航天器太陽陣的剛柔耦合動力學與控制研究

段柳成，李海泉，劉曉峰，蔡國平

（上海交通大學工程力學系，海洋工程國家重點實驗室，上海200240）

航天器太陽陣的剛柔耦合動力學與控制研究

段柳成，李海泉，劉曉峰，蔡國平

（上海交通大學工程力學系，海洋工程國家重點實驗室，上海200240）

對空間漂浮航天器太陽陣展開與鎖定過程的剛柔耦合動力學與控制問題進行較為全面的研究。基于Jourdain速度變分原理和單向遞推組集方法，建立了太陽陣展開與鎖定過程的剛柔耦合多體系統動力學模型，采用模糊自適應PD控制方法對航天器本體的姿態擾動進行主動控制。通過對考慮柔性效應的太陽陣展開與鎖定過程的數值仿真，較好地預測了太陽陣展開歷程及航天器本體姿態擾動情況。另外，通過采用模糊自適應PD控制方法與傳統PD控制方法進行仿真比較，驗證了該控制方法對航天器姿態控制的有效性。

剛柔耦合動力學；太陽陣；單向遞推組集；模糊自適應PD控制；ADAMS

引 言

太陽陣是航天器的重要部件，它為航天器的在軌工作提供電力。太陽陣在航天器入軌前呈收攏狀態，入軌后太陽陣壓緊機構釋放和展開機構動作，以實現太陽陣各帆板的展開與鎖定。太陽陣的展開過程呈現出復雜的動力學行為，太陽陣展開動作會對航天器的姿態造成擾動［1］，太陽陣展開到位后在鎖定裝置的作用下實現瞬間鎖定，這將誘發輕質柔性太陽帆板的激振，同時也會對展開機構造成嚴重的損害，因此開展航天器太陽陣展開動力學的研究工作是非常有必要的［2］。另外，隨著空間科學技術的發展，一方面是航天器朝著大型化和柔性化方向發展，太陽陣尺寸和規模隨之變大，柔性效應不可忽略，另一方面是高速度和高精度的要求，這就需要對太陽陣展開過程進行精確的動力學建模和動力學分析，為后續的控制設計提供模型保障。

截至目前，國內外眾多學者對太陽陣展開動力學進行了較為廣泛的研究，例如，Wie等［3］對INSAT航天器的剛性展開機構進行了運動學建模和數值仿真；Oskar和Simon［4］采用SIMPACK程序對柔性太陽帆板展開進行建模分析，討論了太陽陣柔性對驅動機構的影響；郭峰等［5-7］基于ADAMS軟件建立了剛性太陽帆板展開動力學模型，分析了帆板展開過程的動力學問題；Birhanu Fufa等［8-9］采用ADAMS和ANSYS商業軟件對太陽陣展開、鎖定過程動力學與衛星本體姿態擾動等問題進行建模分析等等。由以上可以看出，太陽陣展開動力學一直是國內外的研究熱點，眾多學者對此開展了大量的研究工作，但是仍存在一些問題有待進行深入探討，例如現有的研究對考慮柔性效應的太陽陣展開動力學及其對航天器姿態影響的研究尚不充分，文獻［8-9］研究了考慮帆板柔性變形的太陽陣展開時間歷程及航天器本體位姿變化情況，但是研究工作主要是基于虛擬樣機技術，沒有從理論上給出描述系統動態規律的動力學方程，也沒有開展相應的航天器位姿控制研究。

本文采用單向遞推組集方法對考慮柔性效應的太陽陣展開動力學與控制問題進行了詳細研究，通過與NASTRAN和ADAM的仿真結果對比驗證了本文所建模型的正確性，本文所給出的模糊自適應PD控制策略能夠有效地抑制太陽陣展開引起的航天器本體位姿的漂移現象。

1 太陽陣系統結構

1.1 系統描述

如圖1所示為某航天器太陽陣系統結構簡圖。系統由航天器本體（Hub）、連接塊（Yoke）、3塊太陽帆板和鉸鏈等所組成，其中航天器本體、連接塊、太陽帆板三者之間都是通過扭簧鉸鏈相互鉸接，由此形成鏈式結構。太陽陣釋放前處于折疊狀態，在航天器入軌后各展開構件靠扭簧驅動而同步展開，展開到預定位置后觸發鎖定裝置使太陽陣最終鎖定在期望位置。

扭簧所提供的扭矩可以表達如下：

式中Kdrive為扭簧的扭轉剛度，C為扭簧的阻尼系數，θ0為扭簧的預緊角，θ為構件的展開角如圖1（c）所示為展開角速度。設定阻尼系數C均為0，太陽陣展開前處于折疊狀態，系統展開到位后扭簧扭矩為零，因此對于連接塊有θ0=90°，而對于各個帆板則有θ0=180°。

圖1 太陽陣結構簡圖Fig.1 The structure of solar array system

1.2 繩索聯動展開機構

航天器太陽陣各個構件的展開要求保持同步性，這在實際中常常是通過繩索聯動裝置（CCL）來實現的，其連接方式如圖1（a）所示。在采用ADAMS軟件對太陽陣展開進行仿真時，不少文獻［2，5-6］采用了ADAMS的關聯副法（COUPLER）描述CCL，這實際上是將CCL的軟鋼索剛度視為無窮大，與實際結構有差別。本文將CCL視為一個反饋控制系統，這可以更加有效地描述CCL的力學性能，其數學模型為［3］

式中TCCL為CCL機構的繩索等效力矩，其對各展開構件的施加方式如圖1（c）所示；KCCL為CCL機構的等效扭轉剛度可由實驗測得；Δθ是鄰接展開角之差。例如，對于CCL1，有Δθ1=2θ1-θ2，其中θ1為Hub與Yoke之間的展開角，θ2為Yoke與第1塊帆板之間的展開角。對于CCL2，有Δθ2=θ2-θ3，其中θ3為第1塊帆板和第2塊帆板之間的展開角。對于CCL3，有Δθ3=θ3-θ4，其中θ4為第3塊帆板和第2塊帆板之間的展開角。

1.3 鎖定機構

鎖定機構的作用是當太陽陣展開到期望的角度后瞬間完成鎖定。本文采用凸輪鎖定機構［10］，該鎖定機構的數學模型可以結合ADAMS自定義的躍階函數與雙側碰撞函數的寫法來確定，然后采用MATLAB自編程序實現太陽陣的鎖定仿真，鎖定力矩的函數形式如下［10］

式中θ為展開構件的展開角位移如圖1（c）所示，˙θ為其展開角速度；x1和x2分別為躍階函數STEP中角位移變量的低閥值和高閥值；x3和x4分別為雙側碰撞函數BISTOP的角位移變量的低閥值和高閥值；k和e分別為剛度系數和剛度指數；c和d分別為阻尼系數和阻尼增量距離。

2 太陽陣展開動力學與控制

本節基于混合坐標即拉格朗日坐標和模態坐標，采用Jourdain速度變分原理和單向遞推組集方法建立太陽陣多體系統的動力學方程。最后采用模糊自適應PD控制策略進行航天器本體位姿主動控制的設計。

2.1 系統動力學建模

航天器在太陽陣整個展開及鎖定過程中處于自由懸浮狀態，其多體系統動力學模型為一無根多體系統。航天器太陽陣多體系統拓撲構型如圖2（a）所示，其中B1為航天器本體，B2為連接塊，B3～BN為太陽陣各帆板。為了在動力學仿真中考慮航天器本體姿態的變化，在本體和軌道坐標系之間引入一個6自由度的虛鉸，建立軌道坐標系x0y0z0與本體虛鉸坐標系xP1yP1zP1，本體虛鉸坐標系xP1yP1zP1與本體浮動坐標系x1y1z1固結，并令初始時x0y0z0與xP1yP1zP1兩坐標系相互平行，Qj和Pi分別為鉸Hi在鄰接兩物體上的內、外接鉸點，坐標系xPiyPizPi和xQiyQizQi分別為鉸點Pi和Qj的當地坐標，坐標系xRyRzR為參考坐標系且令其與軌道坐標系平行，坐標系xiyizi為Bi的浮動坐標系（通常建立在Bi未變形前的質心位置），i=1～N為物體Bi標號，j=L（i）為Bi內接物體標號。

圖2 太陽陣多體系統圖Fig.2 The solar array

采用浮動坐標與模態坐標來描述多柔體系統位形。定義Bi獨立的廣義坐標為

式中qi∈RδHi×1為鉸Hi的坐標列陣，δHi為鉸Hi的自由度數，δHi≤6；ai∈Rs×1為描述Bi彈性變形的模態坐標列陣，s為截取的模態階數。則太陽陣系統的獨立的廣義坐標列陣可以表示為

首先，分析單個物體的運動學情況。如圖2（b）所示，利用集中質量有限元的方法將變形體Bi分割成l個單元。將單元質量mk（k=1，…，l）集中到節點k上，則節點k的矢徑為，未變形時它處在矢徑的位置，節點k平移變形的矢量記為為節點的平移模態矢量陣，可由有限元分析得到。它們應滿足的幾何關系為

對式（6）在參考坐標系下分別求1階導和2階導，經整理得到

將式（7）寫成矩陣形式，得到

以下將推導鄰接物體的運動學關系。在多體系統中，鄰接物體之間是通過鉸進行連接的，鉸的相對運動可以通過固定在這兩個物體上的坐標系的相對運動進行描述。根據圖2（c）所示的幾何關系可以得到Bi及其內接物體Bj矢徑的關系式如下

式中和分別為鉸點Pi和Qj的矢徑，hi為鉸矢量列陣。式（9）在參考坐標系下的坐標式為

式中Ai和Aj∈R3×3分別為Bj和Bi的浮動坐標系相對參考坐標系的方向余弦陣；和∈R3×s分別為鉸點Pi和Qj的在浮動坐標系下的平移模態陣；是關于qi的函數，由鉸的物理性質決定，當鉸的類型已知時，可參考鉸庫［11］。

將式（10）兩邊分別求1階導和2階導，經整理可得到兩物體浮動坐標系原點的速度和加速度關系式

式中ωj為Bj浮動坐標系的角速度為鉸矢量列陣的坐標方陣，和分別為物體Bi和Bj的模態速度和分別為鉸的相對速度和加速度列陣和∈R3×s分別為鉸點Pi和Qj的轉動模態陣，，ηi=，H＇iΩT是關于qi的函數且根據鉸的類型確定，A0hi為Bi內接鉸的當地坐標系相對參考坐標系的方向余弦陣。其他矢量坐標陣的表達式請參考文獻［11］。

根據上文推導，將式（11）寫成矩陣形式，得到速度與加速度的遞推關系式

式中Tij，Ui和βi的具體表達式可參考文獻［11］。以上推導了兩個物體的位形速度陣和加速度陣之間的關系式。類似地，若系統中包含有N個物體，則系統中各物體位形速度陣和加速度陣之間的關系式可表述如下

式中Gi0、Gik和gik具體的表達式參考文獻［11］。

對式（13）所示的多體系中N個物體的位形速度和加速度進行組集可以分別得到系統絕對坐標速度、加速度列陣和系統廣義坐標速度、加速度列陣的遞推關系式為

式中v0與分別為B0的絕對速度與加速度列陣（對于無根系統，兩者均為零矢量陣），∈RN×1為N維單位列陣，其他矩陣數學表達形式請詳見參考文獻［11］。

基于上述運動學關系的推導結論，以下將建立系統的動力學方程。根據速度變分原理，Bi的速度變分形式的動力學方程可以表示為

式中vi為Bi的絕對速度列陣，Mi∈R（6+s）×（6+s）為Bi的廣義質量陣，fi∈R（6+s）×1為Bi的廣義力列陣，ΔP為系統中的力元和非理想約束力的虛功率之和。經整理，Mi和fi的表達式如下。

Mi的表達式為

fi由Bi的所受到的外力列陣、慣性力列陣和變形力列陣組成，可以通過下式計算得出

式中fωi，foi和fui∈R（6+s）×1分別為物體Bi所受的慣性力列陣、外力列陣和變形力列陣，給出如下：

式中Fki和Mki∈R3×1分別為作用于物體Bi節點k上的外力和外力矩列陣；Cia與Kia分別為物體Bi的模態阻尼陣與模態剛度陣，且為s×s階常值方陣。

由式（16）和（17）得到的廣義質量陣與各廣義力列陣含有模態變量，且大多是時變的。若直接用于數值計算將出現大量的慢變大幅值的剛體坐標與快變微幅的變形坐標間的運算，不僅計算工作量大，而且嚴重影響計算精度。為此必須做進一步變換，盡可能減少這兩種變量的耦合運算。具體的變換方法請參考文獻［11］。

將式（15）寫成矩陣形式有

式中M=diag（M1，…，MN）與f=（fT1，…，fTN）T分別為系統的廣義質量矩陣和廣義力列陣。

使用運動學遞推關系式（14），并且考慮到ΔP= （Δ˙y）T（feye+feync），其中feye和feync分別為系統中力元和非理想約束力對應關于坐標y的廣義力，則可以得到以系統廣義坐標形式所描述的系統動力學方程的速度變分形式為

式中

由于y為系統獨立的廣義坐標，因此最終可得系統的動力學方程為

2.2 控制設計

太陽陣的展開過程會對航天器的位姿造成影響，影響其定位精度，采用合適的控制策略抑制這種姿態漂移現象是十分必要的［12］。在控制策略方面，傳統的線性PD控制策略由于實際工程運用簡便而備受關注，但其控制增益是憑借經驗設定的，并不能根據控制系統具體情況自動調整，對于復雜系統其控制效果并不理想，而基于傳統PD控制方法改進的模糊自適應PD控制策略能夠實時地獲取控制系統較為理想的增益值，對于復雜系統的控制效果良好［13］。本小節將采用模糊自適應PD控制方法，通過施加在Hub上6個自由度上的控制力和力矩來控制帆板展開所引起的系統位形變化。施加控制項后，系統方程（22）可以改寫為

式中F（，y）=Z-1（z+fey）為系統廣義力列陣，D為控制力位置矩陣，τ（t）∈R6×1為控制力列陣。本文采用航天器本體的信息進行控制反饋，因此模糊PD控制律可寫為

式中ea（t）和（t）分別為航天器本體姿態漂移和漂移速度；kp和kd為PD控制增益矩陣，均為對角陣；Δkp和Δkd為模糊自適應PD控制增益修正矩陣，均為與ea（t）和（t）相關的對角陣。從下節的數值仿真將可以看出，模糊自適應PD控制律能夠有效地抑制太陽陣展開所引起的本體位形漂移。

3 數值仿真

本節進行數值仿真，驗證以上理論的有效性。考慮航天器帶有三塊帆板的情況。系統物理參數見表1。

航天器在空間處于漂浮狀態，初始時刻太陽陣為收攏狀態。所有扭簧剛度皆取值為Kdrive=0.1 N· m/rad，CCL裝置的等效扭轉剛度取值為KCCL=5 N·m/rad。Yoke和三塊帆板在展開過程中需要保持同步性，因此任意時刻展開角之間在數值上應滿足θ2=θ3=θ4=2θ1。鎖定機構的鎖定力矩函數各參數的取值可以參考文獻［4］，在此不再給出。

采用MSC/NASTRAN有限元分析程序對連接塊和各帆板進行有限元分析以提取相關的模態信息［11］。連接塊采用固支-自由模型，取121個節點，其第1階模態剛度為1.257×106，前3階特征頻率分別為178.447，235.479和385.378 Hz。各帆板采用簡支-自由模型，離散為225個節點并取前3階模態（刪除剛體模態）。各帆板第1階模態剛度為389.874，前3階特征頻率分別為3.142，6.391和15.622 Hz。通過連接塊和帆板第1階剛度的比較，連接塊要比帆板高出3個數量級。故在仿真計算中將航天器本體和連接塊做剛體假設，帆板做柔性體假設。

表1 航天器太陽陣模型的物理參數Tab.1 Parameters for the solar arrays

根據本文理論自編程序進行數值仿真。航天器的連接塊和三塊帆板的角位移時程如圖3所示，可以看出，太陽陣各展開構件在扭簧驅動及CCL裝置的共同作用下實現同步展開動作，并在17.5 s依靠鎖定機構開始鎖定。另外，根據文獻［2］的方法采用通用軟件NASTRAN和ADAMS對上文所建立的模型進行數值仿真，仿真曲線如圖3虛線所示，可以看出，采用本文方法能夠取得與ADAMS軟件相同的仿真結果，這驗證了本文方法的有效性。

太陽陣的展開過程會引起航天器本體位姿的變化，如圖4中虛線所示。為了抑制位姿漂移，分別采用傳統PD方法和改進的模糊自適應PD方法進行控制。傳統PD控制律可寫為τ（t）=kpea（t）+（t），其增益取值為kp（i，i）=103，kd（i，i）=2×102，i= 1～6。控制仿真結果如圖4黑實線所示，可看出，施加控制后航天器本體基本維持在初始位置。為獲得更有效的控制效果，采用改進的模糊自適應PD策略進行控制，其中Δkp和Δkd可由表2模糊規則確定，輸入變量eja和輸出變量Δkjp，Δkjd的隸屬度函數如圖5所示。圖6黑實線給出了航天器本體位姿在采用模糊自適應PD控制策略下的控制效果，可以看出采用模糊自適應控制策略可以更好地抑制航天器本體的位姿漂移現象。

圖3 太陽陣角位移時間歷程Fig.3 Angular displacement of the solar arrays

圖4 航天器本體的位移和角位移時間歷程Fig.4 Displacement and angular displacement of the Hub

表2 Δkjp（eja）和Δkjd（eja）的模糊控制規則Tab.2 The fuzzy rule ofΔkjp（eja,）andΔkjd（eja,˙）

表2 Δkjp（eja）和Δkjd（eja）的模糊控制規則Tab.2 The fuzzy rule ofΔkjp（eja,）andΔkjd（eja,˙）

ZO PNNΔkjp～P，Δkjd～P Δkjp～ZO，Δkjd～P Δkjp～N，Δkjd～PZO Δkjp～P，Δkjd～ZO Δkjp～P，Δkjd～ZOP Δkjp～ZO，Δkjd～ZO Δkjp～N，Δkjd～P Δkjp～ZO，Δkjd～P Δkjp～P，Δkjd～P

4 結 論

本文采用虛功率原理和單向遞推方法研究了考慮帆板柔性變形的太陽陣展開動力學建模與主動控制問題，給出了系統動力學建模的詳細推導過程。傳統的遞推牛頓歐拉法采用描述大范圍運動的笛卡爾坐標和小幅彈性變形的模態坐標建立多柔體系統的動力學方程，該方程維數較大，且不便于后續的主動控制設計。本文采用獨立的拉格朗日坐標和模態坐標建立剛柔耦合的太陽陣多體系統動力學模型，該方程具有較少的自由度維數，便于主動控制的設計。通過與ADAMS軟件的仿真結果進行對比，驗證了所建系統模型的正確性，而且該模型具有計算效率高和程式化的特點。研究結果顯示，本文模型能夠有效地對太陽陣的展開動力學問題進行描述，太陽陣的展開過程會導致航天器的位姿發生漂移，基于位形本體信息反饋的模糊自適應PD控制方法能夠有效地抑制這種位姿漂移。

圖5 輸入、輸出變量的隸屬度函數Fig.5 Membership function of input and output variables

圖6 兩種控制策略仿真結果比較Fig.6 Simulation results by using two controllers

［1］ Jinlu Kuang，Paul A Meehan，Leung A Y T，et al. Nonlinear dynamic of a satellite with deployable solar panels［J］.International Journal of Non-Linear Mechanics，2004，39（7）：1 161—1 179.

［2］ Gao Er-wei，Zhang Xue-ping，Yao Zhen-qiang.Simulation and analysis of flexible solar panels’deployment and locking processes［J］.Journal of Shanghai Jiaotong University，2008，13（3）：275—279.

［3］ Wie B，Furumoto N，Banerjee A K，et al.Modeling and simulation of spacecraft solar array deployment ［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1986，9（5）：593—598.

［4］ Oskar W，Simon W.Simulation of deployment of a flexible solar array［J］.Multibody System Dynamics，2002，7：101—125.

［5］ 郭峰，黃振華，鄧揚明.基于ADAMS航天器剛性太陽帆板動力學仿真分析［J］.機械設計與制造，2004，4：71—72. Guo Feng，Huang Zhen-hua，Deng Yang-ming.Test simulation of deployment motion of satellite solar array using ADAMS［J］.Machinery Design and Manufacture，2004，4：71—72.

［6］ 白爭鋒，田浩，趙陽.基于虛擬樣機的太陽帆板展開動力學仿真［J］.系統仿真學報，2009，21（13）：3 975—3 979. Bai Zheng-feng，Tian Hao，Zhao Yang.Dynamicssimulation of deployment of solar panels in different layouts based on ADAMS［J］.Journal of System Simulation，2009，21（13）：3 975—3 979.

［7］ 游斌弟，王興貴，陳軍.衛星太陽陣展開鎖緊過程沖擊振動［J］.機械工程學報，2012，48（21）：67—76. You Bin-di，Wang Xing-gui，Chen Jun.Vibration and impact for deployable solar array of satellite with locking hinges［J］.Journal of Mechanical Engineering，2012，48（21）：67—76.

［8］ Birhanu F，Chen Z B，Ma W S.Modeling simulation of satellite solar panel deployment and locking［J］.Information Technology Journal，2010，9（3）：600—604.

［9］ 白爭鋒，田浩，趙陽.基于ADAMS航天器太陽帆板展開與鎖定動力學仿真［J］.機械設計與制造，2006，11：124—126. Bai Zheng-feng，Tian Hao，Zhao Yang.Dynamics simulation of deployment and locking of spacecraft solar panel using ADAMS［J］.Machinery Design and Manufacture，2006，11：124—126.

［10］Daniel W K.Techniques for using ADAMS in spacecraft applications［A］.ADAMS：Mechanical Dynamics-Customer Service，16th European MDI User Conference［C］.Berchtesgaden，Germany，2001.

［11］洪嘉振.計算多體系統動力學［M］.北京：高等教育出版社，2003. Hong Jia-zhen.Computational Dynamics of Multibody Systems［M］.Beijing：High Education Press，1999.

［12］Bai Z，Zhao Y.Attitude motion of spacecraft during oblique solar panel deployment［J］.Aircraft Engineering and Aerospace Technology，2012，84（2）：109—114.

［13］Wen SH，Yang H.Fuzzy adaptive PD control for robot and experiment study［A］.Proceedings of the Fourth International Conference on Machine Learning and Cybernetics［C］.Guangzhou，China，2005，2：834—839.

Rigid-flexible coupling dynamics and control of solar arrays

DUAN Liu-cheng，LI Hai-quan，LIU Xiao-feng，CAI Guo-ping
（Department of Engineering Mechanics，State Key Laboratory of Ocean Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）

The deployment and locking of solar arrays of the free-floating spacecraft is studied comprehensively in this paper. The rigid-flexible coupling dynamic model for describing the deployment and locking process is established using Jourdain′s velocity varitional principle and the approach of forward recursive formulation.The control design of the solar array system is discussed and the fuzzy adaptive PD control method is used for controller design.The deployment and locking process for solar arrays is well predicted through numerical simulation for the rigid-flexible coupling dynamic model.In addition，the effectiveness of the above control approach is verified by comparing the control results with the conventional PD control.

rigid-flexible coupling dynamics；solar arrays；forward recursive formulation；fuzzy adaptive PD control；ADAMS

O313.7；V412.4+2

A

：1004-4523（2015）05-0770-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.012

段柳成（1989—），男，碩士研究生。電話：18818214073；E-mail：sjtudlc@sjtu.edu.cn

蔡國平（1965—），男，教授。E-mail：caigp@sjtu.edu.cn