判定有限群可解性的一種方法

崔雪晴 陳仁霞

（中原工學院理學院，河南 鄭州450000）

可解群是一類常見的群，在Galois方程論等方面有重要的應用．判定有限群的可解性是一個常見的問題．以下給出一種方法，把判定有限群G的可解性的問題轉化成尋找G的三個指數互素的可解子群的問題．如果能夠找到三個子群，指數互素，且可解，那么G是可解的．這樣就把判定階數較高的群的可解性的問題轉化成了判定階數較低的群的可解性．而階數較低的群相對容易研究．首先看定義和幾個引理．

定義 1 設 G 為任意群．a，b∈G，令[a，b]=a-1b-1ab，稱為元素 a，b 的換位子．令 G′=〈[a,b]｜a，b∈G〉，稱為 G 的換位子群．歸納定義 G 的 n 階換位子群：

G(0)=G，G(n)=(G(n-1))′，n≥1．

稱群G為可解群，如果存在正整數k使G(k)=1．

下面的引理1給出了幾個關于換位子群的結論．

（2）對 n 用歸納法．當 n=1 時，?h1,h2∈H，

引理2 設有限群G≠1為可解群，則存在p-群M≠1且M ．

證明 取G的極小正規子群M(即：1≠M ，?N ，N?M，則N=1或 M)．?HcharM，由 M 知，H ．由M 的極小性知，H=1或 M．故M為特征單群．有限特征單群是同構單群的直積．[1]設 M=M1×…×Ms，其中 Mi(i=1，．．，s)是同構的單群．因為 M≤G，所以 M(n)≤G(n)，n≥1，由 G(k)=1 可得 M(k)=1．由引理 1（1），

下面的引理3研究了有限群子群指數互素的情形．

引理4 若K G，且K和G/K都是可解的，則G是可解的．[3]

證明 令 ν 是 G 到 G/K 上的自然同態，則 ν(G′)=(ν(G))′．假設 ν(G(i))=(ν(G))(i)，則 ν(G(i+1))=ν((G(i))′)=(ν(G(i)))′=((ν(G))(i))′=(ν(G))(i+1)．于是 ν(G(i))=(ν(G))(i)，i≥1．又 ν是滿同態，從而 ν(G(i))=(G/K)(i)，i≥1．因此，由 G/K 可解知，存在 k≥1使 ν(G(k))=1．于是 G(k)?K．由 K 可解知，存在 l≥1 使 K(l)=1．于是 G(k+l)?K(l)=1，從而G是可解的．

定理1 設有限群G有三個可解子群H1，H2，H3， 且指數 G∶H1，G∶H2， G∶H3兩兩互素，則G是可解的．

證明 對G 用歸納法．G =1顯然成立．假設對小于G 成立．下證對G 成立．

斷言 H1≠1，否則(假如，則 G=H2可解)，與互素矛盾．斷言成立．又 H1可解，由引理2，存在 p-群 M≠1 且 M H1．因為，所以p至多整除中的一個．不妨設．但由于，于是p G ，又 G =H2G∶H2，故p H2．設 P是 H2的 Sylow p-子群．由于，于是 G∶P ，故P是G的Sylow p-子群．由Sylow定理，任二Sylow p-子群共軛，任一p-子群含于一Sylow p-子群．存在g∈G， 使M≤Pg≤Hg2． 由 G∶Hg2=G∶H2知， G∶H1與 G∶Hg2互素， 由引理3，G=H1Hg2．?x∈G，x=x1x2，x1∈H1，x2∈Hg2． 由 M H1，M≤H2g知，Mx=Mx1x2=Mx2≤Hg2． 令 N=〈Mx｜x∈G〉，于是 N≤Hg，1≠N G．H可解 對某正整數 k，H(k)=1，由引理 1（2），(Hg)(k)

22，22=(H(2k))g=1，故 Hg2可解．從而 N 可解．由引理 1（3），(H2N/N)(k)=H(2k)N/N=1，故H2N/N可解．同理 H1N/N，H3N/N可解．又 G/N∶H1N/N =G/N ·(H1∩N N )/(H1N ) G∶H1．同 理 G/N∶H2N/N G∶H2，G/N∶H3N/N G∶H3．故 G/N∶H1N/N ， G/N∶H2N/N ， G/N∶H3N/N 兩兩互素，又 G/N ＜G ，由歸納假設，G/N可解，由引理4，G可解．

以上給出了一種判定有限群可解性的方法，把判定階數較高的群的可解性的問題轉化成了判定階數較低的群的可解性．

［1］崔雪晴,何建營．有限特征單群結構[J]．科教導刊,2014,11(1):198-199．

［2］徐明曜．有限群導引上冊[M]．2 版.北京:科學出版社,1999:6-7．

［3］Nathan Jacobson．Basic Algebra I[M]．San Francisco：W.H.Freeman and Company，1974:239．