隨機荷載下索梁結構拉索參數振動分析

吳慶雄，王文平，2，陳寶春

(1．福州大學土木工程學院，福建 福州 350116;2．福州大學至誠學院，福建福州 350002)

0 引言

斜拉橋中主梁與主塔振動引起的拉索大振幅參數振動問題是拉索非線性振動研究中一個重要內容．參數振動是指外荷載的卓越振動頻率接近拉索的固有振動頻率(1∶1副不穩(wěn)定區(qū)域)或拉索固有振動頻率的兩倍(2∶1主不穩(wěn)定區(qū)域)時，拉索發(fā)生的大振幅橫向振動［1］．Kovács等［2］用參數振動來解釋拉索大振幅振動現象．Tagata［3］針對不計垂度的拉索研究了1∶1副不穩(wěn)定區(qū)域的參數振動，推導了無量綱的Mathieu方程．Takahashi［4］用諧波平衡方法和特征值法分析了扁平索1∶1和2∶1不穩(wěn)定區(qū)域參數振動的邊界和組合共振情況．Fujino等［5］進行了索梁結構的室內試驗，在梁端作用周期荷載，觀測索和梁的振動情況，采用拉格朗日法推導了拉索橫向、懸臂梁橫向和豎向一階模態(tài)下的運動方程．由于單索或索梁結構的研究無法同時考慮斜拉索的非線性振動以及索－梁－塔之間的相互作用，吳慶雄等［6－8］在探討了斜拉橋中索、梁、塔耦合振動的影響和計算方法的基礎上，提出了斜拉橋整體動力分析的有限元計算方法，編制了程序NL_Beam3D，為斜拉橋拉索參數振動分析、考慮主梁和主塔的影響提供了有限元分析方法，并通過對Fujino等人進行的索梁結構試驗的算例分析，討論了周期荷載下索梁結構的參數振動特性．

已有研究多為周期荷載下拉索的參數振動響應計算和分析［9］，但周期荷載與斜拉橋實際承受的環(huán)境荷載(風荷載、地震荷載、車輛荷載等)差別較大，因此，一些研究者將這些具有較強隨機性的環(huán)境荷載假設為隨機荷載，采用理論解析法探討豎向隨機激勵下拉索的參數振動特性［10－12］．但是，由于理論解析方法具有一定的局限性，如計算模型的自由度數受限制，使得結果較難直接運用到實際結構中．若能采用有限元方法，則計算分析更方便，結果的適用性更強．

本文以Fujino等［5，13］的索梁結構試驗模型為對象，采用能考慮拉索參數振動及索－梁－塔之間相互振動的非線性振動有限元方法NL_Beam3D，進行隨機荷載下索梁結構的拉索參數振動分析和討論．為驗證該有限元方法是否可以正確計算隨機荷載下拉索的參數振動，將計算結果與文獻［11］的理論解析值進行對比分析．

1 索梁結構拉索參數振動計算方法

1．1 有限元法

采用文獻［8］提出的兩節(jié)點索單元模擬拉索、采用去除索單元初始狀態(tài)(即自重)影響的非線性動力計算方法進行分析．

設索單元在局部坐標系中的i節(jié)點和j節(jié)點的位移分別為(ui，vi，wi)和(uj，vj，wj)，單元初始長度為L0，初始軸力為P0．可得單元的內力平衡方程為:

式中:{F}e={－R －S －T R S T}是單元兩節(jié)點的荷載向量．單元變形后軸力P=P0+EcAc/L0×e，伸長量e=L0，u=uj－ ui，v=vj－ vi，w=wj－ wi，Ec和Ac分別為索的彈性模量和截面積．

將式(1)對力和位移進行變分，即:

式中:{δX}e和{δF}e分別為單元兩端位移和力增量．索單元剛度矩陣［K］e詳見文獻［6］．

采用能考慮拉索參數振動及索梁之間相互振動的非線性計算程序NL_Beam3D［8，14－15］建立有限元模型，進行非線性振動計算和分析．特征值分析采用Subspace法，時程分析采用增量形式的Newmark－β法，并采用Newton增量法求解非線性平衡方程．

1．2 理論解析法

圖1所示為單索－懸臂梁結構，文獻［5，16］采用拉格朗日法推導了拉索橫向、懸臂梁橫向和豎向一階模態(tài)下的運動方程:

圖1 索梁結構試驗模型Fig．1 Experimental model of cable －beam structure

式中:fy、fh和fg分別是索的面外頻率、梁的橫向頻率和梁的豎向頻率;vy、vh和vg分別是索的面外阻尼、梁的橫向阻尼和豎向阻尼．ηg=(1 2)φg(xc)sin θ，ηy=(My2Mg)(1 2)φg(xc)sin θ，ζh=(2 π)φh(xc)，ζy=(MyMh)φh(xc)，α =(π2u04Lc)，My、Mh和 Mg分別是索的面外模態(tài)質量、梁的橫向模態(tài)質量和梁的豎向模態(tài)質量，u0是索的初始伸長量，μc是索的線密度．Ph(t)和Pg(t)分別是施加于懸臂梁端點的橫向和豎向荷載．

針對周期荷載，文獻［5］采用多尺度攝動法求解式(3)～(5)得到了周期荷載下索梁結構的非線性振動特性，并通過索梁結構模型試驗驗證了理論解析法的正確性．針對隨機荷載，文獻［11］采用非穩(wěn)定等效線性化方法求解，并以拉索和懸臂梁振動位移的RMS(均方根RMS是Root Mean Square的簡寫)為對象，評價了隨機荷載下索梁結構的非線性振動特性．本文按照該理論解析法，采用科學計算語言MATLAB編制程序，進行隨機荷載下索梁結構拉索參數振動的理論分析．

2 索梁結構試驗模型

索梁結構試驗模型相關參數見表1，試驗測得的動力特性列于表2［5，13］．采用NL－Beam3D程序建立索梁結構模型的空間有限元模型．其中，斜拉索采用19個索單元模擬，懸臂梁采用21個三維梁單元模擬，附加質量以集中質量的形式計入．索和梁的錨固端皆為固結邊界，求得的索梁結構理論模態(tài)列于表3．

表1 索梁模型參數Tab．1 Parameters for cable－beam model

表2 索梁模型的動力特性Tab．2 Dynamic properties of cable－beam model

表3 索梁結構固有振動模態(tài)Tab．3 Natural vibration modes of cable－beam model

對于該索梁模型，試驗者為了同時討論拉索主不穩(wěn)定區(qū)域(2∶1)和副不穩(wěn)定區(qū)域(1∶1)的參數振動，在試驗設計中將拉索橫向頻率設計為9．63 Hz，主梁橫向頻率設計為與拉索橫向頻率接近(9．38 Hz)，主梁豎向頻率設計為與拉索橫向頻率的兩倍接近(19．82 Hz)．如表1和表2所示，由于該模型的主梁面內剛度較小，使得主梁豎向二階頻率(19．82 Hz)成為需要的設計頻率．從表3可知，該索梁結構試驗模型的豎向一階頻率為5．259 Hz．因此，設計的索梁結構試驗模型的振型見圖2．

圖2 索梁模型振型Fig．2 Modal shapes of cable － beam model

3 隨機荷載下索梁結構的拉索參數振動

在文獻［8］中分別對豎向和橫向周期荷載下索梁結構的非線性振動特性進行了有限元計算，重點分析了斜索的參數振動，并與試驗者的理論解析結果進行了對比．分析表明，兩種方法結果吻合較好．橫向加載時，梁的橫向最大位移約為1 mm，而索的橫向位移達5．5 mm，斜索發(fā)生副不穩(wěn)定區(qū)域參數振動;豎向加載時，主梁豎向最大位移僅為0．55 mm，但斜拉索的橫向位移卻達到6 mm，斜索發(fā)生了主不穩(wěn)定區(qū)域參數振動．由此驗證了該有限元模型的正確性．

3．1 索梁模型

按照文獻［11］的加載方式，在有限元模型的主梁懸臂端部施加豎向隨機荷載．為了獲得拉索和懸臂梁振動位移的RMS值，每級荷載共設置16條不同波形的隨機波分別施加于模型上．采用軟件MATLAB內的隨機數生成器生成的16條隨機波保持RMS值一致，各隨機荷載作用總時間均為500 s，步長1/500 s．本文僅示出RMS=1 N和RMS=5 N兩級荷載的各一條波形，見圖3和圖4．

圖3 隨機荷載(RMS=1 N)Fig．3 Random excitation(RMS=1 N)

圖4 隨機荷載(RMS=5 N)Fig．4 Random excitation(RMS=5 N)

在圖3所示荷載RMS值為1 N的豎向隨機荷載作用下，主梁懸臂端點和拉索中點的位移時程曲線示于圖5．其中，拉索的振幅為索中點位置的最大振動位移，主梁的振幅為懸臂端點處的最大振動位移，后文對位移的規(guī)定與此相同．可以看出，主梁豎向振動未引起拉索的橫向振動．

圖5 隨機激勵下索梁模型的位移時程響應(RMS=1 N)Fig．5 Time history of cable － beam model under random excitation(RMS=1 N)

將豎向隨機荷載加大到RMS值為5 N，如圖4所示，此時索梁模型的位移時程響應示于圖6．與圖5對比可知，主梁的豎向位移增大了一個數量級，拉索的橫向位移被激起，主梁發(fā)生面外振動;參數振動的發(fā)生使拉索的橫向位移大于主梁的豎向和橫向位移．采用有限元方法所得隨機荷載下索梁結構的動力響應特性與文獻［11］理論解析結果是一致的，且通過時程響應分析驗證了只有當隨機荷載超過某一數值后拉索的參數振動才會被激起．

圖6 隨機激勵下索梁模型的動力時程響應(RMS=5 N)Fig．6 Time history of cable － beam model under random excitation(RMS=5 N)

將豎向隨機荷載RMS值從0 N變化到10 N，所得拉索和主梁的最大振動位移和RMS值示于圖7．同時，將按文獻［13］理論解析方法得到的結果也繪于該圖．有限元法中每級荷載分別加載了16條隨機波，得到16個位移最值，圖7的有限元結果為16個最值的平均值，后文規(guī)定與此相同．從圖7(a)和圖7(b)可以看出，兩種方法得到的拉索橫向位移、主梁橫向位移較接近;且存在隨機荷載臨界值，當超過該值時，橫向振動位移隨激勵水平呈遞增趨勢．但是，對于圖7(c)所示的主梁豎向振動位移，有限元計算結果與理論解析結果相差太大，最大達十倍．

圖7 索梁模型最大振動位移Fig．7 Maximum displacements of cable － beam model

將圖6(a)所示的主梁豎向位移曲線進行頻譜分析，頻譜圖示于圖8．可以看出，在隨機荷載作用下，不僅主梁的豎向二階振動(頻率為19．822 Hz)被激起，主梁的豎向一階振動(頻率為5．259 Hz)也被激勵，且主梁的豎向一階振動所占比例遠大于主梁的豎向二階振動．

由于理論解析法為三個自由度，只能考慮拉索橫向、懸臂梁橫向和豎向各一個模態(tài)，無法進行同時考慮主梁豎向一階和二階模態(tài)、拉索橫向一階模態(tài)、主梁橫向一階模態(tài)這四個自由度的計算．

圖8 索梁模型的主梁豎向振動頻譜圖Fig．8 Spectrum of vertical vibration for beam of cable－ beam model

3．2 修改后的索梁模型

為驗證有限元方法計算隨機荷載下拉索參數振動的正確性，對索梁結構試驗模型的基本參數進行修改，即只改變主梁面內抗彎剛度、其他參數不變，將主梁面內抗彎慣矩由原來的2．43 cm4增大到898．2 cm4，此時，懸臂梁豎向一階頻率增大到19．82 Hz．將其稱為“修改后的索梁模型”．

將修改后的索梁模型的理論模態(tài)示于表4．可以看出，主梁豎向一階固有頻率為19．819 Hz，與設定頻率接近．修改后的索梁模型的振型見圖9．

表4 修改后的索梁模型固有振動模態(tài)Tab．4 Natural vibration modes of modified cable－beam model

圖9 修改后的索梁模型振型Fig．9 Modal shapes of modified cable － beam model

在修改后的索梁模型的主梁懸臂端施加與文獻［11］相同的豎向隨機荷載，進行非線性分析．圖10表示了RMS值為5 N的豎向隨機荷載作用下，主梁懸臂端點和拉索中點的位移時程曲線．將圖10與圖6比較可知，在相同的隨機荷載作用下，修改后的索梁模型中的主梁豎向振動位移明顯減小，而拉索橫向位移和主梁橫向位移變化不大，這表明主梁豎向剛度增大，豎向位移減小，但仍能激起與豎向剛度小的索梁模型相同程度的橫向振動．

圖10 隨機激勵下修改后的索梁模型動力時程響應(RMS=5 N)Fig．10 Time history of modified cable － beam model under random excitation(RMS=5 N)

將圖10(c)所示主梁豎向位移曲線進行頻譜分析，頻譜圖示于圖11．可以看出，修改后的索梁模型豎向振動以主梁豎向一階振動(頻率為19．819 Hz)為主．

同樣，進行了RMS值從0變化到10 N的豎向隨機荷載下修改后的索梁模型的非線性分析，拉索和主梁的最大振動位移和RMS值示于圖12．可以看出，修改后的索梁模型的有限元計算結果與理論解析結果接近，從而驗證了有限元方法計算隨機荷載下拉索參數振動的正確性．

圖11 修改后的索梁模型的主梁豎向振動頻譜圖Fig．11 Spectrum of vertical vibration for beam of modified cable－beam model

圖12 修改后的索梁模型最大振動位移Fig．12 Maximum displacements of modified cable － beam model

以上分析也表明，對于隨機荷載下索梁結構拉索參數振動分析，三自由度的理論解析法［11，16］適用于主梁豎向一階頻率:拉索橫向一階頻率為2∶1的索梁結構;對于主梁豎向二階頻率:拉索橫向一階頻率為2∶1的索梁結構，采用該方法求得的主梁豎向振動位移偏小．

本文的有限元方法采用了直接積分進行計算，能同時考慮拉索、主梁和主塔的多階模態(tài)，是進行斜拉橋拉索參數振動分析的一種精確、便捷的方法．

4 結語

1)當豎向隨機荷載超過某一數值后，索梁結構發(fā)生拉索參數振動，拉索橫向振動位移遠高于主梁位移，且隨荷載的增大，振動位移增加．

2)對于隨機荷載下索梁結構的拉索參數振動分析，三自由度的理論解析法只適用于主梁豎向一階頻率:拉索橫向一階頻率為2∶1的索梁結構;對于主梁豎向二階頻率:拉索橫向一階頻率為2∶1的索梁結構，采用該方法求得的主梁豎向振動位移偏小．

3)與理論解析法進行的對比驗證了本文的有限元方法可正確計算隨機荷載下索梁結構的拉索參數振動．由于能同時考慮拉索、主梁和主塔的多階模態(tài)，有限元方法是進行斜拉橋拉索參數振動分析的一種精確、便捷的方法．

［1］Wu Q X，Takahashi K，Okabayashi T，et al．Response characteristics of local vibrations in stay cables on an existing cablestayed bridge［J］．Journal of Sound and Vibration，2003，261(3):403 －420．

［2］Kovács I，Leonhardt A，Partner G．Zur frage der seilschwingungen und der seild?mpfung［J］．Die Bautechnik，1982，59(10):325－332．

［3］Tagata G．Harmonically forced finite amplitude vibration of a string［J］．Journal of Sound and Vibration，1997，51(4):483－492．

［4］Takahashi K．Dynamic stability of cables subjected to an axial periodic load［J］．Journal of Sound and Vibration，1991，144(2):323－330．

［5］Fujino Y，Warnitchai P，Pacheco B M．An experimental and analytical study of autoparametric resonance in a 3DOF model of cable－stayed－beam［J］．Nonlinear Dynamics，1993，4(2):111－138．

［6］Wu Q X，Takahashi K，Chen B C．Using cable finite elements to analyzeparametric vibrations of stay cables in cable－stayed bridges［J］．Structural Engineering and Mechanics，2006，23(6):691 － 711．

［7］Wu Q X，Takahashi K，Chen B C．Dynamic characteristics of cable vibrations in a steel cable－stayed bridge using nonlinear enhanced MECSapproach［J］．Structural Engineering and Mechanics，2008，30(1):37 －66．

［8］吳慶雄，王文平，陳寶春．索梁結構非線性振動有限元分析［J］．工程力學，2013，30(2):347－354;382．

［9］Caetano E．Cable vibrations in cable－stayed bridges［M］．Zürich:IABSE，2007:71－108．

［10］Falsone G．Stochastic linearization of MDOF systems under parametric excitations［J］．International Journal of Non － Linear Mechanics，1992，27(6):1 025 －1 037．

［11］Xia Y，Fujino Y．Auto－parametric vibration of a cable－stayed－beam structure under random excitation［J］．Journal of Engineering Mechanics，ASCE，2006，132(3):279－286．

［12］肖躍文，袁剛，王波，等．斜拉索面內隨機參數振動分［J］．世界橋梁，2008(3):32－35．

［13］Warnitchai P．Nonlinear vibration and active control of cable－stayed bridges［D］．Tokyo:University of Tokyo，1990．

［14］吳慶雄，陳寶春，韋建剛．三維桿系結構的幾何非線性有限元分析［J］．工程力學，2007，24(12):19－24．

［15］吳慶雄，陳寶春，韋建剛．鋼管混凝土結構材料非線性的一種有限元分析方法［J］．工程力學，2008，25(6):68－74．

［16］Warnitchai P，Fujino Y，Susumpow T．A non－linear dynamic model for cables and its application to a cable－structure system［J］．Journal of Sound and Vibration，1995，187(4):695－712．