中空環形行波超聲波電動機赫茲接觸模型

蔣春容，張津楊，董曉霄，張小蓮

(1.南京工程學院，南京211167;2.東南大學，南京210096)

0 引 言

超聲波電動機定子與動子之間的接觸摩擦耦合是電機能量輸出的關鍵，因此，建立定子與動子的接觸模型，對超聲波電動機的設計、優化乃至控制都具有重要作用。目前，國內外已有許多學者對超聲波電動機接觸模型進行研究。劉錦波等［1］采用解析法建立了環形行波超聲波電動機摩擦傳動模型，在該模型中，忽略了定轉子接觸界面上的粘滑分布，簡化地認為接觸界面上僅存在滑動分布情況。Storck等［2］采用解析法建立行波超聲波電動機定轉子粘彈性接觸模型，指出摩擦材料的切向彈性變形既是定轉子接觸粘滯區形成的原因，也是影響摩擦損耗和電機效率的重要因素。曲建俊等［3］同樣基于解析法建立了粘彈性接觸模型，對摩擦材料粘結在定子表面上的接觸模型進行了有益探索。考慮到接觸的非線性，采用解析法建立超聲波電動機的接觸模型時，往往需要進行一定的簡化，如忽略定子齒槽，將定子表面看成是連續的表面等。除了采用解析法，研究學者還提出了基于有限元法的超聲波電動機接觸模型。Maeno 等人［4－5］用有限元法研究了環形行波超聲波電動機定轉子的接觸模型，計算了定子和轉子接觸表面質點的切向和法向的位移及速度，得到了電機的輸出特性，同時指出接觸區內存在復雜的粘滑分布。周盛強等［6］用ANSYS 軟件的三維點點接觸單元，對旋轉行波超聲波電動機定轉子穩態接觸問題建立了簡化的有限元模型，分析電機穩定工作的某一時刻定轉子的接觸狀態。Shen等［7］建立了行波超聲波電動機簡化的二維有限元接觸模型，以分析接觸界面內摩擦材料應力分布及劣化情況。采用有限元法建立接觸模型時，可以考慮電機齒槽等復雜的結構，但需要較多的計算資源，當電機結構變化時，需要重新建立模型，因此比較費時。Ro Jong－Suk 等［8］總結比較了多種不同的行波超聲波電動機接觸模型，將不同接觸模型的理論分析結果和實驗結果進行對比，指出基于赫茲接觸理論的模型具有最高的精度。

本文基于赫茲接觸理論，建立一種無摩擦材料的中空環形行波超聲波電動機的接觸模型，分析定轉子間的法向接觸和切向力合成，進而得到電機的性能并進行實驗驗證。

1 電機的結構

所研究的中空環形行波超聲波電動機的結構如圖1 所示，此電機為佳能照相機鏡頭自動調焦系統所使用的超聲波電動機［4］。電機的定轉子均為金屬彈性體圓環，無內部支撐結構，定轉子通過一個波浪形圓環結構的彈簧緊壓在一起。定子一面粘接沿厚度方向極化的壓電陶瓷PZT，另一面開有齒槽，齒數為63。電機定子材料采用鋼，轉子材料為硬鋁合金。電機定轉子的截面如圖2 所示，在定子和轉子的接觸表面上，均不粘接摩擦材料，轉子通過較薄的法蘭凸緣盤結構與定子齒接觸，保證了預壓力作用下轉子的柔性變形。

圖1 中空環形超聲波電動機的結構

圖2 定轉子截面

2 定轉子接觸分析

由于中空超聲波電動機徑向接觸寬度比周向接觸長度小得多，因此將三維接觸問題簡化為二維接觸問題，并將定子表面看成是連續表面。定轉子接觸變形如圖3 所示，圖中，為靜止坐標系，(x，z)為固定在定子行波波峰上的運動坐標系。在預壓力的作用下，轉子法蘭凸緣盤產生柔性變形，使定轉子在行波波峰附近接觸，一個波長內定轉子的周向接觸長度為2L。

圖3 定轉子接觸變形

2.1 定子運動方程

根據克希霍夫薄板理論，定子中性層的彎曲行波:

式中:A，λ 和ω 分別為定子中性層彎曲振動的振幅、波長和角頻率。運動坐標系(x，z)和靜止坐標系)之間有如下關系:

將式(2)代入式(1)可得在(x，z)坐標系下的行波運動:

定子表面質點的切向速度vs(x):

式中:a 為定子中性面到定子齒面的距離。

2.2 法向接觸分析

假設轉子法蘭凸緣盤完全彈性，定子在行波波峰附近等效為一個等曲率半徑的圓柱體，其曲率半徑ρk滿足:

等效圓柱體的直徑D:

設定轉子間施加的法向預壓力為FN，則每個波長內單位長度的平均法向力Funit:

式中:n 為定子行波的波峰數，b 為定轉子徑向接觸寬度。根據赫茲接觸理論［9］，一個波長內定轉子間的周向接觸長度:

CE由下式計算得到:

式中:ν1和E1分別為定子的泊松比和彈性模量;ν2和分別為轉子的泊松比和等效彈性模量。考慮到轉子法蘭凸緣盤的柔性變形，轉子的等效彈性模量取為轉子實際彈性模量E2的10%。由式(8)可求得一個波長內周向接觸半長度L 的大小。在接觸區域［－L，L］范圍內，赫茲接觸壓力分布滿足:

式中:P0為接觸壓力的幅值。穩態時，由轉子法向受力平衡可得:

將式(10)代入式(11)，求解可得P0:

2.3 切向推力合成

定子上的行波運動通過接觸摩擦傳遞給轉子，形成轉子的旋轉運動。假設定轉子間的滑動摩擦系數為μd，在接觸區域內法向接觸壓力作用下，合成的轉子上的切向推力FT:

式中:符號函數sgn(Δv)定義:

Δv 為接觸區內定子表面質點的切向速度vs(x)與轉子轉速vr的大小之差:

在接觸區域［0，L］范圍內，設x =x0處，Δv =0，則式(13)可化:

需要注意的是，在由Δv =0 求得x0時，若x0＞L，則說明整個接觸區均為推力，式(16)計算時應取x0=L。將式(10)代入式(16)求解可得:

式中:θ0=arcsin(x0/L)。轉子的輸出轉矩T:

式中，r 為定轉子等效接觸半徑。

3 仿真結果與驗證

中空環形行波超聲波電動機的參數如表1 所示。

表1 中空超聲波電動機的參數

定轉子周向接觸長度取決于預壓力的大小。當定子振幅保持1 μm 不變時，不同的預壓力下，一個波長內周向接觸半長度L 與預壓力FN的關系如圖4 所示。隨著預壓力增大，L 先迅速增加，而后增加速度趨緩。在相同振幅、不同的預壓力下，電機的輸出轉矩T 與轉速n 之間的變化關系如圖5 所示。隨著預壓力增大，堵轉轉矩增大，空載轉速減小。

當保持預壓力為15 N 不變，定子振幅變化時，電機的空載轉速n0和堵轉轉矩Tst隨振幅變化的趨勢，如圖6 所示。隨著振幅增大，空載轉速n0線性增大，堵轉轉矩先增大，而后維持在最大值不變。

圖4 L 與FN 的變化關系

圖5 不同預壓力下電機的T－n 特性曲線

圖6 電機空載轉速和堵轉轉矩與定子振幅的關系

電機正常工作時所施加的預壓力為15 N，定子振幅為1 μm，此時，定轉子間的法向接觸壓力分布如圖7 所示。接觸壓力分布為關于定子行波波峰對稱的半橢圓形狀。將計算得到正常工作狀態下電機的轉矩－轉速(T－n)特性與實驗測試數據進行比較，如圖8 所示，其中實驗測試數據來自于文獻［5］。由圖8 可知，理論計算值與實驗測試值基本吻合，驗證了所提出的赫茲接觸模型的有效性。

圖7 接觸區內接觸壓力分布

圖8 T－n 特性曲線的計算值與測量值對比

4 結 語

1)隨著預壓力的增大，定轉子間的周向接觸長度先迅速增加，而后增加速度趨緩。

2)定子振幅相同的情況下，隨著預壓力的增大，堵轉轉矩增大，空載轉速減小。

3)保持預壓力不變，定子振幅增大時，電機空載轉速隨著振幅增大而線性增加，堵轉轉矩先增大，而后維持在最大值不變。

4)定轉子間的接觸壓力分布為關于定子行波波峰對稱的半橢圓形狀。

5)電機的轉矩－轉速特性計算值與測試值基本吻合，驗證了所提出的模型的有效性。

［1］ 劉錦波，陳永校. 超聲波電機定轉子接觸的摩擦傳動模型及其實驗研究［J］. 中國電機工程學報，2000，20(4):59－63.

［2］ STORCK H，WALLASCHEK J.The effect of tangential elasticity of the contact layer between stator and rotor in travelling wave ultrasonic motors［J］. International Journal of Non－Linear Mechanics，2003，38(2):143－159.

［3］ QU Jianjun，SUN Fengyan，ZHAO Chunsheng.Performance evaluation of traveling wave ultrasonic motor based on a model with visco－elastic friction layer on stator［J］. Ultrasonics，2006，45(1－4):22－31.

［4］ MAENO T，TSUKIMOTO T，MIYAKE A.Finite－element analysis of the rotor/stator contact in a ring－type ultrasonic motor［J］.IEEE Transactions on Ultrasonics，Ferroelectrics，and Frequency Control，1992，39(6):668－674.

［5］ MAENO T，BOGY D B.FE analysis and LDA measurement of the dynamic rotor/stator contact in a ring－type ultrasonic motor［J］.Journal of Tribology，1993，115(4):625－631.

［6］ 周盛強，趙淳生，黃衛清. 旋轉型行波超聲電機接觸界面的空間域分析［J］. 中國電機工程學報，2010，30(12):63－68.

［7］ SHEN Shengnan，LEE H P，LIM S P，et al. Contact mechanics of traveling wave ultrasonic motors［J］. IEEE Transactions on Magnetics，2013，49(6):2634－2637.

［8］ RO J－S，JUNG S－Y，LEE C－G，et al.Survey of a contact model and characteristic analysis method for a travelling wave ultrasonic motor［J］. International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics，2014，46(3):437－453.

［9］ JOHNSON K L. Contact Mechanics［M］. Cambridge:Cambridge University，1985:84－106.