號(hào)自項(xiàng)畸變，降低時(shí)頻分辨率；Hilbert-Huang變換雖然對(duì)信號(hào)的時(shí)變具有自適應(yīng)性，而且具有良好的局部時(shí)頻聚集能力，但是對(duì)信號(hào)中的奇異點(diǎn)敏感，容易產(chǎn)生模式混淆，得到虛假的本質(zhì)模式函數(shù)，影響分析結(jié)果。

行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)具有明顯的調(diào)制特點(diǎn)，在時(shí)變工況下，將表現(xiàn)出時(shí)變調(diào)制特征。非線性信號(hào)處理中的能量算子方法為分析這種時(shí)變調(diào)制信號(hào)提供了有效的途徑。能量算子通過信號(hào)的瞬時(shí)幅值及其微分的非線性組合估計(jì)信號(hào)的“能量”，在其基礎(chǔ)上提出的能量分離算法可以計(jì)算任意調(diào)制信號(hào)的幅值包絡(luò)和瞬時(shí)頻率［8-12］。能 量算 子 和 能 量分離在信號(hào)及其導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算，算法簡(jiǎn)單、時(shí)間分辨率高，對(duì)信號(hào)的瞬態(tài)變化具有良好的適應(yīng)性。但是，該方法僅適用于單分量信號(hào)。對(duì)于成分復(fù)雜的行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)，需要將其分解為單分量再進(jìn)行分析。

近年來提出的Vold-Kalman濾波方法［13-15］在最小化結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)方程誤差的基礎(chǔ)上，可以有效分解復(fù)雜多分量信號(hào)的頻率成分，為解決頻率交錯(cuò)重疊的行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)單分量分解問題提供了一種有效手段。

針對(duì)時(shí)變工況下行星齒輪箱故障診斷面臨的復(fù)雜非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)分析問題，考慮Vold-Kalman濾波方法在單分量分解以及能量分離方法在瞬時(shí)頻率計(jì)算方面的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，提出了基于二者的時(shí)頻分析方法。

1 Vold-Kalman濾波

Vold-Kalman濾波可以將復(fù)雜多分量信號(hào)分解為單分量。與傳統(tǒng)的濾波方法相比，該方法直接從時(shí)域中提取感興趣的信號(hào)分量，避免了由時(shí)域至頻域變換帶來的相位偏差；與經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒ㄏ啾龋琕old-Kalman濾波的中心頻率可以根據(jù)瞬時(shí)頻率自適應(yīng)調(diào)節(jié)，能夠有效分離在時(shí)頻域內(nèi)鄰近甚至交叉的信號(hào)分量［14-15］，避免 了 由經(jīng)驗(yàn) 模 式分 解 方法帶 來的模式混淆現(xiàn)象。

任意調(diào)制信號(hào)可以表示為

式中k為階次，Ak（t）為第k個(gè)分量的幅值包絡(luò)，Θk（t）為載波信號(hào)。

式中ω（τ）為瞬時(shí)角頻率（τ）dτ為瞬時(shí)相位。

與載波信號(hào)相比，幅值包絡(luò)以較低頻率緩慢變化，可以用低階多項(xiàng)式表示。對(duì)于離散信號(hào)

式中 ▽為差分算子，s為差分階次，εk（n）為非齊次項(xiàng)。設(shè)多項(xiàng)式階次為2，根據(jù)式（3）得

當(dāng)n=1時(shí)，Ak（0）-2Ak（1）+Ak（2）=εk（1）。由于實(shí)際信號(hào)中，Ak（0）不存在，因此將Ak（0）視為0，可得-2Ak（1）+Ak（2）=εk（1）。同樣，當(dāng)n=N時(shí)，Ak（N+1）不存在，將Ak（N+1）視為0，可得Ak（N-1）-2Ak（N）=εk（N），式中N為采樣點(diǎn)數(shù)。

將式（4）展開成矩陣形式

不同階次的多項(xiàng)式具有相同的矩陣形式

式中M為N×N矩陣。

實(shí)際測(cè)試信號(hào)y（n）由各階分量與噪聲或誤差δ（n）組成，則

式中y（n）是實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)，δ（n）為噪聲或誤差項(xiàng)。

為了獲得某一感興趣的信號(hào)分量xk（n），由式（7）得

其矩陣形式為

根據(jù)常規(guī)的時(shí)頻分析（如短時(shí)Fourier變換）的時(shí)頻脊線，可以估計(jì)感興趣信號(hào)分量的瞬時(shí)頻率ωk（n），從而獲得其載波矩陣C。

根據(jù)式（6）和（9），應(yīng)用最小二乘法使非齊次項(xiàng)和噪聲或誤差項(xiàng)的平方和最小［16］，即

式中C*為C共軛轉(zhuǎn)置；A*為A共軛轉(zhuǎn)置；r為加權(quán)因子，決定了濾波器的頻率分辨力。r越大，濾波器的分辨力越高，但幅值包絡(luò)的收斂速度越慢；相反，r越小，濾波器的分辨力越低，但幅值包絡(luò)的收斂速度越快。為了保證幅值包絡(luò)的收斂性及計(jì)算的可行性，r的取值不能過大，其最大值如表1所示［17］。

表1 加權(quán)因子最大值Tab.1 The maximum value of the weighting factor

由式（10）求得各信號(hào)分量的幅值包絡(luò)矩陣A為

由載波矩陣C和幅值包絡(luò)矩陣A可以重構(gòu)感興趣的各信號(hào)分量

2 高階能量分離算法

能量算子和能量分離方法完全由信號(hào)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)，無需構(gòu)造任何基函數(shù)，能夠適應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)變化，時(shí)間分辨率高，適合檢測(cè)信號(hào)幅值和頻率的非平穩(wěn)變化特征，結(jié)合時(shí)頻分析方法，能夠分析處理任意時(shí)變調(diào)制信號(hào)。高階能量算子不僅具有普通二階能量算子的各種優(yōu)點(diǎn)，而且對(duì)噪聲干擾的魯棒性更好［11，12］，因此 本 文應(yīng)用高 階 能量 算 子進(jìn)行 能 量分離，計(jì)算信號(hào)的幅值包絡(luò)和瞬時(shí)頻率。

對(duì)于任意連續(xù)信號(hào)x（t），高階能量算子定義 為［10］

式中k為高階能量算子的階次，為任意整數(shù)；x（k）為x（t）的第k階導(dǎo)數(shù)

當(dāng)k為負(fù)數(shù)時(shí)，x（k）（t）由微分變?yōu)榉e分，將削弱高階能量算子檢測(cè)瞬態(tài)成分的能力，因此本文只關(guān)注k為正數(shù)時(shí)的高階能量算子。通常，高階能量算子可由低階能量算子通過遞歸推導(dǎo)得到

由式（13），（14）可知，當(dāng)k=2時(shí)，γ2（x）=（˙x）2-x¨x，即為二階Teager能量算子［8］；零階能量算子為γ0（x）=x-x2；一階微分能量算子對(duì)于任何信號(hào)都為零。在高階能量算子中，三階和四階能量算子比較實(shí)用，分別定義為

其中

對(duì)于簡(jiǎn)諧信號(hào)x（t）=Acos（ωt+θ），可以得到高階能量算子輸出的遞歸方程

初始條件為E0=-A2，E1=0。由式（18）遞推，可得

對(duì)于簡(jiǎn)諧信號(hào)x（t）=Acos（ωt+θ），由四階和二階能量算子可以估計(jì)信號(hào)的頻率和幅值

對(duì)于調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào)

若幅值包絡(luò)a（t）和瞬時(shí)頻率ω（t）變化的速率和幅度相對(duì)于載波頻率來說不大，則依然可以由四階和二階能量算子估計(jì)信號(hào)的時(shí)變頻率和包絡(luò)

3 分析過程

（1）應(yīng)用短時(shí)Fourier變換等常規(guī)時(shí)頻分析方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行初步時(shí)頻分析，判斷感興趣的信號(hào)成分。根據(jù)時(shí)頻脊線估計(jì)感興趣信號(hào)成分的瞬時(shí)頻率。

（2）根據(jù)已獲得的瞬時(shí)頻率曲線，構(gòu)造其載波信號(hào)，從而獲得感興趣信號(hào)成分的載波矩陣。

（3）根據(jù)感興趣信號(hào)成分的載波矩陣，應(yīng)用Vold-Kalman濾波將感興趣的信號(hào)成分分解為單分量，滿足能量分離方法的要求。

（4）應(yīng)用高階能量分離方法計(jì)算各單分量信號(hào)成分xi（t）的四階“能量”Ei（t）和瞬時(shí)頻率fi（t）。

（5）根據(jù)各單分量信號(hào)成分的四階“能量”和瞬時(shí)頻率，構(gòu)造信號(hào)的高階時(shí)頻“能量”分布

式中Ei（t）為第i個(gè)單分量在t時(shí)刻的四階“能量”，fi（t）為第i個(gè)單分量在t時(shí)刻的瞬時(shí)頻率，δ（·）為Dirac函數(shù)。

4 實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析

4.1 實(shí)驗(yàn)說明

本實(shí)驗(yàn)在Ottawa大學(xué)機(jī)器監(jiān)控實(shí)驗(yàn)室完成。圖1為該實(shí)驗(yàn)室的風(fēng)電機(jī)組行星齒輪傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)，其中行星齒輪箱和定軸齒輪箱均為兩級(jí)結(jié)構(gòu)，齒輪參數(shù)分別見表2和3所示。該實(shí)驗(yàn)臺(tái)的具體傳動(dòng)路線為：電機(jī)→定軸齒輪箱→第1級(jí)行星齒輪箱→第2級(jí)行星齒輪箱。為了模擬行星齒輪箱的齒輪故障，在第1級(jí)太陽輪的某個(gè)輪齒上加工了剝落損傷，如圖2所示。在行星齒輪箱箱體頂部安裝了加速度傳感器，采集行星齒輪箱的振動(dòng)信號(hào)。在自然停機(jī)過程中采集了振動(dòng)信號(hào)，采樣頻率為20 k Hz，行星齒輪箱第2級(jí)輸出軸承受的負(fù)荷為16.284 N·m。為了計(jì)算的可行性，僅取60至40 Hz降速過程內(nèi)的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析。

圖1 風(fēng)電機(jī)組行星齒輪傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.1 Wind turbine planetary gearbox experimental system

表2 行星齒輪箱參數(shù)Tab.2 Planetarygearboxconfigurationparameter

表3 定軸齒輪箱參數(shù)Tab.3 Fixed-shaftgearboxconfigurationparameter

圖2 太陽輪損傷Fig.2 Sun gear damage

根據(jù)行星齒輪箱和定軸齒輪箱的參數(shù)及電機(jī)轉(zhuǎn)速，可計(jì)算出第1級(jí)行星齒輪箱齒輪特征頻率與電機(jī)轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系：

嚙合頻率

太陽輪旋轉(zhuǎn)頻率

行星架旋轉(zhuǎn)頻率

太陽輪局部故障特征頻率

行星輪局部故障特征頻率

齒圈局部故障特征頻率

4.2 實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析

4.2.1 正常信號(hào)

圖3為正常行星齒輪箱降速過程中驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速變化曲線。在降速過程中，驅(qū)動(dòng)電機(jī)的最高轉(zhuǎn)速為60 Hz，相應(yīng)地，第1級(jí)行星齒輪箱的最高嚙合頻率為222.222 Hz。由于高階倍頻處特征頻率的變化規(guī)律與基頻處相同，不失一般性，以下分析的頻率范圍為0～400 Hz，覆蓋第1級(jí)行星齒輪箱最高嚙合頻率的3/2倍，振動(dòng)信號(hào)中包含該齒輪箱的健康狀態(tài)信息。

圖3 正常狀態(tài)電機(jī)轉(zhuǎn)速Fig.3 Motor speed of normal gearbox

圖4（a）為正常信號(hào)的短時(shí)Fourier變換譜圖。從圖中可以看出信號(hào)成分主要包括嚙合頻率fm、嚙合頻率與太陽輪故障特征頻率之差fm-fs、以及嚙合頻率、太陽輪故障特征頻率的2倍頻和太陽輪旋轉(zhuǎn)頻率的組合fm±2fs-fsr，但是時(shí)頻分辨率較低。

圖4 正常信號(hào)Fig.4 Normal gearbox signal

應(yīng)用Vold-Kalman濾波分離上述4個(gè)主要信號(hào)分量，然后應(yīng)用高階能量分離算法計(jì)算各分量的4階能量和瞬時(shí)頻率，最后應(yīng)用各分量的瞬時(shí)頻率和4階能量構(gòu)造高階時(shí)頻能量分布，結(jié)果如圖4（b）所示。該方法得到的時(shí)頻分布的分辨率高，而且沒有交叉項(xiàng)干擾。可以清晰地識(shí)別出嚙合頻率fm、嚙合頻率與太陽輪故障特征頻率之差fm-fs、以及嚙合頻率、太陽輪故障特征頻率的2倍頻和太陽輪旋轉(zhuǎn)頻率的組合fm±2fs-fsr，但它們的幅值均較小。齒輪制造和安裝誤差以及微小的損傷在所難免，導(dǎo)致振動(dòng)信號(hào)中出現(xiàn)上述頻率成分，這些現(xiàn)象符合正常信號(hào)的理論預(yù)期結(jié)果。

4.2.2 太陽輪故障信號(hào)

圖5為太陽輪故障狀態(tài)下驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速變化曲線。在降速過程中，驅(qū)動(dòng)電機(jī)的最高轉(zhuǎn)速仍為60 Hz，因此，以下分析頻率范圍仍為0～400 Hz。

圖5 太陽輪故障狀態(tài)電機(jī)轉(zhuǎn)速Fig.5 Motor speed of faulty sun gearbox

圖6（a）為太陽輪故障信號(hào)的短時(shí)Fourier變換譜圖。從圖中可以看出信號(hào)成分主要包括嚙合頻率fm、嚙合頻率與太陽輪故障特征頻率及其倍頻的組合fm±nfs、以及嚙合頻率、太陽輪故障特征頻率及其倍頻和太陽輪旋轉(zhuǎn)頻率及其倍頻的組合fm±nfs-nfsr等7個(gè)頻率成分，但是時(shí)頻分辨率較低。

應(yīng)用Vold-Kalman濾波和高階能量分離方法構(gòu)造的高階時(shí)頻能量分布如圖6（b）所示。嚙合頻率fm、嚙合頻率與太陽輪故障特征頻率之差fmfs、以及嚙合頻率、太陽輪故障特征頻率的2倍頻和太陽輪旋轉(zhuǎn)頻率的組合fm±2fs-fsr依然存在，但在1～2 s階段，嚙合頻率與太陽輪故障特征頻率之差fm-fs的能量明顯增強(qiáng)。此外，還出現(xiàn)了嚙合頻率與太陽輪故障特征頻率及其3倍頻之和fm+fs，fm+3fs以及嚙合頻率、太陽輪故障特征頻率和太陽輪旋轉(zhuǎn)頻率2倍頻的組合fm+fs-2fsr等3個(gè)頻率成分。與正常信號(hào)相比，該信號(hào)的高階時(shí)頻能量分布中出現(xiàn)了更多的頻率成分，且這些頻率均和太陽輪故障直接相關(guān)，說明太陽輪出現(xiàn)了故障，符合實(shí)驗(yàn)中的實(shí)際情況。

圖6 太陽輪故障信號(hào)Fig.6 Faulty sun gearbox signal

5 結(jié) 論

風(fēng)力發(fā)電機(jī)組、直升機(jī)和車輛等裝備中的行星齒輪箱的運(yùn)行工況經(jīng)常變化，振動(dòng)信號(hào)具有非平穩(wěn)性。針對(duì)時(shí)變工況下行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的時(shí)變調(diào)制特點(diǎn)，發(fā)揮Vold-Kalman濾波單分量分解和高階能量分離時(shí)間分辨率高的優(yōu)勢(shì)，提出了一種具有良好的時(shí)頻聚集能力、無交叉項(xiàng)干擾的時(shí)頻分析方法。應(yīng)用該方法分析了行星齒輪箱時(shí)變工況下的實(shí)驗(yàn)信號(hào)，準(zhǔn)確識(shí)別信號(hào)中的時(shí)變頻率成分，正確診斷了齒輪故障，驗(yàn)證了該方法的有效性。

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QIN Si-feng1，F(xiàn)ENG Zhi-peng1，LIANG Ming2
（1.School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China；2.Department of Mechanical Engineering，University of Ottawa，Ottawa，ON K1N 6N5，Canada）

The vibration signals of planetary gearboxes under nonstationary running conditions have significant time-varying modulation feature.Conventional spectral analysis methods are unable to identify the gear fault characteristic frequencies from such nonstationary signals.A method based on Vold-Kalman filter and higher order energy separation is proposed to analyze the vibration signals of planetary gearboxes under nonstationary conditions in time-frequency domain，thus to identify the timevarying characteristic frequencies and diagnose the gear faults.The time-frequency representation derived from Vold-Kalman filter and higher order energy separation provides nice time-frequency resolution and is free from cross term interference，and thus it can effectively pinpoint the time-varying constituent frequency components of nonstationary signals.The proposed method is validated with analysis of lab experimental signals of a planetary gearbox under time-varying running conditions.

fault diagnosis；planetary gearbox；higher order energy separation；Vold-Kalman filter；time-frequency analysis

TH165+.3；TH132.425

A

1004-4523（2015）05-0839-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.20

秦嗣峰（1989—），男，碩士研究生。電話：18866226821；E-mail：qsf0312@163.com

馮志鵬（1973—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。電話：13520978607；E-mail：fengzp@ustb.edu.cn

2014-05-13<； class="emphasis_bold">；修訂日期：2；

2014-11-05

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11272047，51475038）和教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目（NCET-12-0775）