數學學習成本與收益二律背反關系的形成與對策

摘要：受應試教育的影響，我國初等數學教育學習成本與收益并不協調，甚至在某個學習階段、某所學校及對某些學生而言，數學學習成本與收益還會形成二律背反關系。二律背反關系的形成，對學生個體、數學教師及學校的數學教學都將造成較大傷害。如何降低不必要的學習成本，使學習的收益最大化，消除學習成本與收益之間的二律背反關系，是數學教育者需要認真研究的重要課題。

關鍵詞：學習成本 收益 二律背反 對策

數學，是我國學生投入時間與精力最多的學科之一，是我國各級各類考試權重最大的學科之一，也是我國學生奪冠最為鮮亮的領域。數學的重要性人人皆知，學生、家長、學校、社會等在數學教學中投入的成本是巨大的，但數學教學的成本投入與收益是否成正比是一個值得關注的重要課題。

研究數學學習成本必須要考慮成本投入和承擔主體在時間、經濟、健康、重復學習、公共資源占有等多個方面進行的投入與收益這兩大方面的分析。在江蘇北部某縣和江蘇南部某市各選取500個樣本進行數學學習成本分析研究。

初等數學學習成本調查表

注：常規學習：指不含任何功利目的，不以升學為指揮棒，且符合教學大綱要求的學習。升學考試：指中高考。競賽：指奧數。

家長時間成本：指孩子上下學、參加各類輔導班、在家學習的陪護等時間上的付出。

經濟成本：指在數學學習上投入的學雜費、資料費、校內外的補課費等。

一、初等數學學習成本與收益分析

根據對初等數學教育學習成本的調查，對學習成本及學習收益分析如下：

1.學生數學學習成本投入與收益分析

學習成本分析：我國接受初等教育的學生在數學學習上投入的時間平均每天1～3.5小時，這個時間投入量是巨大的。之所以要在數學學習上投入那么多時間，因重復式學習、學習復雜化、題海戰術占學習總量的一半以上。各種輔導用書越來越多，內容越來越雜，學生在數學學習上耗費的時間也就越來越多。高重復式學習成就了部分高分學生，但也讓很多學生失去了對數學的興趣，甚至厭惡數學。在時間總量不變的現實下，在數學學習上投入的時間增加，自然就會減少課外活動、體育運動、社會實踐上的時間投入。

學習收益分析：部分天賦好、學習認真的學生能在各類考試及競賽中獲得優異成績，為實現升入理想學校的目標奠定了必要的基礎。但那些能考出高分的學生，綜合數學能力與數學素養并不一定理想。以中國學生參加SAT考試為例，在運算技能等相應類型題目上表現出色，但在坐標幾何、數據理解、排列組合、數列和級數以及集合類題目上表現相對較差[1]。因這五類題目要求學生具有能夠準確閱讀理解題意、強大周密的邏輯分析能力，而這些能力正是我國學生所欠缺的。目前發布的《2012中國SAT年度報告》顯示，參加美國高校入學考試的中國高中生中，只有7%的成績達到及格線。出現如此低的及格線，其根源在于中國教育缺乏對批判性思維的訓練[2]。SAT高揚的是思維領先，技巧次之;表述至上，杜絕復制的核心精神，檢測的是學生的理解、分析、評估、推論、說明及自我校準能力，而這些數學教育的內核與實質正是我國數學基礎教育的短板所在。

2.教師數學教學成本投入與收益分析

教學成本分析：我國初等教育數學教師是學校中壓力較大的群體，教師們平均每天在數學教學上投入的時間在6-10小時。在繁重的教學壓力下，很多數學教師每天就是備課、上課、改作業、改試卷，難有時間做其他的事。整天思考如何教學生解題，無暇顧及學生數學素養的提高及自身的專業成長，部分教師由于長期的超負荷工作，身體處于亞健康狀態。

教學收益分析：在某種程度上，初等教育數學教師最大的收益就是學生考出理想分數，高徒出名師。在以應試為目的的初等教育，教師們把很多精力用于揣摩試題、分析考點、收集各種題型、拓深拓寬知識點。有些數學教師片面從數學知識的嚴密性、系統性、邏輯性和科學性出發，讓學生有意感知、注意、記憶數學概念，卻忽視從教學藝術角度開發學生的潛意識和主觀能動性，沒有觸及學生的精神需求，將數學課變成枯燥的定義描述、乏味的定理證明和一遍又一遍的模式化訓練。受應試教育的影響，數學教師不僅缺失正確的教學導向，也缺失健康的專業發展，很難在科學育人上思考與實踐。

3.學校數學教學成本投入與收益分析

教學成本分析：基于數學在初等教育中的重要性，在各類升學考試中的權重，以及以分數和升學率為主要依據的教育評價方式，學校層面在時間投入上，每天數學課至少要兩個課時;在經濟投入上，數學課是各種教學參考書、習題集、講義等資料使用最多的學科，也是學校發放教師課時津貼最多的學科。學校為了提高學生分數，必須不斷加大知識難度、拓寬知識界限、加快教學進度，學習復雜化成本高于其他學科。

教學收益分析：一所學校升學率的高低、社會認可度的高低，數學教學作用巨大。有效提高學生數學考試成績，能為學校爭得聲譽。數學教學要求偏高、偏難，理論要求及解題技巧要求基本上是為學生升入理工科大學設計的，使許多學生感到數學是最難學的科目，沒有讓極大多數學生形成對數學的興趣。在教學內容處理上，介紹數學思維結果的較多，揭示思維過程與方法的較少;教學生如何解決數學問題的較多，但問題如何提出，以及為什么提出較少，缺乏對學生問題意識的培養。在教材處理上，對教材整體性體現不太充分，用章節或單元將代數和幾何分開，學生在階段學習時得不到整體訓練。教師教法存在五個“過多”和五個“過少”：灌輸式過多，參與式過少;結論型過多，問題型過少;封閉式過多，發散式過少;重分數過多，重能力過少;書本知識過多，解決問題能力訓練過少等問題較為普遍地存在著。

4.社會教育資源數學教學成本投入與收益分析

成本投入分析：國家投入經費建造少年宮、青少年活動場所、科技場館等社會教育場館，是面向全體青少年的社會公益場館，是滿足青少年多樣化學習需求的重要場所，是對青少年進行社會教育的主要載體之一。但在很多地方，這些社會公益教育場館未能很好地履行自己的教育職責，將社會公益教育簡單地等同于與升學相關的課外輔導班。還有些社會教育場館長期被各種社會培訓機構及各種輔導班租用，致使國家的教育投入沒有發揮出應有的教育功能。endprint

收益分析：將社會公共文化場館租給奧數培訓機構或各種數學輔導班，把場館的教育功能單一化了。有的奧數培訓機構和各種數學輔導班與名校相互配合，利用社會公共文化場館及名校里的名師培養部分升學、競賽的高手，為名校攬優質生源，取得顯性的教育成績。培訓機構可借此很好創收，名校可從中選拔高分學生，少數學生可通過社會教育資源的強化進入優質學校，但卻剝奪了廣大青少年享受社會公益教育的權利。公共教育資源流失帶來的顯性成績，不僅造成新的教育不公，也讓社會公益教育處于尷尬地位。

二、數學學習成本與收益二律背反關系的形成

從總體來講，我國初等數學教育學習成本與收益并不協調，甚至在某個學習階段、某所學校及對某些學生而言，數學學習成本與收益還會形成二律背反關系。數學學習成本與收益之間為什么會形成二律背反關系？分析如下。

1.學生與知識是間接關系，學習成本與收益不協調

學生與數學的關系是間接關系而非直接關系，不僅學到的是“死數學”，而且還會在學習成本與收益上形成二律背反關系。以立體幾何中二面角的學習為例，這是立體幾何中的重點內容，也是難點。對于這部分知識的學習，教師通常的做法是給出二面角的定義，二面角的平面角的確定方法，然后用大量時間和習題進行鞏固訓練。學生學習二面角的目的就是為了正確求解相關習題，與二面角知識上的關系是間接的，學習方式是被動的，學生能看到解題后的成果卻體會不到知識創造的過程，制約了對探索精神和創造力的培養。若教師在講授這部分內容前，找出一個有代表性的問題，讓學生思考或討論二面角的平面角（棱上、面內、垂直）的確定，做二面角的平面角的方法，求二面角的平面角的方法（直接法、投影法、向量法）等進行主觀探索，教師根據需要給予引導，這樣獲得的知識比被動的大量習題訓練要好得多。當學生與知識間是間接關系時，付出的學習成本就很難得到應有的收益，自然會形成二律背反關系。

2.教師教學圍著考試轉，教學收益單一

如果教師教學只圍著考試轉，必然會在教學中反復講解教材的數學成分，忽視邏輯成分。老師們一遍又一遍地講解數學的定義、性質、定理和邏輯證明，學生們即使達到了老師的教學要求，老師的主要收獲就是學生的考試成績。如何在有限的一節課教學時間內使知識信息傳輸量最大，時間利用率最高，數學問題解決最多，學生考試成績提高幅度最大，這是極大多數數學教師的主要教學目的，這樣勢必導致學生在課堂上以接受教師傳授知識，即被動學習為主，以完成老師布置的題目、提高分數為主，無法實現數學教學的真正目的，除了提高學生的考試成績，學生綜合素質的提高、教師的專業發展等重要的考量指標很難在以考試為中心的教學模式下得到很好的提高。

3.評價標準單一，付出與收益不對等

無論哪種類型的數學考試，都采用絕對評分法，即以一張試卷成績為最終評價結果。從相關課題研究及部分地區進行的數學教學方面的調查分析顯示，我國初中生數學及格率在40%左右，高中生的及格率比初中生還低幾個百分點。學生在數學學習上付出那么多的時間與精力，為什么及格率那么低？其根源在于評價方式出了問題，重知識輕能力的評價方式，忽略了學生的學習態度、數學潛力、探索力、問題解決能力等多方面的能力，付出了高成本卻得到低收益。對很大一部分學生來說，由于他們考不出理想的分數，不僅影響了他們學習數學的興趣，也影響了他們人生綜合能力的培養與提高。

4.教材與試卷難度系數有差距，重復學習成本較高

隨著教育的發展與教育改革的不斷深化，為了突出減負、創新的要求，教科書歷經幾次改版，刪去了一些內容，難度也有所降低。但考試內容卻與教科書要求相差很大，教師與學生不得不花費大量的時間去購買課外學習資料、做課外習題，重復學習成本較高。而長期的重復式學習會制約學生發現問題、創造思維能力的養成，對學生終身發展形成制約。

5.學習過程缺少留白，重顯性收益輕隱性收益

基于以分數和升學率為主要依據的教育評價方式，很多教師無法顧及學生的長遠發展及學生的個體差異，為了提高分數，必須在有限的時間里使知識傳授最大化，把學生的時間填滿，沒有給學生的學習過程留白，學生難有想象與獨立探索的空間。

三、解決數學學習成本與收益二律背反關系的對策

解決數學學習成本與收益之間二律背反關系、使初等數學教育優質發展的惟一出路是從應試教育中走出來，以培養人為目的，讓數學教育回歸育人本真。

1.培養高素質的數學教師

最能影響學生水平的因素是高素質、高效能的教師，高素質的數學師資的培養途徑主要有六個方面。

（1）提高師范院校高考錄取分數線，鼓勵成績優秀的學生就讀師范院校，改變現今成績不太好的學生才讀師范院校的現狀。

（2）加強對師范院校數學系學生綜合素質的培養，培養他們專業發展的興趣與能力。

（3）加強對在職數學教師的培訓，提升他們應對教育發展趨勢的能力。

（4）加強校際內數學教研組的團隊建設，讓他們相互借鑒、取長補短、共同提高。

（5）加強校際之間數學教師的有效交流，不走形式、不走過場、相互學習。

（6）扎實提高數學教師的科研能力，以研促教，用自己先進的教育理念去導向教育行為，并用自己深刻的內涵去影響學生。

2.加強數學學習成本研究，提高學習效率

學生數學學習之所以長期存在量多、低效等問題，根源在于教育體制上有重考不重教的傾向，沒有關注學生的學習成本和學習效率，將數學的作用異化了。數學被異化，就失去了自己的特征，要么被等同于考試，要么被拔高夸大責任。

研究數學學習的成本，有三點要避免：（1）重復學習;（2）學習復雜化;（3）題海戰術。要改變學生的學習狀態、性質、內容和結構，減少結構化學習量，培養學生的創造性思維。創造性思維是個復雜的概念，而且它往往在注意力渙散、白日夢或不守規則時出現。數學教育要為學生創設出想象、猜想、質疑的空間，培養學生對數學的靈性、數學的感覺，對數學文化的認識和體悟，降低不必要的學習成本，切實提高學生學習數學的效率。endprint

3.對數學課程進行合理開發，注重學習收益

現行國家數學教材的內容都是較為成熟的學術觀點，教材存在嚴謹有余、活潑不足;守成有余、創新不足;體系有余、開放不足;傳授有余、互動不足等現象。作為輔導學生卷面考試的文本較為理想，但若提到培養學生的綜合素質、創新精神的高度尚顯不足。學校及數學教師應根據學生實際靈活對數學課程進行二度開發，提高數學學習收益。

例如：在講授平面幾何時，為拓展學生視野，向學生介紹歐幾里德幾何，羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何，讓學生了解幾何的發展過程，不僅擴展了學生的知識面，也能讓學生從知識的發展過程中培養科學精神。增加必要的數學實踐活動，如代數問題中的選值代入進行估算，幾何問題中通過畫圓進行直觀猜想，運用教具顯示進行圖形性質的探索等。當學生的視野拓展到更加宏大的世界時，就會產生超越權威公理的懷疑精神，而知識的更新、社會的進步需要的就是這種懷疑精神。

4.給數學正確定位，不人為加大學習成本

數學是基礎，這一結論毋庸置疑，但如何正確理解“基礎”的含義？按照我國傳統理解，“基礎”是指基本理論、基礎知識和基本技能。應從文化層面給數學的基礎地位正確定位，將其定位于一個人的學習興趣、質疑能力、探索能力等“能力體系”，將學習的目標指向追求學習過程中的思維發展。在知識選擇上，以“夠用”為目標，勿用茫茫題海加大學生的時間成本、健康成本，從而透支學生的發展成本。不人為夸大數學的責任，無論什么學科對學生成長而言都同等重要，沒有權重大小之分。應逐步取締目前各類升學考試中數學權重較大且人為將各門課程等級化的做法，讓學生用平常心，合理的成本投入進行數學學習。

5.科學劃定數學難度系數，降低學習時間成本

降低教學難度，科學劃定數學內容的難度系數，降低學習時間成本，以“夠用”為目的，以培養綜合能力為導向，從“解題訓練”這種單一的教學模式中走出來，以情趣促進教學，賦予數學情感色彩，讓學生喜歡數學。將服從文本化考試的數學教學與生活相連，例如：用集合知識分析奧運會運動員相關情況;用“跳蚤的故事”描述無窮數量;用線段AB間的點解釋“無窮”適合一個非常小的空間。通過這些實例，把“死”知識講“活”，讓數學富有生命特征，學生心靈深處的智慧才能萌發，才能學到真數學。

6.淡化分數，讓學習收益最大化

淡化分數，勿用“分數”導向教學;開放考試形式，減少、取消不必要的考試。采用多種評價方式，認真對待及研究分數，但不強化分數，設計學生有興趣且能啟發學生思維的問題。允許學生出錯，鼓勵學生將考試時出現的錯誤或解決不了的問題帶到考試時段外去探討。除了傳統的閉卷考試形式外，根據教學內容靈活使用多元化的考試方式，如：開卷考試、半開卷考試、答辯式考試、小論文式考試、實習報告、案例分析等方式[3]，注重考試對教育的適應性，讓考試為學習服務。

任何學習都要付出相應的學習成本，有的學習成本大一些，有的成本小一些，數學學習屬于學習成本大一些的范疇。如何盡可能降低學習成本，使學習的收益最大化，消除學習成本與收益之間的二律背反關系，是數學教育者需要認真研究的重要課題。廣大數學教育工作者要在教學實踐中，以黨的教育方針為指導，以培養人為目的，認真思考和研究教育問題，適時更新教育理念，認真研究教材、研究學生、研究教育發展方向，靈活調整教學策略，讓學生感受到數學的魅力，享受到數學的熏陶，學到真正的數學。充分發揮數學的育人功能，不僅能夠讓學生以數學為工具解決相關問題，也能讓數學在培養學生綜合能力上發揮重要作用。

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參考文獻

[1]潘涌.SAT對中國高考的啟示，從應試力到思想力.光明日報，2012-6-1

[2] 中國學生參加美國高考僅不到7%及格.東南網，2012-10-28.

[3] 吳維煊.淡化“分數場”——在動態均衡中實現數學教育優質發展.北京教育學院學報，2010（4）.

【責任編輯 劉永慶】endprint