橫向磁場電機變量循序組合優化設計研究

謝 嘉，王世明，高中勇，高艾琳，趙升噸

(1.上海海洋大學，上海201306;2.西安交通大學，西安710049)

0 引 言

橫向磁場電機(以下簡稱TFM)是一種具有較高轉矩密度的特種電機，在直驅型艦船電力推進和海洋能發電等領域極具發展前景［1］。該電機的概念是德國不倫瑞克理工大學電機專家Herbert Weh教授提出的［2］，其采用獨特的結構，解決了傳統電機中電樞繞組橫截面和齒槽寬度相互制約的矛盾，能同時提高電機的電負荷和磁負荷，從而提高電機電磁能量轉換的能力。同時TFM 還具有體積小、重量輕、調速范圍寬、可控性好等優點［3－10］。

TFM 具有較高的設計自由度，這為其滿足不同應用而進行自由設計提供了良好的條件，但是該電機的詳細設計卻遇到了相當大的困難。在傳統電機設計過程中，進行詳細設計時會在磁路設計的基礎上引進各種修正系數，把電機中復雜的磁場問題簡化和近似，轉換為一些集中參數，然后在積累了一定的經驗、獲得了各種實際的修正系數值后，其計算精度就可以達到工程實際的要求。顯然，這種方法耗時并且設計費用大，難以滿足現代電機設計的需求;另外，TFM 磁路是一種典型的三維磁場，電機磁路結構靈活多樣、磁場分布更趨復雜，那么采用修正系數來描述磁路就會變得異常復雜，這樣就不易得到準確的磁路計算結果。

為此本文提出采用優化設計方法來進行TFM的詳細設計，從而一方面完成詳細設計的任務，同時使得設計結果達到最佳。TFM 的詳細設計包括多個變量的確定，同時優化設計目標也往往不是一個，因此是一個多變量多目標優化設計問題。在現代電機設計領域，對于多變量多目標優化設計問題，國外研究工作者采用了響應面分析法(以下簡稱RSM)結合試驗設計(以下簡稱DOE)的方法［7，11－12］，取得了一定的效果，但是該方法在實際應用中存在兩個問題:1)如果變量多于三個就很難得到滿意的優化設計結果，往往發現變量較多時，其擬合響應面的多重相關系數和修正的多重相關系數都會偏小，從而擬合度小擬合誤差大，同時變量較多時計算量相當大;2)優化時發現在擬合成的響應面圖形中，往往表現出某些變量之間并沒有很強的耦合關系，經過對電機物理結構性質的分析，發現這些變量之間基本是相互獨立的，在一定的范圍內它們之間對優化目標是疊加的關系，不必放在一個響應面數學模型中進行優化設計。因此，本文提出了變量循序組合優化設計方法來進行TFM 詳細設計，該方法將傳統多變量優化設計的變量輪換法和RSM 及DOE 結合起來，將變量在不同的優化階段進行組合實施優化設計，最終得到詳細設計的結果，并使設計結果達到最佳。

本文首先描述了所研制的爪極式組合定子橫向磁場電機(以下簡稱ACPTFM)分析模型，并對其優化設計目標和優化設計變量進行了分析。然后提出了變量循序組合優化設計方法，論述了其設計過程。接著采用變量循序組合優化設計方法對ACPTFM進行了優化設計，最終使電機的主要參數輸出轉矩為1701.76 N·m，轉矩脈動控制在4.63%以內。優化過程中充分考慮了所有結構尺寸對磁路的影響，最終得到的ACPTFM 設計達到了最佳，滿足了電機的設計要求。

1 ACPTFM 模型及優化設計目標和變量分析

1.1 ACPTFM 模型

爪極式組合定子橫向磁場電機(ACPTFM)是為了實現低速、大轉矩的應用功能而設計的，其定、轉子齒極和定子軛部都由簡單的平面硅鋼片疊制而成，定子設計成模塊化組合方式，轉子采用聚磁式結構。電機能夠提供復雜的三維磁路，同時氣隙磁通密度高并且制造工藝簡單、導磁性強。圖1 是ACPTFM 單相定、轉子組裝結構圖和一對極三維磁路，其中標出了永磁體磁化方向長度hPM、永磁體徑向長度tPM、轉子齒極倒圓角半徑r 和定子每極鐵心有效長度le。

圖1 ACPTFM 模型

1.2 ACPTFM 優化設計目標和優化設計變量分析

ACPTFM 屬于永磁電機，其通過永磁體產生的磁場和電樞線圈產生的磁場相互作用產生轉矩，推動轉子旋轉。設計ACPTFM 的最大目的是要其能提供足夠的轉矩，且轉矩脈動要小。下面從電機磁鏈的角度來分析ACPTFM 的轉矩，因為ACPTFM 各相都是相同的，所以只分析單相情況，電機在負載情況下某相電樞繞組磁鏈:

式中:Ψ 為繞組總磁鏈;ΨPM為永磁體單獨作用時的磁鏈;Ψa為電樞線圈單獨作用時的磁鏈，Ψa可以表示為Li，其中L 為電樞線圈電感;i 為電樞線圈電流。

當電機運行時，在忽略電樞線圈銅耗的情況下，ACPTFM 的單相瞬時電磁功率:

式中:pm為單相瞬時電磁功率;θ 為電機轉子機械角度;Ω 為電機轉子機械角速度。式(2)中第二項為電感儲能，不參與電機的機電能量轉換，因此ACPTFM 的單相瞬時電磁轉矩Tmi為:

式(3)是在電機電源輸出能量的基礎上得到的，此式計算得到的轉矩即是電機轉軸輸出的轉矩。事實上，在ACPTFM 的瞬時轉矩中還有一項，它是指在電機電樞線圈不通電時，僅僅由永磁體激勵源與定子開槽的相互作用而產生的轉矩，稱為齒槽轉矩或自定位轉矩。自定位轉矩在一個電周期內其與橫軸包圍的正負面積相等，所以求平均轉矩時是零，它不會真正給機械負載輸出能量，但會引起轉矩脈動。自定位轉矩可以表示:

式中:Tc為自定位轉矩;WPM為電機電樞線圈未通電時，永磁體單獨作用時的磁場能量。

式(3)表明ACPTFM 輸出轉矩和電機的磁鏈及電樞電流關系密切，而磁鏈的變化由永磁體和電樞線圈中的電流以及主磁路的磁阻決定;式(4)表明自定位轉矩和永磁體用量及其尺寸有關。而主磁路磁阻在磁路其他部分滿足磁通連續性定理要求下，其主要是由氣隙面處定、轉子齒的形狀決定(因為氣隙處的漏磁最大)，因此，在其他變量通過實際需求的結構尺寸和磁通連續性定理等因素確定的基礎上，ACPTFM 中影響電機轉矩的關鍵參數:

式中:hPM，tPM和r 既確定了轉子的尺寸和永磁體的尺寸，同時還確定了氣隙面處轉子齒的形狀;le確定了氣隙面處定子齒的形狀尺寸;NI 為ACPTFM 的安匝數，其代表電機的電樞線圈激勵源的作用。

ACPTFM 的優化目標之一為最小化轉矩脈動Tr，即:

式中:T0p為瞬時電磁轉矩峰值與電機三相總的平均電磁轉矩的差值;Tm為電機三相平均電磁轉矩，如下:

式中:Δθ 為0°～180°電角度對應的機械角度的差值。

平均電磁轉矩代表電機的輸出轉矩，在追求轉矩脈動最小時，需要保證電機有足夠的轉矩輸出，因此也將電機總的三相平均電磁轉矩作為另一個優化目標，即達到:Tm= 1 600 N·m。

2 變量循序組合優化設計方法

2.1 變量循序組合優化設計過程

優化設計往往是一個循序漸進的過程，優化設計變量的組合排列、設計范圍和最佳設計結果，都需要有一個反復的過程來逐漸逼近最終目標。變量循序組合優化設計方法綜合了傳統多變量優化設計的變量輪換法和RSM 及DOE 方法，將RSM 及DOE 和電磁場直接優化設計方法緊密結合在一起，其中的關鍵是進行變量循序組合。變量循序組合包括兩個方面的含義:1)優化設計過程中，變量的組合是依據對優化設計對象物理結構性質的分析來確定的;2)優化設計過程中，變量的組合是依據響應面的分析計算結果確定的。可以看出，保證了上述兩點，變量的組合原則就得到了全面的考慮，即既考慮到了優化設計對象的物理性質，又考慮了響應面優化設計模型對于變量的分析結果。而一般的優化設計方法往往都忽視了優化設計對象的物理性質，只進行純粹的數學討論。圖2 是本文提出的變量循序組合優化設計方法的設計過程，在其中，變量循序組合上述兩個方面的含義決定了優化設計變量的每一次組合。

圖2 變量循序組合優化設計過程

2.2 響應面分析法和試驗設計方法

響應面分析法(RSM)是數學方法和統計方法相結合的產物，該方法用來建立響應變量和多個輸入變量之間的函數關系，最終目的是優化這個響應變量［13］。在RSM 中，獲得試驗樣本數據的方法有兩種:①以實際的實驗進行試驗分析，來獲得各種試驗樣本數據;②虛擬試驗，即用計算機仿真代替實際的試驗分析，以獲得試驗樣本數據。很明顯，虛擬試驗節省了實驗器材和實驗材料，極大地減少了人力和時間的投入，同時避免了人為和環境對試驗結果影響，但是其結果的精確性受到所用軟件計算精度的限制。無論是實際的實驗還是計算機仿真，都需要在試驗前進行試驗設計(DOE)。DOE 是指一個經過設計或精心安排的試驗過程，目的是使試驗能科學有序進行，做到以盡可能少的試驗次數來獲得足夠可靠的試驗樣本信息資料，以保證所獲得信息的真實性和全面性［14］。響應面分析法一般要和試驗設計方法結合運用。

進行響應面擬合時，可以采用一、二階數學模型，一般的二階響應面數學模型:

式中:ε 為隨機誤差;β 為回歸系數，β 的估計值可以采用最小二乘法通過回歸分析計算得到。

擬合一、二階數學模型時，每個優化變量都可以定義成3 個水平級。在實際中，中心組合設計(以下簡稱CCD)經常被用來進行相應的試驗設計且證明很有效［14］，因此本文采用CCD 進行試驗設計。CCD 是在2k要因試驗設計(或2k部分要因試驗設計)的基礎上增加若干擴充點得到的，這些增加的擴充點是若干個中心點和2k個距離中心各為±α的坐標軸上的點。

3 ACPTFM 優化設計過程及結果

永磁體磁化方向的長度hPM、永磁體徑向長度tPM和轉子齒極倒圓角半徑r 是屬于電機轉子部分的尺寸，而定子每極鐵心有效長度le屬于電機定子部分的尺寸。由ACPTFM 轉子結構可以看出，確定hPM和tPM的同時也就是在確定電機轉子齒極的尺寸，所以hPM和tPM是轉子部分最重要的尺寸。同時，由ACPTFM 的磁路分析可以得出，轉子和定子這兩部分尺寸對磁鏈的影響沒有很強的耦合性，所以可以分開分步驟優化，這樣可以減少優化計算量，同時也保證了優化結果的準確性。因此先確定電機轉子部分的尺寸，而定子每極鐵心有效長度le先預定為電機單相軸向長度的一半，39 mm(這個尺寸的確定依據于磁通連續性定理)，即定子爪齒之間軸向沒有疊加現象。

3.1 永磁體磁化方向長度優化確定

三相平均電磁轉矩Tm和轉矩脈動Tr與3 個轉子設計變量hPM:x1、tPM:x2和r:x3之間的函數關系是一個曲面，所以用二階響應面數學模型去逼近。對于3 個設計變量，CCD 需要進行15 次試驗。CCD試驗設計時3 個轉子設計變量的變化范圍和水平級如表1 所示，其中α =1.216(此取值可以得到正交的中心組合設計)。

表1 CCD 試驗設計變量x1，x2，x3 的范圍和水平級

根據表1 的優化設計變量范圍，采用Ansoft Maxwell 軟件進行15 次仿真試驗，可以得到變量不同組合的平均轉矩和轉矩脈動的數據樣本。然后采用最小二乘法計算β 的估計值，從而可以得到3 個轉子設計變量x1，x2和x3的平均轉矩和轉矩脈動的擬合響應面模型，直接由響應面模型可以得到轉矩脈動和平均轉矩的響應面優化圖，如圖3 和圖4 所示。圖3 只以轉矩脈動最小為優化目標，得到轉子設計變量x1，x2和x3的優化值分別為7.302 mm，6.92 mm 和6.364 4 mm，顯然此優化值不能保證平均轉矩的數值目標。圖4 是以轉矩脈動最小和平均轉矩為1 600 N·m 共同為優化目標，得到x1，x2和x3的優化值分別為7. 154 6 mm，15. 170 5 mm 和5.665 mm。優化過程中發現，擬合響應面的多重相關系數和修正的多重相關系數數值較小，擬合度較小擬合誤差較大，所以由此次優化求解不能最終得到轉子的全部參數優化值，但是可以確定部分參數并且可以重新確定優化變量的范圍。因此綜合圖3和圖4 的結果，當永磁體磁化方向長度hPM:x1往大取值時，轉矩脈動會有所加大，但是平均轉矩會增大，這樣兼顧考慮到永磁體的加工方便性，確定其值為7.5 mm。對于永磁體徑向長度tPM:x2和轉子齒極倒圓角半徑r:x3，根據上述的優化結果可以重新確定出它們的變量變化范圍，再次應用RSM 方法進行優化設計。

圖3 變量x1、x2 和x3 變化時轉矩脈動Tr 響應面優化圖

圖4 變量x1、x2 和x3 變化時轉矩脈動Tr 和平均轉矩Tm 響應面優化圖

3.2 永磁體徑向長度和轉子齒極倒圓角半徑優化確定

對于2 個設計變量x2和x3，CCD 需要進行9 次試驗。2 個變量時，α =1 就可得到正交的中心組合設計。根據上面3.1 中的分析，可以將轉子優化設計變量x2和x3的范圍重新界定，如表2 所示。

表2 CCD 試驗設計變量x2，x3 的范圍和水平級

經過9 次計算，得到的變量不同組合的平均轉矩和轉矩脈動的數據樣本，然后計算得到β 的估計值，從而可得到2 個轉子設計變量x2和x3的平均轉矩和轉矩脈動的擬合響應面模型，由響應面模型可以得到它們的響應面優化圖，如圖5 所示。圖5中得到的轉子設計變量x2和x3的優化值分別為15 mm 和6. 583 mm。雖然平均轉矩和優化目標有6.2%的差距，但是本文后面會進行繼續的優化設計，最終將滿足平均轉矩的優化要求，因此可以根據此優化確定設計變量x2和x3的數值。但是為了加工方便，轉子齒極倒圓角半徑r 確定為6.5 mm，此時，平均轉矩為1 523.09 N·m，轉矩脈動為3.65%。

圖5 變量x2 和x3 變化時轉矩脈動Tr 和平均轉矩Tm 響應面優化圖

3.3 定子每極鐵心有效長度優化確定

在ACPTFM 轉子部分的尺寸確定后，進而優化確定電機定子每極鐵心有效長度le。圖6 是當le變化時平均轉矩和轉矩脈動的相應變化情況。由圖6可以看出，當le由電機單相軸向長度中間位置延長，即定子爪齒之間軸向開始疊加時，平均轉矩在增大。但是當le到了一定的長度，平均轉矩基本保持不變，說明此時le對電機的平均輸出轉矩已沒有影響。而轉矩脈動在le增加時，基本處于增大的趨勢，說明電機定子爪齒之間疊加越大，越造成輸出轉矩的波動。在工程上，一般應該把轉矩脈動控制在5%以內，所以，以轉矩脈動為優化目標可取得le為47 mm。此時，平均轉矩為1 714.99 N·m，滿足轉矩設計要求并有一定的余量，轉矩脈動為4.46%。

圖6 定子每極鐵心有效長度le 變化對平均轉矩Tm 和轉矩脈動Tr 的影響

3.4 電樞線圈安匝數和永磁體徑向長度最終優化確定

ACPTFM 在前面設計中，一直以最初的安匝數NI 估計值1 050 AT 作為電樞線圈的加載，這個數值比較保守。在此，電機的所有結構尺寸已全部基本確定，因此可以在電機結構尺寸的基礎上對電樞線圈加載的安匝數進行校核確定，這個數值是后面電機線圈匝數和電樞電流參數確定的基礎。改變電機電樞線圈的安匝數，可以得到相應的平均轉矩和轉矩脈動的變化情況，如圖7 所示。由圖7(a)可以看出，在安匝數較小時，由于磁路的非飽和性，平均輸出轉矩隨電流呈線性變化。當安匝數繼續增加超過一定數值時，由于受磁路飽和的影響，平均轉矩和安匝數不再是線性關系，而是基本不再有較大的增加。在電機設計時，一般應使磁路處于接近飽和的狀態，即曲線的膝部［15］。因為如果低于曲線的膝部，鐵心物理磁路沒有得到充分的利用，造成鐵心材料和電機空間體積的浪費;而當高于曲線的膝部，鐵心物理磁路處于飽和狀態，安匝數的增加不會帶來電機輸出轉矩相應較大的增加，從而浪費了銅線以及線圈所占的空間，這也不合理。圖7(b)表示除過第一個點外，轉矩脈動隨電樞線圈安匝數的變化不是很大，所以就以安匝數對平均轉矩的影響來確定電樞線圈的安匝數，在曲線的膝部取安匝數為1 200 AT(對應的電流密度為2.1 A/mm2，滿足銅的電流密度要求)，此時，平均轉矩為1 905.99 N·m，轉矩脈動為5.48%。

圖7 電樞線圈安匝數NI 變化對平均轉矩Tm 和轉矩脈動Tr 的影響

上面的數據顯示，平均轉矩已經超過了最初的優化目標，因此對電機的永磁體徑向長度再做調整，以節省材料，達到最佳設計。圖8 是當永磁體徑向長度tPM變化時平均轉矩和轉矩脈動的相應變化情況。根據所得數據，考慮電磁場有限元模擬可能的誤差，將平均電磁轉矩向大的方向取值。因此，最終選擇永磁體徑向長度為12mm，此時，平均轉矩為1 701.76 N·m，轉矩脈動為4.63%。

圖8 永磁體徑向長度tPM變化對平均轉矩Tm 和轉矩脈動Tr 的影響

4 結 語

TFM 屬于一種特種電機，具有較高的轉矩密度，其設計自由度高，容易設計成多極電機，很有利于在低速、大轉矩場合應用。對于該種電機，傳統的基于磁路修正系數的詳細設計方法已經很難獲得良好的設計結果。本文提出的變量循序組合優化設計方法，綜合運用了變量輪換法和RSM 及DOE 設計方法，其設計過程以變量循序組合為關鍵，既考慮了所建立的優化設計模型本身優化計算結果的數學分析，又考慮了優化設計對象物理結構性質的分析，使優化設計過程既依據嚴密的數學計算又兼顧優化對象本身的特性，將優化設計數學模型和工程實際設計模型緊密的結合起來，從而很好地解決了實際問題。本文采用該方法對ACPTFM 進行了詳細設計，使得電機的主要參數輸出轉矩為1 701.76 N·m，轉矩脈動控制在4.63%以內。實際應用表明，該方法在優化過程中充分考慮了所有結構尺寸對磁路的影響，最終得到的ACPTFM 設計達到了最佳，滿足了電機的設計需求。

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