納米層狀結構非局域等離激元傳播長度研究

李軍，肖玉婷，徐國定，潘濤

（蘇州科技學院數理學院，江蘇蘇州215009）

納米層狀結構非局域等離激元傳播長度研究

李軍，肖玉婷，徐國定，潘濤*

（蘇州科技學院數理學院，江蘇蘇州215009）

研究了非局域效應情況下，表面等離子體激元在以各向異性材料為襯底的納米層狀結構中的傳播特性。詳細推導了表面等離子體激元在各向異性納米層狀結構中的色散關系式，并通過數值計算，研究了對稱與反對稱兩種不同模式下傳播長度隨結構和材料等參數的變化關系。

各向異性;非局域;傳播長度

隨著納米制造技術的發展，微型化、高密度化、高速化將會成為集成光學的發展趨勢。衍射極限的限制成為集成光學發展過程中存在的根本性困難。近年來，人們發現金屬與電介質界面上存在的一種被稱為“表面等離子體”的電磁模式，其橫向的尺寸小于波長，可以實現對電磁場亞波長的束縛，從根本上突破了衍射極限的限制[1-2]。表面等離子體的特性使其被廣泛的運用到了各個領域，例如，全光存儲[3]、納米光學成像[4]、生物光學[5]。研究表面等離子體激元在復合結構中的傳播特性，并且通過改變材料結構和材料參數來獲得更好的傳播特性成為國內外學者研究的熱點。

當器件結構的尺寸不斷地減小到幾百納米甚至幾納米時，非局域效應會在電磁波傳播過程中起到至關重要的作用。非局域效應也成為國內外學者研究納米結構波導時不得不考慮的一個因素[6-12]。R.Ruppin詳細介紹了非局域效應對表面等離子體激元在層狀結構中傳播的影響[6]。黃楊等研究了在考慮非局域情況下表面等離子體激元對于金屬納米線結構的傳播特性[7]。

為了獲得更好的傳播特性，許多新材料被引入到納米波導結構中。各向異性材料由于能夠有效地影響電磁場傳播的邊界條件，被學者廣泛地應用到各種波導結構中。Jacob，et al把各向異性材料引入到IMI和MIM兩種不同的結構中，并研究了表面等離子體激元在兩種不同結構中的傳播特性[13]。近年來，表面等離子體激元的傳播長度問題已引起眾多學者的關注。陳建軍等研究了四層結構中表面等離子體激元的傳播長度[14]，Nagaraj，et al利用各向異性材料改變了表面等離子激元在層狀結構中的傳播長度[15]，Krokhin，et al以一種強各向異性的材料為襯底，從而獲得長程表面等離子體激元[16]。

1 基礎理論

1.1 理論推導

筆者研究的納米結構模型是一個典型的三明治結構，在以下的分析中采用了笛卡爾坐標系。中間層（0＜z＜d）為極薄的金屬層（金層）；襯底（z＜d）為半無限大的單軸三方各向異性材料，其介電常量為[εr]=diag(εx，εy，εz)，其中εx=εy；z＞d的部分為空氣。其具體結構如圖1所示。

圖1 各向異性材料為襯底的納米層狀結構

表面等離子體激元沿著x軸傳播，其磁場平行于y軸。在各向異性襯底層中，利用麥克斯韋方程組，其電場和磁場可以表示成如下形式

1.2 非局域效應

當金屬層的厚度小到幾十納米甚至幾納米時，非局域效應將會變得至關重要且不能忽略，基于經典的自由電子氣體理論Drude模型已不再適用，一個更加詳細、精確的流體動力學模型被提出。

其中，β為非局域參數。由于電位移矢量D滿足▽·D=0，因此，自由電子極化矢量Pf可以表示成

摘 要：教師在數學教學活動的開展過程中，有效地利用數字化的學習資源，能夠促使學生發現數學學科的魅力，開展有效的教學活動，同時能夠促使學生在接受知識的過程中，培養自身的分析、思考、發現問題的能力，豐富自身的數學知識系統，進行數學知識的吸收理解。教師利用數字化的學習資源能夠打破傳統教學理念的束縛，真正地進行素質教育，從而達到預期的教學效果。

其中，χb是束縛電子的磁化系數。

考慮非局域效應情況下，麥克斯韋方程組表示如下[10]

方程組（5）和（6）的解有兩種情況：第一種解滿足▽·E=0，即普通形式的麥克斯韋方程組，相對應的波稱為橫波，其電場的表達式為

由（9）式可以得到縱波的電場表達式

由于縱波沒有相對應的磁場，因此，金屬層中磁場的表達式為

金屬層中總電場為橫波和縱波的電場之和，其表達式如下

1.3 邊界條件

非局域效應導致一種新的縱波的產生，原有的邊界條件已經無法來確定唯一的場方程。因此，一個額外的邊界條件被提出：由于自由電子無法逃離金屬層，在金屬和介質層的界面處，其電荷密度應為零。這個合理的額外的邊界條件表示如下[8，10]

再根據原有的邊界條件，在z=0和z=d處，Hy，Ex是連續的。可以得到一個色散關系的矩陣表達式

2 數值計算

接下來，通過數值計算方法，進一步研究等離子體激元在層狀納米結構中的傳播長度，以及受相關物理量的影響。相關參數如下：對于金屬層（金層）的非局域參數，其中費米速度νF=1.36×106m·s-1，阻尼參數γ=0.075 2 eV，相位頻率ωp=8.812 eV[11]；對于各向異性材料，首先取εx=7.5，εz=2；由于在非局域效應中起主要作用的是自由電子，因此,令束縛電子的磁化系數χb=0。

首先由式（18），獲得在考慮非局域效應情況下，表面等離子體激元在層狀納米結構中的色散關系曲線，如圖2所示。從圖2可以看出表面等離子體激元在層狀納米結構中的色散關系有上下兩支曲線，通過與局域色散關系的比較[6，12-13]，得上支表示對稱模式，下支表示反對稱模式。

筆者重點研究的是等離子體激元在層狀納米結構中的傳播長度，其表達式如下

其中，k″=Im（k）。筆者分別討論了兩種不同模式下傳播長度隨著金屬層厚度的變化特征，如圖3所示。從圖3可看出，在對稱模式下，表面等離子體激元的傳播長度隨著金屬層厚度的增加而減小，并很快趨于飽和；相反，在反對稱模式下，表面等離子體激元的傳播長度隨著金屬層厚度的增加而增加，這意味著隨著金屬層厚度的增加，電磁場進入金屬層的深度不斷增加。

圖2 表面等離子體激元在各向異性納米層狀結構中的色散關系曲線

圖3 表面等離子體激元在納米層狀結構中傳播長度隨金屬層厚度的變化關系曲線

各向異性材料的性質對傳播長度也有著明顯的影響。圖4表示了兩種不同模式下傳播長度隨著各向異性參數εx/εz的變化關系曲線。由圖4可看出，與各向同性（εx/εz=1）相比，當εx＜εz，兩種模式的表面等離子體激元的傳播長度隨εx/εz減小（各向異性程度增大）而增大，并且對稱模式下的傳播長度總是大于相同條件下反對稱模式的傳播長度；而當εx＞εz時，兩種模式的表面等離子體激元的傳播長度隨εx/εz增大（各向異性程度增大）而減小，并且當εx/εz大約大于1.82時，反對稱模式的傳播長度大于對稱模式。

圖4 表面等離子體激元在納米層狀結構中傳播長度隨各向異性材料參數的變化關系曲線

3 結語

利用流體動力學模型，推導了非局域情況下，表面等離子體激元在各向異性材料為襯底的納米層狀結構中的色散關系，并利用數值計算得到了色散關系曲線。通過色散關系，發現表面等離子體激元在非局域的納米層狀結構中有兩種不同的傳播模式，即對稱模式和反對稱模式。針對兩種不同的模式，研究了傳播長度和金屬層厚度的關系，在反對稱模式下，厚度對傳播長度的影響比較大；而在對稱模式下，厚度對傳播長度的影響范圍較小，并且無論金屬層厚度是多少，反對稱模式的傳播長度總是大于對稱模式。此外，襯底材料的各向異性對非局域情況下的表面等離子體激元影響更為敏感，無論是對稱模式還是反對稱模式都有較大的調制范圍，這也提供了一種有效的控制表面等離子體激元的傳播長度的手段。

[1]Zia R，Schuller J A，Chandran A，et al.Plasmonics：the next chip-scale technology[J].Material Today，2006，9（7-8）：20-27.

[2]Berini P.Long-range surface plasmon polaritons[J].Adv Opt Phot，2009，1（3）：484-588.

[3]Ditlbacher H，Lamprecht B，Leitner A.Spectrally coded optical data storage by metal nanoparticles[J].Opt Lett，2000，25（8）：563－565.

[4]Wang G P，Sugiura T，Kawata S.Holography with surface-plasmon-coupled waveguide modes[J].Appl Opt，2001，40（22）：3649－3653.

[5]Kabashin A V，Evans P，Pastkovsky S，et al.Plasmonic nanorod metamaterials for biosensing[J].Nat Mater，2009，8（11）：867－871.

[6]Ruppin R.Non-local optics of the near field lens[J].J Phys，2005，17（12）：1803－1810.

[7]Huang Y，Gao.Equivalent permittivity and permeability and multiple Fano resonances for nonlocal metallic nanowires[J].J Phys Chem C，2013，117（37）：19203－19211.

[8]Ciracì C，Pendry B，Smith R.Hydrodynamic model for plasmonics：a macroscopic approach to a microscopic problem[J].Chem Phys Chem，2013，14（6）：1109－1116.

[9]Scalora M，Vincenti M A，D de Ceglia，et al.Second-and third-harmonic generation in metal-based structures[J].Phys Rev A，2010，82（4）：043828－043841.

[10]Moreau A，Ciracì C，Smith D R.Impact of nonlocal response on metallodielectric multilayers and optical patch antennas[J].Phys Rev B，2013，87（4）：045401－045412.

[11]Raza S，Toscano G，Jauho A P，et al.Unusual resonances in nanoplasmonic structures due to nonlocal response[J].Phys Rev B，2011，84（12）：121412－121417.

[12]Raza S，Christensen T，Wubs M，et al.Nonlocal response in thin-film waveguides：loss versus nonlocality and breaking of complementarity[J]. Phys Rev B，2013，88（11）：115401－115411.

[13]Jacob J，Babu A，Mathew G，et al.Propagation of surface plasmon polaritons in anisotropic MIM and IMI structures[J].Superlattices Microstruct，2008，44（3）：282－290.

[14]Chen J J，Li Z，Gong Q H.Long-rang surface plasmon polaritons with subwavelength mode expansion in an asymmetrical system[J].Chin Phys B，2009，18（8）：3535－3541.

[15]Nagaraj，Krokhin A A.Long-range surface plasmons in dielectric-metal-dielectric structure with highly anisotropic substrates[J].Phys Rev B，2010，81（8）：085426－085435.

[16]Krokhin A A，Neogi A，McNeil D.Long-rang propagation of surface plasmons in thin metallic film deposited on an anisotropic photonic crystal[J]. Phys Rev B，2007，75（23）：235420－235425.

Propagation length of surface plasmon polartions with nonlocal response in nanostructure

LI Jun，XIAO Yuting，XU Guoding，PAN Tao*
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

Taking into consideration the nonlocal effect，we investigated the propagation properties of surface plasmon polartions in anisotropic nanostructure.We derived the dispersion relation of surface plasmon polartions in anisotropic nanostructure.Based on the numerical calculation,the dependence of propagation length on the structure and material parameters in symmetric and antisymmetric modes was discussed in detail.

anisotropic；nonlocal effect；propagation length

O441.4

A

1672－0687（2015）01－0031－05

責任編輯：李文杰

2014－10－10

江蘇省產學研前瞻性聯合研究項目（BY2011133）

李軍（1988-），女，江蘇蘇州人，碩士研究生，研究方向：復雜結構電磁波傳播。

*通訊聯系人：潘濤（1960-），男，教授，碩士生導師，E-mail:wlxpt@163.com。