對一道高考題關聯的運動模型的教學思考

王 波

（南京市雨花臺中學，江蘇 南京 210012）

2014年全國高考第24題是一道動力學的問題.運動的特征是加速度逐漸減小為0的直線運動，這種運動規律在高中物理中很常見，涉及的知識板塊較多.由于運動的非線性特征，學生在理解程度上有困難，知識遷移能力不夠.筆者從這道試題出發探討這類問題的典型特征，對這一類問題在教學上做一個總結.

高考試題.2012年10月，奧地利極限運動員菲利克斯·鮑姆加特納乘氣球升至約39km的高空后跳下，經過4min 20s到達距地面約1.5km高度處，打開降落傘并成功落地，打破了跳傘運動的多項世界紀錄，取重力加速度的大小g＝10m/s2.

（1）略.

圖1

（2）實際上物體在空氣中運動時會受到空氣阻力，高速運動受阻力大小可近似表示為f＝kv2，其中v為速率，k為阻力系數，其數值與物體的形狀，橫截面積及空氣密度有關.已知該運動員在某段時間內高速下落的v-t圖像如圖1所示，著陸過程中，運動員和所攜裝備的總質量m＝100kg，試估算該運動員在達到最大速度時所受阻力的阻力系數（結果保留1位有效數字）.

由上題進一步延伸，可以得出這類問題的運動模型特征一般表現為：運動物體受到動力和阻力作用，其中一個為恒力（或幾個恒力的合力），另一個為變力，而變力一般與速度有函數關系，所以加速度既會改變速度，又會隨著速度的變化而變化，速度與時間呈現出非線性關系.運動物體的加速度逐漸減小為0，物體先做加速度減小的變速直線運動后做勻速直線運動，速度達到最大或最小.其速度圖像表現為圖2，圖3所示.

圖2

圖3

“加速度逐漸減小直至為0，物體先做變加速直線運動后做勻速直線運動”這種運動模型在不同的知識模塊有不同的呈現形式，下面從教學的角度舉例說明.

1 動力學模塊

例1.一質量為m的跳傘運動員從足夠高的高空跳下，加速運動到一穩定速度v0后打開降落傘，此后受到的空氣阻力與運動員速率成正比，即f＝kv，重力加速度為g.

（1）求解運動員最終的速度.

（2）設運動員從開傘到速度最小所用時間為t，求運動員從開傘到速度最小時的位移x.

（2）由圖3可知v隨著t的變化是非線性的，“面積”不容易求出，高中階段可用“微元法”解決.

取很短時間Δt，在t～t＋Δt時間內，由題意

本題中運動員受到重力（動力為恒力）和阻力（變力），初始狀態決定了運動員的運動加速度與速度方向相反，隨著a減小為0，速度也逐漸減小至最小值.

2 功能關系模塊

例2.一輛質量為m的汽車以額定功率P從靜止開始啟動，汽車受到大小不變的阻力f，啟動后經過時間t達到最大速度，求：

（1）汽車的最大速度；

（2）汽車達到最大速度時的位移.

（2）汽車的運動規律如圖2所示，本題涉及功率，從功能關系分析較為方便.

本題中汽車受到的動力（牽引力）為變力，阻力為恒力，是機車在恒定功率下運動模型的主要特點.耐心引導學生逐步分析，找到臨界點，畫出運動圖像，結合功能關系，可以較完整地解決這類問題，也可進一步延伸，引導學生分析勻加速啟動的機車運動問題.

圖4

3 電磁感應模塊

例3.如圖4所示，相距為L的兩條足夠長的光滑平行金屬導軌MN、PQ與水平面的夾角為θ，N、Q兩點間接有阻值為R的電阻.整個裝置處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌平面向下.將質量為m、阻值也為R的金屬桿ab垂直放在導軌上，桿ab由靜止釋放，下滑距離x時達到最大速度.重力加速度為g，導軌電阻不計，桿與導軌接觸良好.求：

（1）桿ab下滑的最大加速度；

（2）桿ab下滑的最大速度；

（3）上述過程中，桿上產生的熱量.

解析：由金屬桿受力分析可知金屬桿由靜止開始先做加速度a減小的加速運動，當a減為0時，金屬桿的速度最大，后做勻速直線運動.運動圖像如圖2所示.

（3）ab桿從靜止開始到最大速度過程中，根據能量守恒定律有

金屬桿在光滑的平行金屬導軌上受到的動力為重力沿導軌向下的分力mgsinθ，阻力為安培力，而安培力隨速度的變化而變化.從受力特點看與前述高考題相似，從能量轉化角度看與例2相似，是電磁感應中經典的單桿運動模型.

4 電磁場綜合

例4.一質量為m的小滑塊帶正電，電荷量為q，與絕緣水平面間的動摩擦因數為μ.空間同時存在電場和磁場，勻強電場水平向右，電場強度為E；勻強磁場垂直紙面向外，磁感應強度為B，小滑塊從C點由靜止釋放沿直線向D點運動，C、D兩點間的距離為s.若小滑塊運動到D點時恰好保持穩定速度繼續運動，求小滑塊的穩定速度大小v和此過程中摩擦力對滑塊所做的功W.（滑塊的帶電量不變，重力加速度g.）

圖5

解析：小滑塊的受力分析如圖，由題意可得

本題是一道較復雜的復合場問題.小滑塊的運動受到電場力和摩擦力的制約，電場力作為動力是恒力，摩擦力是阻力，也是變力，其大小最終隨著速度的變化而變化.由于影響因素較多，教師在引導學生在分析這類問題時要條理清晰，低起點、耐心地幫助學生理解運動規律和能量轉化關系.

物體先做加速度減小的變加速直線運動后做勻速直線運動在不同知識板塊表現形式不同，但分析這類問題的方法都是動力學和能量關系相結合.這類運動所蘊含的物理量之間的相互制約關系可以極好地鍛煉學生分析解決問題的能力，感受物理學的魅力.