雨滴下落加速度圖像研究

柏露枝 姚文友

（北郊高級中學，江蘇 常州 213031）

有關研究表明，雨滴在空中下落的過程中，速度v較小時，雨滴受到空氣阻力f與下落的速度v成正比，即f＝kv；速度v較大時，雨滴受到空氣阻力f與下落速度v的二次方成正比，即f＝kv2.對此，筆者對雨滴在重力和空氣阻力作用下下落加速度隨時間變化的圖像進行了研究.

1 雨滴下落速度較小的過程

雨滴下落速度較小時，雨滴受到的阻力f＝kv.根據牛頓第二定律有mg－f＝ma，即

此式兩邊對時間求導

對此式兩邊積分，并代入初始條件t＝0時，a＝g得

由圖可見，雨滴下落速度較小時f＝kv，下落加速度隨時間的增大呈指數衰減，且加速度隨時間的變化率越來越小.

圖1

2 雨滴下落速度較大的過程

雨滴下落速度較大時，雨滴受到的阻力f＝kv2.根據牛頓第二定律有

此式兩邊對時間求導

圖2

圖3

因此，在雨滴下落速度較大的過程中，雨滴加速度隨時間的變化圖像，如圖3所示.由圖像可見，雨滴下落的加速度隨時間而單調減小，但是加速度隨時間的變化率先增大后減小.

將（1）式兩邊對v求導得

復習資料中有這樣一道題：已知雨滴在空中運動時所受空氣阻力f＝kr2v2，其中k為比例系數，r為雨滴半徑，v為其運動速率.t＝0時，雨滴由靜止開始下落，加速度用a表示.落地前雨滴已做勻速運動，速率為v0.下列圖像（圖4）中不正確的是

圖4

原答案：（D），此題出處很多，而且都認為雨滴下落過程受到空氣阻力與下落速度的二次方成正比時，加速度隨時間的變化圖像都如圖4（A）.通過上述的分析可見，雨滴下落過程受到空氣阻力與速度的一次方成正比，雨滴下落加速度隨時間按指數衰減，即雨滴下落加速度圖像如圖1；雨滴下落過程受到空氣阻力與下落速度的二次方成正比，雨滴下落加速度隨時間的變化率先增大后減小，即雨滴下落加速度圖像如圖3.顯然，“聯考”中的圖像（A）對雨滴下落受阻力與速度的一次方成正比是正確的，而對阻力與速度的二次方成正比就是錯誤的.此問題應引起大家的注意.