基于lyapunov指數的股票市場混沌性研究

周揚

摘要： 金融市場本身是一個“復雜系統”，它以一種非線性的方式對外界的作用做出反應。因而，金融市場會隨著時間的變化改變自身的發展規律。隨著外部環境的作用，金融市場會從一個穩定而有序的模式逐漸的陷入混沌之中，然后通過內部的相互作用達到平衡或者是產生金融危機。本文通過分析上證指數數據利用lyapunov指數來判斷股票市場中是否存在混沌性，進而判斷金融市場中是否存在混沌現象。對能否對股票市場進行預測提供理論依據。

關鍵詞： 混沌；lyapunov指數；重構相空間；wolf方法

一、引言

金融市場本質上是一個開放型的復雜系統，而金融危機是金融市場混沌特征的一種表現，其爆發根本原因在于以有效市場、隨機游走與理性投資等線性范式假設為前提的，并且認為金融市場所呈現出來的特征是各個部分特征的簡單相加；另一方面，這些方法采用的是靜態均衡的觀點去解決金融市場問題，因而當市場的外部環境發生變化時，先前制定的解決方法極有可能成為解決問題的阻礙[1]。因此，經典金融學理論在認識金融市場的本質規律、提供有效的風險控制方法的思路存在許多局限性。

因此，要想從根本上解決這個問題，我們要首先認識到金融市場本身作為一個“復雜系統”，它具有一種演化特征的非線性的方式對外界的作用做出反應。因而，金融市場會隨著時間的演化而改變自身的發展規律。隨著外部環境的不斷變化，金融市場將會從一個穩定而有序的模式逐漸的陷入混沌之中，然后通過內部的相互作用達到平衡或者是產生金融危機。

因此，單刀直入的直接研究金融市場的非線性特征往往會為解決根本問題提供思路。因此，這篇論文的主要目的就在于，通過研究金融市場的一個指標——上證指數，利用lyapunov指數來判斷金融市場本身是否具有混沌的特性。如果其具有這樣的一種特性，那么我們必須從這方面著手，研究金融市場的混沌特征。從而找到金融市場的內部規律。

（一）研究方法

要想研究金融市場的混沌特性，我們以股票市場為例，選取了上證指數作為研究混沌現象的指標，利用lyapunov指數來判斷指標是否具有混沌的特征。本文首先表述了混沌時間序列分析的主要研究方法：重構相空間的方法，這種方法能夠重構高維相空間中的混沌吸引子，構造完成之后，我們就可以恢復時間序列數據的非線性特征。重構相空間需要知道時間序列數據的嵌入維數與延遲時間，我們分別利用了自相關函數法計算出序列的延遲時間以及利用Cao方法計算出時間序列的嵌入維數。利用構造好之后的相空間，我們就可以求得時間序列的lyapunov指數，根據lyapunov指數的大小判斷上證指數的波動性是否具有混沌的特征。

二、理論依據

（一）重構相空間

為了恢復“混沌吸引子”，我們需要做的第一件是是“重構相空間”。所謂“混沌吸引子”，本身指的就是混沌系統具有某種規律性，它既不向一點靠近，也不遠離這一點，而是在一定的軌道內變化。該混沌系統的一部分的演化過程與其他部分有著密切的聯系。每一部分的信息都包含在另一部分的發展之中。這樣，我們就可以從某一部分的時間序列數據中得到并模擬該混沌系統的規律。可以這樣說，一個混沌系統的軌道經過一定時間的變動，最終會產生一種有規則的軌道，這也就是“混沌吸引子”。但是這種軌道在轉化成時間序列時表現出一種復雜并且混亂的特征。因為混沌系統的各個部分之間是相互影響的，在時間序列上產生的數據也具有相關性的特征。[2] 我們利用Packad等人的坐標延遲相空間重構法，對于一維時間序列[WTBX]

{x（t）}，t=1，2，…，N可以構造m維的向量

Xn={x（n），x（n+τ），…，x（n+（m-1）τ）}，

n=1，2，…，N-m-1）τ

其中：m為嵌入維數，τ為延遲時間。相空間重構的關鍵在于嵌入維數與延遲時間的確定。Takens定理[3]表明：我們可以從一個一維混沌時間序列中模擬一個與原來的動力系統在拓撲意義下相同的相空間，這樣就可以模擬時間序列的規律。混沌時間序列的性質各方面的分析都是基于相空間重構之上的，因此，相空間重構是混沌時間序列研究的關鍵。[4]下面我們將討論延遲時間與嵌入維數的確定方法 。

1延遲時間τ

延遲時間的選擇關鍵在于使x（n）與x（n+τ）表現出獨立性，但又不能使其在統計學角度上完全不相關。確定延遲時間的方法主要有：自相關函數法與互信息法。下面我們主要闡述的是自相關函數法，因為我們后面也會用到這種方法。

自相關函數法[5]主要考察觀測量x（n）與x（n+τ）與平均觀測量的差之間的線性相關性。其定義用數學方法表示為：

C（τ）=[SX（]1/N∑Nn=1（x（x+τ）-x[TX-]）（x（n）-x[TX-]）[]

1/N∑Nn=1（x（n）-x[TX-]）2

[SX）]

其中，x[TX-][SX（]1[]N[SX）]∑Nn=1x（n），一般取自相關函數值C（τ）第一次下降到零時的延遲時間作為相空間重構的最佳延遲時間。

2嵌入維數m[WTBZ]