含齒面溫度的二級直齒輪系統動力學模型及其動態特性分析

茍向 鋒，祁常君，朱凌 云

（1.天津工業大學機械工程學院，天津300387；2.蘭州交通大學機電工程學院，甘肅蘭州730070）

含齒面溫度的二級直齒輪系統動力學模型及其動態特性分析

茍向 鋒1，2，祁常君2，朱凌 云2

（1.天津工業大學機械工程學院，天津300387；2.蘭州交通大學機電工程學院，甘肅蘭州730070）

基于Block閃溫理論，推導出齒面接觸溫度隨時間變化的表達式，計算主、從動輪的齒面閃溫，計算由齒面接觸溫度變化導致的齒廓形變。根據 Hertz接觸理論，推導出隨齒面接觸溫度變化的嚙合剛度的表達式。建立綜合考慮齒面接觸溫度、時變嚙合剛度、齒面摩擦、齒側間隙、綜合傳遞誤差等因素的二級直齒圓柱齒輪系統非線性動力學模型。分析參數平面中剛度、間隙、誤差及載荷等對齒面閃溫及系統動力學特性的影響。結果顯示，齒面閃溫在齒根和齒頂嚙合時達到最大，在節點附近接近于零。表明所建立的考慮齒面接觸溫度的模型在一定程度上反映了齒輪嚙合時的溫度變化和滑動情況，計算得到的齒面溫度變化的基本規律是正確的。

機械動力學；二級齒輪；齒面溫度；動態特性；參數耦合

引 言

齒輪是應用廣泛的動力與運動傳遞裝置之一。在齒輪系統的實際工況中，齒面摩擦不可避免，而摩擦將導致齒面接觸溫度升高。在高速重載時，摩擦產生的齒面接觸溫度易導致齒面膠合。國內外已有的對齒面接觸溫度的研究主要采用有限元方法。Taburdagita等［1］建立了由摩擦引起齒面溫度變化的有限元模型。Mao［2］使用有限差分法研究了一種復合材料齒輪的齒面接觸溫度，提出了一種更接近實際的齒面閃溫計算方法。龍慧等［3］提出了一種齒面摩擦系數和熱流量的計算方法，建立了一種高速齒輪傳動瞬時接觸溫度分析模型。研究表明，齒面接觸溫度變化將使輪齒齒廓發生形變，使輪齒嚙合剛度發生變化，對齒輪系統的動力學性能產生較大影響，這使得齒面接觸溫度成為不可忽視的非線性因素之一。

Vaishya等［4-5］研究了齒輪系統的摩擦力，建立了計及摩擦力的齒輪系統動力學模型。Kahraman［6-7］提出了一種典型的考慮非線性時變因素的多嚙合直齒輪系統的非線性動力模型，這個模型包括耦合了兩對嚙合齒輪的3個剛性軸，未考慮軸承的非線性因素，并借助相對嚙合位移將系統簡化為兩自由度。Walha［8-9］為了研究制造和裝配誤差、間隙等對齒輪系統的影響，建立了一個二級直齒輪系統的非線性動力學模型。模型中考慮了時變嚙合剛度，軸及軸承則假設為剛性元件。Kamel［10］研究了用于風力渦輪機的二級直齒輪系統，用集中質量法建立了一個12自由度的動力學模型，該模型考慮了由風力變化而引起的激勵變化和時變嚙合剛度的波動。楊富春［11］建立了包 含多間隙、時變嚙合剛 度、傳動誤差等非線性因素的兩級直齒輪減速器的8自由度動力學模型，并分析了齒輪副的工作狀態。

本文在考慮齒面摩擦、時變嚙合剛度、齒側間隙等非線性因素的基礎上，根據Block齒面閃溫理論及Hertz接觸理論建立考慮齒面接觸溫度的二級直齒輪系統的離散動力學模型，計算系統在參數平面上的最大幅值云圖，分析本體溫度與其他參數耦合變化時的系統幅值響應；計算系統的位移-時間映像，以分析系統在參數平面中的動態特性。

1 考慮齒面接觸溫度的二級齒輪系統非線性動力學建模

1.1 齒面接觸溫度計算

齒面接觸溫度ΔB由本體溫度ΔM和齒面閃溫Δf等兩部分組成。ΔB可表示為

式中ΔM在系統達到穩定工作狀態后不再發生變化，此時兩齒輪本體溫度相同。Δf為由兩齒面相對滑動時摩擦力消耗的能量轉化的熱量，造成齒面局部瞬時溫度升高。根據Block閃溫理論［12］，可得Δf為

式中u為溫升系數，對于直齒圓柱齒輪，u=0.83；fm為摩擦系數；fe為單位齒寬上的齒面法向載荷（N/m）；νi（i=1，2）為兩齒面上的切向速度（m/s）；gi（i=1，2）為兩齒面的熱傳導系數（J/m·s·°C）；ρi（i=1，2）為兩齒面的密度（kg/m3）；ci（i=1，2）為比熱容；B為接觸帶半寬（m）。兩齒面上的切向速度νi（t）（i=1，2）是關于時間t的函數

式中ωi（i=1，2）為主、從動輪的角速度；ri（i=1，2）為主、從動輪分度圓半徑；α為分度圓壓力角；rci（t）（i=1，2）分別為嚙合點到主、從動輪中心的距離。ωi（i=1，2）為

式中 轉速ni（i=1，2）為

式中ωe為齒輪副的嚙合圓周頻率，zi（i=1，2）為主、從動輪齒數。rci（t）（i=1，2）可由下式計算得到：

式中rbi（i=1，2）為主、從動輪基圓半徑，ra2為從動輪齒頂圓半徑。

式（2）中的接觸帶半寬B也是隨時間t變化的時變參數，取主、從動輪齒寬相等，由Hertz接觸理論［13］可得主、從動輪的接觸帶半寬B（t）為

式中η為計算系數（η=1.128）；μ為泊松比；E為彈性模量（GPa）；F為齒面法向載荷（N）；b為主、從動輪齒寬（m）；Ri（t）（i=1，2）為嚙合點處主、從動輪齒廓曲率半徑（m）

式中αmi（t）（i=1，2）為主、從動輪上嚙合點處的壓力角（°），其表達式為

將式（3）和（8）代入式（2）即可計算出嚙合時主、從動輪齒面瞬時閃溫。

1.2 齒面接觸溫度引起的輪齒齒廓形變計算

當齒面溫度變化時，齒輪實際齒廓曲線將與理論齒廓曲線不重合，出現齒廓形變。不考慮其他因素對齒輪的影響，僅考慮溫度變化，則由齒面接觸溫度ΔB（t）引起的主、從動輪齒廓形變σi（t）（i=1，2）隨時間變化的表達式如下

式中Δ（t）為進入穩定狀態后的兩齒面的接觸溫度ΔB（t）與初始狀態的兩齒面溫度Δ0之差；li（i=1，2）為主、從動齒輪齒厚（m）；λ為材料的線膨脹系數；αki（i=1，2）為主、從動輪齒頂圓壓力角（°），表達式為

式中 invα為漸開線函數；ubi（i=1，2）為系統穩定工作時主、從動齒輪上的基圓熱變形量

式中Δ（r0i）（i=1，2）為穩定狀態時主、從動齒輪的軸的溫度（°C）；Δ（rbi）（i=1，2）為穩定時主、從動齒輪基圓面上的溫度（°C）；r0i（i=1，2）為兩齒輪的軸的半徑。將式（12）和（13）代入式（11），即可得到由齒面接觸溫度變化引起的兩齒輪齒廓變形量σi（t）。

1.3 齒面接觸溫度引起的剛度變化

根據Hertz接觸理論，假設由齒面接觸溫度變化導致的齒廓形變為σ，齒寬為b，則由齒面接觸溫度變化導致的剛度變化值kw為

將式（11）及主、從動輪齒寬b分別代入式（14），即可得由齒面接觸溫度導致的主、被動齒輪剛度變化kwi（t）（i=1，2）的計算式

嚙合時，兩齒面因接觸溫度變化而在嚙合點處產生的形變在一條直線上，由溫度引起的等效嚙合剛度kw（t）（溫度剛 度），可 由兩齒面的剛度變化kwi（t）（i=1，2）串聯而得，則kw（t）為

1.4 非線性動力學建模

圖1為二級直齒圓柱齒輪系統的離散物理模型。假設齒輪是剛性的，輪齒嚙合部分簡化為剛度與阻尼元件；不考慮原動機和負載的影響，輸入、輸出軸轉矩波動忽略不計；不考慮系統橫向、縱向和軸向振動，整個系統滿足幾何對稱；不考慮支撐的彈性變形，只研究嚙合齒輪間的扭轉振動位移。圖中，θi（i=1，2，3，4）為各齒輪的扭轉振動角位移；Ii（i=1，2，3，4）為各齒輪的轉動慣量；rbi（i=1，2，3，4）為各齒輪的基圓半徑；c12和c34分別為兩對嚙合齒輪間的嚙合阻尼；e12（t）和e34（t）分別為兩對嚙合齒輪間的綜合傳遞誤差；k12（t）和k34（t）為兩對嚙合齒輪間的時變嚙合剛度，它們分別由兩部分組成，一部分為嚙合沖擊造成的時變剛度k12t（t）和k34t（t），另一部分為齒面接觸溫度變化造成的時變剛度k12w（t）和k34w（t）；mi（i=1，2，3，4）為各齒輪的質量；Ti（i=1，2）為輸入和輸出軸上的轉矩。

圖1 二級直齒圓柱齒輪系統的離散物理模型Fig.1 Dynamic model of two-stage spur gear system

由牛頓第二定律可得系統的運動微分方程。

式中k12（t）=k12t（t）+k12w（t），k34（t）=k34t（t）+k34w（t），k12w（t）和k34w（t）可由式（16）計算得到；b12，b34為兩對嚙合齒輪的齒側間隙。第1對嚙合齒輪的固有頻率ωn1=，第2對嚙合齒輪的固有頻率ωn2=；m12=m1m2/（m1+m2），m34=m3m4/（m3+m4）為兩對嚙合齒輪的當量質量，mi=Ii/rbi（i=1，2，3，4）為各齒輪的質量，kaνi（i=1，2）為兩對齒輪的平均嚙合剛度。令τ=ωnt，則無量綱嚙合頻率ωi=ωei/ωni（i=1，2）。引入特征尺寸bc，得到無量綱間隙D12=b12/bc，D34=b34/bc。

兩對嚙合齒輪的無量綱間隙函數為：

2 齒面閃溫分析

選取齒輪材料為45鋼，系統的動力學模型中其他相關參數的選取如表1所示。由表1可計算得到系統的無量綱參數，如表2所示。

表1 齒輪參數取值Tab.1 Parameters of the baseline example gear pair

二級直齒圓柱齒輪系統存在兩對相嚙合的齒輪副，在嚙合過程中，兩對相嚙合的齒輪副間均存在齒面閃溫。圖2為在載荷與嚙合頻率耦合變化的情況下，兩對齒輪副嚙合時，出現的齒面最大閃現溫度。圖中橫軸為無量綱嚙合頻率，縱軸為載荷，不同顏色代表不同的最大齒面閃溫。由圖可見，嚙合過程中出現在兩對嚙合齒輪上的齒面閃溫與嚙合頻率和載荷的增大成正相關關系，嚙合頻率越大，載荷越大，出現的齒面閃溫越高。對比兩圖可以發現，在第1對嚙合齒輪的嚙合過程中，齒面閃溫較低的參數區域較小，齒面閃溫較高的參數區域較大，而第2對嚙合齒輪在嚙合過程中，齒面閃溫較高的參數區域較小。同時，出現在第2對嚙合齒輪上的齒面閃溫要遠高于出現在第1對嚙合齒輪上的齒面閃溫。

圖3為隨嚙合點位置變化，無量綱嚙合頻率ω=1.5時，在F=10 k N的載荷條件下，兩對嚙合齒輪的主、被動輪齒面閃溫的變化趨勢。橫軸為嚙合點距輪心的距離，縱軸為嚙合過程中出現的齒面閃溫。從圖中可以看出，當嚙合點位于齒根和齒頂處，輪齒在嚙入和嚙出時的齒面閃溫會達到峰值，在齒輪的節點位置，齒面閃溫達到最小，接近于零。

圖2 系統載荷-頻率耦合變化時的齒面最大閃溫Fig.2 Maximum flash temperature of tooth surface in F-ω

圖4為隨嚙合點位置變化，無量綱嚙合頻率ω=1.5時，在F=100 k N的載荷條件下，兩對嚙合齒輪的主、被動輪齒面閃溫的變化趨勢。當載荷增至F=100 k N時，齒面閃溫的變化趨勢基本與F= 10 k N時相同，但載荷增大，齒面接觸溫度大幅度升高。過高的齒面閃溫將導致輪齒的齒根和齒頂處發生膠合。

由圖3和4可見，主動輪從齒根部分嚙入時，出現較高的齒面閃溫，隨著嚙合過程的進行，在接近節點處，閃溫降到最低，之后隨著輪齒繼續嚙合，在主動輪齒頂附近即將嚙出時，閃溫又達到一個峰值，此時嚙合點處在從動輪的齒根部分。這一結果印證了齒輪嚙合中關于滑動率（表示齒面間相對滑動的程度，即在輪齒間接觸點，兩齒面間的相對切向速度（即滑動速度）與該點切向速度的比值）的以下結論：

（1）滑動率是嚙合點位置的函數，其值在（0，∞）之間變化；

（2）輪齒在節點嚙合時，其滑動率為0，在節點兩側的不同嚙合點時，由于滑動速度方向的改變，使滑動率符號改變；

（3）輪齒若在極限點嚙合（即齒根或齒頂進入嚙合）時，其滑動率達到∞，造成輪齒的嚴重磨損，故應避免輪齒在極限點嚙合。

3 齒面接觸溫度對系統動力學行為的影響

3.1 本體溫度、頻率與剛度波動幅值耦合變化的影響

圖5為系統在嚙合頻率和本體溫度耦合變化時，第1對嚙合齒輪與第2對嚙合齒輪間的最大幅值響應云圖。圖中橫軸為嚙合頻率，縱軸為本體溫度變化，不同顏色代表系統不同的最大幅值響應。同時，為考察剛度波動幅值與本體溫度和頻率的耦合關系，分別計算剛度波動幅值在k=0.1，k=0.2 和k=0.3時，第1對嚙合齒輪間的扭轉位移和第2對嚙合齒輪間的扭轉位移的最大幅值云圖。對比圖5中各圖可以發現，系統存在多處的幅值跳躍現象，隨著頻率的增大，系統的幅值響應呈現出多處的劇烈波動。本體溫度增大造成的幅值跳躍只在頻率較低的區域比較明顯。隨著剛度波動幅值的增加，系統發生振幅跳躍的區域減少。同時，對比第1對嚙合齒輪間和第2對嚙合齒輪間的幅值響應可以發現，第2對嚙合齒輪間的幅值跳躍更為明顯，說明第2對嚙合齒輪間的振動更為劇烈。

圖3 F=10 k N齒面閃溫隨嚙合點變化趨勢圖Fig.3 Trend chart of flash temperature via mesh point （F=10 k N）

圖4 F=100 k N齒面閃溫隨嚙點變化趨勢圖Fig.4 Trend chart of flash temperature via mesh point （F=100 k N）

圖6為兩對嚙合齒輪齒側間隙均為D=1.0，剛度波動幅值k=0.1，誤差波動幅值e=0.1時，兩對嚙合齒輪的扭轉振動位移隨嚙合頻率變化時的時間位移映像。由圖可見，在系統嚙合頻率變化的過程中，系統也出現了多處的跳躍現象，與圖5結果相似。同時在嚙合過程中，第1對嚙合齒輪的位移出現了小于間隙值的情況，輪齒發生脫嚙，而第2對嚙合齒輪則出現扭轉位移接近-1的情況，此時系統將發生齒背碰撞。二級齒輪減速器中的兩對相嚙合齒輪通過中間軸互相耦合，使得整個系統的振動特性非常復雜。

圖5 系統扭轉位移最大幅值云圖Fig.5 Maximum amplitude nephogram of torsional displacement with different stiffness

圖6 系統扭轉位移時間映像Fig.6 Time image of torsional displacement

3.2 本體溫度、頻率與間隙耦合變化的影響

圖7為選擇不同的齒側間隙值（D=0.5，1.5）時，系統第1對嚙合齒輪和第2對嚙合齒輪的扭轉位移在嚙合頻率和本體溫度耦合變化時的最大幅值云圖。選取不同的間隙值說明在較小間隙、較大間隙的情況下，系統的頻率和本體溫度耦合變化對系統的影響。由圖可見，當間隙值較小時，第1對嚙合齒輪的振幅在本體溫度較低的時較小，而在本體溫度較高的范圍內，振幅明顯增大，頻率對振幅跳躍的影響不明顯。第2對嚙合齒輪則在頻率較低的范圍內，隨著本體溫度的增加，振幅變化不明顯，而當ω≥1后，振幅的跳躍主要取決于本體溫度的變化，本體溫度越高，幅值響應越劇烈。增大齒側間隙后，系統的振幅跳躍現象再次變得劇烈。較大的間隙值或者較小的間隙值都不利于系統的穩定工作。

圖7 系統扭轉位移最大幅值云圖Fig.7 Maximum amplitude nephogram of torsional displacement with different backlash

圖8為兩對嚙合齒輪齒側間隙均為D=1.5，剛度波動幅值k=0.1，誤差波動幅值e=0.1時，兩對嚙合齒輪的扭轉振動位移隨嚙合頻率變化時的時間位移映像。從圖中可以看出，在間隙值為D=1.5時，隨著嚙合時間和頻率的變化，兩對嚙合齒輪的扭轉位移變化極不規律，說明兩對齒輪耦合對系統的振動造成了很大影響。同時，兩對嚙合齒輪均出現了多處的脫嚙現象。第2對嚙合齒輪在ω=1附近出現了連續的較強響應，說明此處振動劇烈。

圖8 系統扭轉位移時間映像Fig.8 Time image of torsional displacement

3.3 本體溫度、頻率與誤差波動幅值耦合變化的影響

圖9為選擇不同的誤差波動幅值時，兩對嚙合齒輪在嚙合頻率和本體溫度耦合變化時的最大幅值云圖。從圖中可以看出，在誤差波動幅值較小的時候，第1對嚙合齒輪間出現的最大扭轉振動振幅要明顯高于第2對嚙合齒輪間的最大扭轉振動振幅。在頻率較低的時候，第1對嚙合齒輪間的振幅出現了較強的響應，且隨著本體溫度的增大，最大幅值越來越大。但總體看來，在誤差波動幅值較小的時候，系統振幅較小，出現跳躍的地方不多。當誤差波動幅值增大到e=0.2時，在低頻范圍內，系統幅值較小，且基本不隨本體溫度增大而增大，但在ω≥1.2后，系統的幅值響應在大范圍里出現劇烈波動，且幅值響應隨著本體溫度升高而急劇增大。當誤差波動幅值繼續增大至e=0.3時，系統的振動更為劇烈，第1對嚙合齒輪間出現的較強幅值響應的參數區域急劇增大，第2對嚙齒輪間的幅值響應較強的區域雖然小，但可以發現出現的最大幅值明顯增大。對比圖中各圖可以看出，本體溫度、嚙合頻率和誤差波動幅值體現出強耦合關系。

圖9 系統扭轉位移最大幅值云圖Fig.9 Maximum amplitude nephogram of torsional displacement with different error

圖10為兩對嚙合齒輪齒側間隙均為D=1.0，剛度波動幅值k=0.2，誤差波動幅值e=0.3時，兩對嚙合齒輪的扭轉振動位移隨嚙合頻率變化時的時間位移映像。從圖中可以看出，當誤差波動幅值為e=0.3時，系統的扭轉位移波動極為劇烈。在0.7≤ω≤1.2的頻率區間里，第1對嚙合齒輪的齒面沖擊現象嚴重，齒面嚙合與齒背碰撞交替發生，而在其他地方也多處出現了脫嚙現象。在1.2≤ω≤1.8的頻率區間里，第2對嚙合齒輪也出現齒面嚙合與齒背碰撞交替發生的現象，并且扭轉位移較大，同時也多處出現脫嚙現象。由圖9與10可以看出，兩級直齒圓柱齒輪系統對誤差變化極為敏感，增大誤差會導致系統的振動劇烈，動力學特性更加復雜，對系統的穩定工作極為不利。

圖10 系統扭轉位移時間映像Fig.10 Time image of torsional displacement

4 結 論

（1）根據Block齒面閃溫理論得到齒面接觸溫度及其引起的輪齒齒廓形變隨時間變化的表達式。由Hertz接觸理論，推導出了齒面接觸溫度變化時的剛度變化表達式。通過剛度等效原理，得到由齒面接觸溫度變化產生的嚙合剛度（溫度剛度）。將溫度剛度與輪齒沖擊導致的嚙合剛度作為整體的時變嚙合剛度，建立考慮齒面接觸溫度的二級齒輪系統的非線性動力學模型。

（2）通過數值計算，分析了摩擦系數、載荷對齒面閃溫的動態影響。發現隨著摩擦系數、載荷的增大，產生的齒面閃溫也將升高。齒根部分與齒頂部分的閃溫增幅較高，更容易發生齒面膠合。

（3）計算結果顯示，齒面閃溫在齒根和齒頂嚙合時達到最大，而在節點附近接近于零。這表明本文的齒面閃溫計算方法能夠在一定程度上反映了齒輪嚙合時的溫度變化和滑動情況，該方法具有一定的科學性，在計算齒面溫度變化時其基本規律是正確的。

（4）研究發現，本體溫度越高，幅值響應越劇烈。較大或較小的間隙值、增大誤差對系統的工作穩定性不利。

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Nonlinear dynamic modelling and analysis of two-stage gear system with tooth contact surface temperature

GOU Xiang-feng1.2，QI Chang-jun2，ZHU Ling-yun1，2
（1.School of Mechanical Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China；2.School of Mechanical Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

The flash temperature of tooth surface of driving gear and driven gear is calculated based on Block＇s flash temperature theory.The mathematic expression for the variation of the contact temperature of the tooth surface changing with time is derived and the tooth profile deformation caused by the change of contact temperature of the tooth surface is computed.The expression of the meshing stiffness which will be changed by the contact temperature of the tooth surface is derived based on Hertz contact theory.A nonlinear dynamic model of a two-stage spur gear system is established when the nonlinear factors such as the contact temperature of the tooth surface，the time-varying stiffness，the tooth surface friction，the backlash and the transmission error are considered.The dynamic characteristic of the system is analyzed，and the influence of the coefficient of friction and the load on the flash temperature of tooth surface is also analyzed under the condition of parameter coupling.The calculated results show that the maximum value of the flash temperature of tooth surface appears when the gear meshes at teeth top and teeth root and it reached to zero near the pitch point.It indicates that the model considering the effect of the flash temperature of gear tooth surface is correct and it can reflect the rules for the change of gear meshing temperature and sliding of gear tooth surface.

machinery dynamics；two-stage gear；temperature of tooth surface；dynamic characteristic；parameter coupling

TH113.1；TH132.417

：A

1004-4523（2015）05-0762-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.011

茍向鋒（1974—），男，教授。電話：15202217826；E-mail：20150022@tjpu.edu.cn

2014-01-16

：2015-02-06

國家自然科學基金資助項目（51365025，11462012）；甘肅省自然科學基金資助項目（1212RJZA070）