李亞普諾夫直接法在移動機器人軌跡跟蹤控制器設(shè)計中的應(yīng)用

郭一軍， 劉勝榮， 趙 磊

(黃山學(xué)院 機電工程學(xué)院，安徽 黃山245021)

移動機器人由于具有較高的機動性和靈活性，能夠根據(jù)應(yīng)用需要自主移動到工作空間完成操作任務(wù)，應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，因此對其的控制問題引起人們的廣泛關(guān)注。軌跡跟蹤控制是機器人運動控制的重要組成部分，機器人編隊、避障、導(dǎo)航功能的執(zhí)行都需要通過機器人底層的運動控制實現(xiàn)。輪式移動機器人是典型的多輸入多輸出、非線性、欠驅(qū)動的非完整系統(tǒng)，對其的運動控制富有挑戰(zhàn)性。楊芳等［1］研究了攝像機未標定參數(shù)情況下的非完整移動機器人軌跡跟蹤問題;馬保離［2］研究了基于狀態(tài)觀測器的移動機器人路徑跟蹤控制問題;張鑫等［3］探討以兩驅(qū)動后輪角速度為控制輸入的移動機器人軌跡跟蹤問題，設(shè)計出具有全局漸穩(wěn)的自適應(yīng)滑模軌跡跟蹤控制器。

受文獻［4-8］對軌跡跟蹤問題研究的啟發(fā)，文中基于李亞普諾夫直接法的軌跡跟蹤控制器設(shè)計方法，在對系統(tǒng)運動學(xué)的分析的基礎(chǔ)上建立軌跡跟蹤系統(tǒng)誤差模型，并考慮系統(tǒng)運動學(xué)約束;然后選擇合適的誤差狀態(tài)變量構(gòu)造候選李亞普諾夫能量函數(shù)，結(jié)合李亞普諾夫穩(wěn)定性分析理論，得出系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制律;在Matlab 環(huán)境下對所設(shè)計控制律進行了仿真驗證，結(jié)果表明該控制律可以保證軌跡跟蹤誤差漸進收斂。

1 輪式機器人運動學(xué)模型

文中以Unicycle 類型移動機器人為研究對象。為了說明移動機器人與慣性坐標系的相對位姿，定義慣性坐標系XOY，以移動機器人兩驅(qū)動輪軸線中心為原點，線速度方向為橫軸，垂直與線速度方向為縱軸，定義移動機器人本地參考坐標系xoy。假設(shè)機器人質(zhì)心位于兩驅(qū)動輪軸線的中心，則實際機器人的位姿在慣性坐標系下可以表示為向量

其中，x，y 為其質(zhì)心的坐標;θ 為其航向角，即機器人瞬時前進方向與X 軸的夾角。同時定義期望位姿為

該位姿由虛擬機器人給定。

如果假設(shè)兩驅(qū)動輪與地面間滿足“純滾動無滑動”的情況，移動機器人的運動學(xué)方程可表示為

移動機器人位姿誤差表示如圖1 所示。

圖1 移動機器人位姿誤差表示Fig.1 Posture errors of the mobile robot

由圖1 可以看出，虛擬機器人坐標系(xvoyv)以vr方向為x 軸正向，以vr方向繞x 軸正向逆時針旋轉(zhuǎn)90° 為y 軸正向，在該坐標系內(nèi)軌跡跟蹤誤差矢量e =［xeyeθe］T有如下方程成立［9］:

對式(2)求時間導(dǎo)數(shù)可得軌跡跟蹤運動學(xué)誤差模型

式中:v，w 為跟蹤機器人的線速度和角速度;vr，wr為虛擬機器人的線速度和角速度。

2 軌跡跟蹤控制器設(shè)計

對非完整移動機器人設(shè)計軌跡跟蹤控制器就是依據(jù)系統(tǒng)誤差模型，設(shè)計v，w 使得誤差系統(tǒng)式(3)的狀態(tài)變量對于任意初始誤差，在控制律作用下［xeyeθe］T有界且滿足

以實現(xiàn)對給定參考軌跡的跟蹤。

取候選李亞普諾夫函數(shù)

顯然當(dāng)e ≠0 時，V(e)為正定函數(shù)，對V(e)求時間導(dǎo)數(shù)可得

式中，c1，c2為大于0 的常數(shù)。所以由李亞普諾夫穩(wěn)定性理論可知，在控制律v，w 作用下，系統(tǒng)式(3)的平衡狀態(tài)是全局漸進穩(wěn)定的。證 在控制律作用下，

也有界。

又因

其中，Γ = ［xecosθe+ yesinθe］。由于有界，所以)必定有界，從而)一致連續(xù)，根據(jù)Barbalat 引理有

故

3 仿真實驗分析

為了驗證設(shè)計控制律的有效性，在Simulink 仿真環(huán)境下對移動機器人軌跡跟蹤系統(tǒng)進行研究。給定軌跡為單位圓，即選取虛擬機器人的控制輸入和初始條件:

設(shè)定跟蹤機器人的初始條件為

在反饋通道疊加零均值高斯白噪聲信號，圖2 和圖3分別為移動機器人對X 軸向和Y 軸向給定參考軌跡跟蹤效果。

圖2 X 軸向軌跡跟蹤曲線Fig.2 Curves of X axis trajectory tracking

圖3 Y 軸向軌跡跟蹤曲線Fig.3 Curves of Y axis trajectory tracking

圖4 為機器人跟蹤過程中位姿誤差變化曲線，圖5 為X 軸向軌跡和Y 軸向軌跡組合后的移動機器人幾何軌跡跟蹤效果。

圖4 位姿誤差變化曲線Fig.4 Curves of posture errors

圖5 幾何軌跡Fig.5 Trajectory of mobile robot

仿真結(jié)果表明，在文中所設(shè)計速度控制律的作用下，軌跡跟蹤誤差具有滿意的收斂特性，位姿誤差能以較快的速度收斂到零，這說明軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的有效性和符合全局漸近穩(wěn)定特性。

4 結(jié) 語

文中依據(jù)系統(tǒng)動態(tài)誤差模型，基于李亞普諾夫穩(wěn)定性理論，設(shè)計了具有全局漸進穩(wěn)定性的軌跡跟蹤控制器。該方法設(shè)計過程簡單，控制器參數(shù)調(diào)節(jié)方便，系統(tǒng)的控制效果良好，具有較強的魯棒性。

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