Bootstrap法在機電引信解除保險距離試驗中的應用

劉 剛，王 俠，陳 眾，趙 新

（中國華陰兵器試驗中心，陜西 華陰 714200）

正系數。

將N 個W1 樣本w11，w12，w13，…，w1 N 及W2 樣本w21，w22，w23，…，w2 N 分別 按照從小到大的 順 序進行排序，得到整理后的樣本。對于W1，變為w1（1），w1（2），w1（3），…，w1（N），對 于W2，變 為w2（1），w2（2），w2（3），…，w2（N），據此我們可構造出引信解除保險距離上下限分位數的單側置信區間，引入置信度γ，則：

對于p1 分位數，定義：

0 引言

引信解除保險距離試驗涉及引信安全性，歷來受到靶場的高度重視。近些年來，引信解除保險后立即起爆的試驗方法在實踐中應用較多，具體實施程序是對引信進行改裝后對空射擊，一旦解除保險，立即起爆。采用光學經緯儀測量炸點坐標，結合炮位坐標，可直接解算出引信解除保險距離。該方法在諸多引信定型試驗中得到成功應用，其優點在于試驗簡便，可控性強。

假設引信解除保險距離總體為正態分布N（μ，σ2），記xp1為總體p1分位數，稱為下限分位數，xp2為總體p2分位數，稱為上限分位數，實際中一般取p1=0.05，p2=0.95。在引信解除保險后立即起爆試驗中，若干發引信可視為從總體中隨機抽取的樣本，我們的任務是利用樣本數據估計總體的上下限分位數。現行數據處理方法為計算樣本均值和標準差，以樣本均值和標準差代替總體均值和標準差，從而直接計算得到總體上下限分位數。這種方法簡單易行，但顯而易見，樣本均值和標準差可能無法準確反映總體均值和標準差，從而在計算上下限分位數時出現較大散布，造成試驗誤判。

Bootstrap法在武器系統試驗數據處理方面已得到大量應用，但在引信解除保險距離試驗領域尚未見報道。為解決現行方法存在的問題，本文提出了基于Bootstrap法的機電引信解除保險距離試驗數據處理方法。

1 現行方法原理及仿真計算

1.1 現行方法原理

引信解除保險距離X 可視為一隨機變量，服從正態分布（根據以往經驗，引信解除保險后立即起爆試驗數據均能通過正態性分布檢驗），即X～N（μ，σ2），根據統計原理［1］有：

因此，N（μ，σ2）的ρ分位數xρ是以下方程的解

式中Φ（·）為標準正態分布函數，進一步得：

式中μρ為標準正態分布的ρ 分位數，進一步得：

設引信解除保險即起爆試驗中獲得的樣本序列為x1，x2，x3，…，xn，那么μ 的估計為：

σ的估計為：

將式（2）、式（3）代入式（1），可得：

式（4）即為n個樣本條件下正態分布總體的p分位數估計公式。

1.2 現行方法仿真計算

仿真計算的一般流程為：

1）假設總體分布已知，即正態分布N（μ，σ2）的兩個參數μ、σ已知；

2）在N（μ，σ2）下生成3 000組隨機樣本，樣本量為n；

3）計算每組樣本的樣本均值和標準差；

4）按式（4）計算每組樣本的總體上下限分位數。

令μ=120，σ=10，n=10，下限分位數取x0.05，下限分位數取x0.95。編制仿真程序，計算結果如表1。同時給出其中一次仿真計算結果，見表2。

從表1中可看出，平均來說，現行方法對于總體參數μ、σ、x0.05、x0.95的估計結果是較理想的，然而，這一結論只在“平均意義”成立，由于抽樣的隨機性，造成^x0.05、^x0.95有較大的散布，單次樣本下^x0.05與x0.05真值之間的差值在（-18.37，15.38）間變化；^x0.95與x0.95真值之間的差值在（-15.55，17.67）間變化，而試驗只對單次抽樣負責，這意味著單次試驗散布較大，可能存在比較嚴重的估計偏差。

表1 現行方法仿真結果

表2 現行方法單次仿真結果Tab.2 Single Simulation recsult

對于x0.05，術語可表達為引信在距炮口103.55m以內解除保險的概率為0.05，但在單次試驗中，計算結果可能表達為引信在距炮口103.55+15.38=118.93m 以內解除保險的概率為0.05，人為地把引信保險距離擴大了15.38 m；對于x0.95，可表達為引信在距炮口136.44m 以外解除保險的概率為0.95，同樣在單次試驗中，計算結果可能表達為引信在距炮口136.44-15.55=120.89m以外解除保險的概率為0.95，人為地把引信可靠解除保險距離減小了15.55m。

1.3 對判定引信解除保險距離上下限的討論

對于引信解除保險距離下限，意味著在此距離以內，引信解除保險的可能性較低，估計值應盡量避免冒進，我們關心的是估計值的置信下限，這樣才能有把握為部隊使用提供更多的安全余量；對于引信解除保險距離上限，意味著在此距離以外，引信解除保險的可能性較高，我們關心的是估計值的置信上限，這樣才能有把握保證引信完全解除保險，進而不影響戰術使用。

以上述討論內容為出發點，根據所謂新單側容限系數法［2］，將總體p1、p2分位數分別視為一隨機變量，表達式分別為：

正系數。

將N 個W1樣本w11，w12，w13，…，w1N及W2樣本w21，w22，w23，…，w2N分別 按照從小到大的 順 序進行排序，得到整理后的樣本。對于W1，變為w1（1），w1（2），w1（3），…，w1（N），對 于W2，變 為w2（1），w2（2），w2（3），…，w2（N），據此我們可構造出引信解除保險距離上下限分位數的單側置信區間，引入置信度γ，則：

對于p1分位數，定義：

式（5）稱為在置信度γ下，引信解除保險距離p1分位數的置信下限。

對于p2分位數，定義：

式（6）稱為在置信度γ下，引信解除保險距離p2分位數的置信上限。

2 Bootstrap法在引信解除保險距離上下限估計中的應用

2.1 Bootstrap法簡介

Bootstrap法是斯坦福大學Efron教授提出的一種逼近復雜統計量估計值分布的通用方法，該方法擺脫了傳統統計方法對分布假定的限制，只依賴于給定的觀測樣本，適合于任何分布和任何感興趣的參數估計。

Bootstrap法的核心工作流程是利用經驗分布函數代替總體分布函數［3］，從經驗分布函數中隨機抽取樣本以估計統計量的抽樣分布。相當于從樣本x1，x2，x3，…，xn中進行有放回再抽樣，其中x1，x2，x3，…，xn中每一個xi以等概率出現。其基本步驟為：

1）由樣本x1，x2，x3，…，xn構造經驗分布Fn。

3）用θ＊=θ＊（X＊，Fn）的分布去逼近θ=θ（X，F）的分布（θ＊的分布稱為Bootstrap分布）。

從以上關于Bootstrap 法原理的介紹可看出，Bootstrap法解決的恰恰就是前文中N 個W1樣本w11，w12，w13，…，w1N及W2樣本w21，w22，w23，…，w2N的構造問題，因此Bootstrap法可用于計算引信解除保險距離p1分位數的置信下限及引信解除保險距離p2分位數的置信上限。

由于以上置信上下限估計方法在概率收斂性方面還存在一些不足，Efron提出了改進，即糾偏百分位法，其思路簡述為若出現大部分Bootstrap 估計量^θt=θ（X＊t），t=1，2，3，…，T 小于實際樣本統計量，則意味著Bootstrap 模擬低估了實際樣本統計量，為糾正這一偏差，置信上下限必須向大值調整；相反，如果大部分Bootstrap 估計量大于實際樣本統計量，則意味著Bootstrap 模擬高估了實際樣本統計量，為糾正這一偏差，置信上下限必須向小值調整。該糾偏過程由糾偏量d0實現［4-6］。

式（7）中，Φ-1［·］為標準正態分布函數的反函數，I（·）為示性函數，其定義為：

當需計算引信解除保險距離的這p1分位數置信下限時，

這樣，上文提到的引信解除保險距離p1分位數的置信下限修正為m1（1-γ+2d0）。

當需計算引信解除保險距離的p2分位數置信上限時，

這樣，上文提到的引信解除保險距離p2分位數的置信上限修正為m2（1-γ+2d0）。

2.2 具體實施步驟及仿真計算

Bootstrap法的簡要計算流程為：

1）假設正態分布N（μ，σ2）的兩個參數μ、σ已知，從總體中隨機生成n個樣本x1，x2，x3，…，xn，方便起見，與前文例子保持一致，取μ=120，σ=10，n=10；

2）計算以上n個樣本的p1分位數估計=+以及p2分位數估計=+，取p1=0.05，p2=0.95；

3）以樣本x1，x2，x3，…，xn為基礎，進行T（T=1 000）次Bootstrap抽樣，獲得T 個樣本，，，…，，計算每個Bootstrap樣本的p1分位數估計=ˉx＊+μp1βs＊以及p2分位數估計=+μp2βs＊；

4）按照式（7）分別計算兩個糾偏量；

6）考慮到隨機性因素，重復1）-4）k 次（本文取k=3 000）。

編制相應仿真程序，計算結果如表3。

表3 Bootstrap法仿真結果

同時給出其中一次仿真計算結果，見表4。

表4 Bootstrap法單次仿真結果Tab.4 Single simulation result of Bootstrap

從表3中可看出，相對于現行方法，Bootstrap法對于總體參數μ、σ、x0.05、x0.95的估計結果均值基本一致，但對于x0.05、x0.95的估計，單次樣本下^w＊1與x0.05真值之間的差值在（-5.99，-3.89）間變化；^w＊2與x0.95真值之間的差值在（-0.86，1.37）間變化，最大偏差率由17.7%降低為5.8%，估計結果的單次散布較現行方法大為減小，從而降低了試驗誤判的可能性。

3 結論

本文提出了基于Bootstrap法的機電引信解除保險距離試驗數據處理方法，該方法可有效克服現行方法中單次試驗估計偏差大的缺陷。仿真計算結果表明Bootstrap 法上下限分位數單次散布較小，大大降低了試驗誤判的可能性。

［1］峁詩松.統計手冊［M］.北京：科學出版社，2003.

［2］李洪雙，呂震宙.小子樣場合下估算母體百分位值置信下限和可靠度置信下限的Bootstrap 方法［J］.航空學報，2006，27（5）：789-794.

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［4］Efron B.The jack knife，the bootstrap，and other resampling plans［M］.Philadelphia：The Society for Industrial and Applied Mathematics，1982.

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