隨機(jī)微分博弈下帶有負(fù)債的保險(xiǎn)公司最優(yōu)決策

王麗霞，李雙東

（安徽大學(xué)江淮學(xué)院公共基礎(chǔ)部，安徽合肥230031）

隨機(jī)微分博弈下帶有負(fù)債的保險(xiǎn)公司最優(yōu)決策

王麗霞，李雙東

（安徽大學(xué)江淮學(xué)院公共基礎(chǔ)部，安徽合肥230031）

應(yīng)用線性-二次控制方法，假定市場(chǎng)是保險(xiǎn)公司博弈的虛擬對(duì)手，研究帶有負(fù)債情形下的保險(xiǎn)公司與市場(chǎng)二人零和隨機(jī)微分博弈問(wèn)題.假設(shè)保險(xiǎn)公司的目標(biāo)是最大化終值財(cái)富期望效用，分別在指數(shù)效用和冪效用下，求得保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資策略與最優(yōu)再保險(xiǎn)策略，最優(yōu)市場(chǎng)策略，并在最優(yōu)策略下求得值函數(shù)的表達(dá)式.最后通過(guò)指數(shù)效用下的數(shù)值算例，在市場(chǎng)最壞的情形，分別給出有無(wú)負(fù)債及有負(fù)債時(shí)不同的負(fù)債參數(shù)對(duì)保險(xiǎn)公司最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)策略的影響.

負(fù)債；隨機(jī)微分博弈；線性二次控制；效用函數(shù)

YibinUniversity,2015,15(12):64-69.

近年來(lái)，運(yùn)用隨機(jī)控制理論研究保險(xiǎn)公司最優(yōu)投資及再保險(xiǎn)策略問(wèn)題成為學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn). Browne[1]首次應(yīng)用隨機(jī)控制方法研究了擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型基于最大化生存概率準(zhǔn)則和最大化指數(shù)效用準(zhǔn)則的最優(yōu)投資問(wèn)題，并給出最優(yōu)投資策略滿足的表達(dá)式.Bai[2]則給出擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型中最大化終值財(cái)富效用的是最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)策略.

多數(shù)學(xué)者對(duì)最優(yōu)投資的研究?jī)H從投資者的角度出發(fā)，而未考慮到市場(chǎng)對(duì)投資者的影響.實(shí)際上，投資者的決策會(huì)隨著市場(chǎng)的改變而發(fā)生變化，因此，將市場(chǎng)的不確定性因素考慮進(jìn)來(lái)，從投資者和市場(chǎng)兩個(gè)方面出發(fā)，所得模型將更符合實(shí)際，這就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了隨機(jī)微分博弈，即假定市場(chǎng)是投資者博弈的虛擬對(duì)手.很多學(xué)者對(duì)此作了研究，Mataramvura[3]利用隨機(jī)微分博弈思想研究了跳擴(kuò)散金融市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)最小化情形下的投資組合問(wèn)題.Elliott[4-5]研究了市場(chǎng)中兩個(gè)投資者作為競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手時(shí)而構(gòu)成的二人零和隨機(jī)微分博弈問(wèn)題，在風(fēng)險(xiǎn)最小化原則下的投資組合策略.

隨著隨機(jī)微分博弈思想在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用和發(fā)展，一些學(xué)者開始基于該思想研究保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)問(wèn)題.Lin[6]運(yùn)用線性二次控制方法研究了隨機(jī)微分博弈下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資策略.羅琰[7]和楊鵬[8]則在此基礎(chǔ)上考慮了再保險(xiǎn)，在最大化終值財(cái)富期望效用準(zhǔn)則下研究了隨機(jī)微分博弈下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)策略.

在實(shí)際中，許多投資者往往帶有負(fù)債，因此研究負(fù)債情形下的組合投資問(wèn)題是風(fēng)險(xiǎn)管理中的重要問(wèn)題.Xie[9]建立了負(fù)債與股票價(jià)格服從不同的布朗運(yùn)動(dòng)的情形下均值－方差模型，得到了最優(yōu)投資的顯示表達(dá)式.榮喜民[10]運(yùn)用隨機(jī)控制理論通過(guò)求解相應(yīng)的HJB方程給出了負(fù)債情形下基于最大化效用準(zhǔn)則的最優(yōu)投資策略的表達(dá)式.楊鵬[11]則研究了負(fù)債情形下投資者與市場(chǎng)的隨機(jī)微分博弈，基于效用最大化原則，求解了最優(yōu)投資組合策略和市場(chǎng)策略.實(shí)際上，多數(shù)保險(xiǎn)公司也帶有負(fù)債，但目前鮮有文獻(xiàn)基于微分博弈思想研究帶有負(fù)債的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資決策問(wèn)題.

本文在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，在負(fù)債情形下，研究保險(xiǎn)公司與市場(chǎng)之間的隨機(jī)微分博弈問(wèn)題，以最大化期望效用為準(zhǔn)則，分別在指數(shù)效用和冪效用下分析保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)策略，最優(yōu)市場(chǎng)策略及值函數(shù)的表達(dá)式.并通過(guò)數(shù)值的例子，分析市場(chǎng)參數(shù)對(duì)所得結(jié)果的影響，尤其是負(fù)債過(guò)程對(duì)保險(xiǎn)公司的投資及再保險(xiǎn)策略的影響.

1 模型建立

1.1 再保險(xiǎn)與投資模型

設(shè)(Ω,Ft,P)為一個(gè)完備的概率空間，P是一個(gè)完備概率測(cè)度，F(xiàn)t右連續(xù)，文中所有的隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程都定義在此概率空間上，W1(t)和W2(t)是兩個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

假設(shè)保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程滿足微分方程[8]dU(t)=αdt-βdW1(t),式中α＞0,β＞0均為常數(shù)，分別表示保險(xiǎn)公司單位時(shí)間的平均索賠及索賠波動(dòng)率，保費(fèi)過(guò)程滿足dc(t)=(1+v)αdt,其中v＞0為保險(xiǎn)公司的安全負(fù)載.故盈余過(guò)程滿足如下微分方程：

本文假設(shè)再保險(xiǎn)策略比例再保險(xiǎn)，再保險(xiǎn)水平為a(t)(0≤a(t)≤1),當(dāng)a(t)=1時(shí)表示保險(xiǎn)公司完全分保，自留比例為0，當(dāng)a(t)=0時(shí)表示沒(méi)有再保險(xiǎn)，當(dāng)a(t)＜0時(shí)表示公司接受新的分保.設(shè)再保險(xiǎn)的安全負(fù)載為η，滿足η＞v.此時(shí)保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程為

假設(shè)金融市場(chǎng)中有如下兩種金融資產(chǎn)：

（i）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（銀行賬戶），其價(jià)格演化方程為

其中r0＞0表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.

（ii）風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其價(jià)格演化方程為：上式中r＞r0,σ＞0為常數(shù).

設(shè)投資者在時(shí)刻t=0的初始財(cái)富為w(w＞0)，初始負(fù)債為l( ) l∈R,則投資者在初始時(shí)刻的財(cái)富凈值x0=w-l＞0.記L(t)為到達(dá)t時(shí)刻的累計(jì)負(fù)債，滿足:

其中c(t),d1(t),d2(t)均為時(shí)間t的確定函數(shù)，d1(t)表示由于保險(xiǎn)公司保費(fèi)及索賠的不確定性引起的負(fù)債波動(dòng)率，d2(t)表示由于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)引起的負(fù)債波動(dòng)率.

保險(xiǎn)公司除了可以進(jìn)行再保險(xiǎn)外還可以進(jìn)行投資.設(shè)在t時(shí)刻投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資額為π(t)，則投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的金額Xhl(t)-π(t)，其中Xhl(t)為再保險(xiǎn)和投資策略為hl(t)=(a(t),π(t))下的盈余過(guò)程，結(jié)合(1)-(4)式，盈余過(guò)程Xhl(t)滿足如下隨機(jī)微分方程

定義：若hl(t)=( ) a(t),π(t)是Ft自適應(yīng)的，對(duì)每個(gè)t∈[0,T]滿足，且隨機(jī)微分方程(5)對(duì)策略hl(t)=( ) a(t),π(t)有唯一強(qiáng)解，則稱之為可行策略.記所有可行策略的集合為H.

1.2 問(wèn)題形成

本文假設(shè)保險(xiǎn)公司以最大化終值財(cái)富期望效用為經(jīng)營(yíng)目標(biāo)，而市場(chǎng)則通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)母怕蕼y(cè)度最小化終值財(cái)富期望效用，以下引入市場(chǎng)控制的概率測(cè)度集，假設(shè)Ft可測(cè)的隨機(jī)過(guò)程{θ (t),t∈(0,T)}滿足，記滿足上述條件的θ(t)的全體集 合 為 Θ,對(duì) 于 每 個(gè) θ(t),t∈(0,T),定 義如下：

對(duì)上式應(yīng)有Ito?公式得

假設(shè)

{θ (t),t∈(0,T)}

幾乎處處有界，Zθ(0)= Z0(0 ＜Z0＜1),則Zθ(t)是(Ft,P )上的鞅，即有EZθ(T)=EZθ(0)=1.

假設(shè)u∶R→R為一個(gè)效用函數(shù)，滿足u'＞0, u''＜0（u是一個(gè)嚴(yán)格凸函數(shù)）.對(duì)每個(gè)策略hl= (a(t),π(t)),定義保險(xiǎn)公司的終值財(cái)富在Pθ下的期望效用函數(shù)為：

其中Eθ是概率測(cè)度Pθ下的數(shù)學(xué)期望.

保險(xiǎn)公司的策略選擇依賴于市場(chǎng)，即市場(chǎng)為博弈的主導(dǎo)者，則保險(xiǎn)公司的目標(biāo)是在市場(chǎng)最壞的情形選擇一個(gè)最優(yōu)策略hl(t)，最大化終值財(cái)富效用，即

這是保險(xiǎn)公司與市場(chǎng)之間的二人零和隨機(jī)微分博弈問(wèn)題，其中hl*=(a*(t),π*(t))為保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)策略，θ*為最優(yōu)市場(chǎng)策略.解決該問(wèn)題即要找到最優(yōu)策略(hl*,θ*)∈H×Θ和對(duì)應(yīng)的值函數(shù)V(t,x,z).

2 最優(yōu)策略與值函數(shù)

本文分別在指數(shù)效用和對(duì)數(shù)效用下討論隨機(jī)微分博弈問(wèn)題（7）的最優(yōu)解和值函數(shù).

2.1 指數(shù)效用函數(shù)

引理1g(t)滿足常微分方程：

則

證明：解常微分方程（8）即可得結(jié)論.

定理1在指數(shù)效用下，隨機(jī)微分博弈問(wèn)題（7）中，保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略為

最優(yōu)投資策略為

市場(chǎng)的最優(yōu)策略為

對(duì)應(yīng)的值函數(shù)滿足

其中g(shù)(t)滿足（9）式.

證明：令hl(·)和θ(·)為一組可行策略，Xhl(t)為滿足（5）式的控制過(guò)程，對(duì)應(yīng)用Ito?公式，結(jié)合（8）式可得：

其中a*,π*,θ*分別滿足（10）-（12）式.對(duì)上式從t到T積分，并在條件Xhl(t)=x,Zθ(t)=z及概率測(cè)度Pθ下，取條件期望，得：

因?yàn)間(t)＞0,Zθ(t)＞0，故問(wèn)題得證.

注1：定理1表明保險(xiǎn)公司自身的負(fù)債不會(huì)影響市場(chǎng)的最優(yōu)策略，但由式（10）（11）知，市場(chǎng)波動(dòng)引起的負(fù)債變化會(huì)對(duì)保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資與最優(yōu)再保險(xiǎn)策略造成一定的影響，最優(yōu)再保險(xiǎn)策略隨著由保險(xiǎn)公司保費(fèi)及索賠的不確定性引起的負(fù)債波動(dòng)率d1(t)的增大而減小，最優(yōu)投資策略則隨著由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)引起的負(fù)債波動(dòng)率d2(t)的增大而增大.

注2：若不考慮負(fù)債存在的情形，即當(dāng)c(t)= d1(t)=d2(t)=0時(shí)，結(jié)論與文獻(xiàn)[8]中所得結(jié)論一致，因此本文是文獻(xiàn)[8]的推廣.

2.2 冪效用函數(shù)

引理2f(t)與h(t)滿足如下常微分方程

則

證明：解常微分方程即可得，求解過(guò)程略.

定理2 隨機(jī)微分博弈問(wèn)題在冪效用下的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略為

最優(yōu)投資策略為

最優(yōu)市場(chǎng)策略為

值函數(shù)滿足

其中 f(t)與h(t)滿足（16）、（17）式.

證明：令hl(·)和θ(·)為一組可行策略，Xhl(t)滿足（5）式，對(duì)應(yīng)用Ito?公式，結(jié)合（14）（15）式有：

其中a*,π*,θ*分別滿足（18）-（20）式，對(duì)上式從t到T積分，并在條件Xhl(t)=x,Zθ(t)=z及概率測(cè)度Pθ下，取條件期望，得：

故問(wèn)題得證.

注3：當(dāng)c(t)=d1(t)=d2(t)=0時(shí)，即若不考慮負(fù)債存在的情形，結(jié)論與文獻(xiàn)[8]一致.

3 數(shù)值分析

本節(jié)在指數(shù)效用下通過(guò)數(shù)值算例，闡述負(fù)債對(duì)保險(xiǎn)公司最優(yōu)策略影響.

取α=1,v=0.5,η=0.8,r0=0.05,r=0.12,β= 1,σ=1,c=0.08,m=1,T=20，根據(jù)定理1分別比較有無(wú)負(fù)債及不同負(fù)債參數(shù)對(duì)投資及再保險(xiǎn)策略的影響.

①比較有負(fù)債和無(wú)負(fù)債情形策略的不同，取d1=0.03,d2=0.05,從圖1可以看出，在市場(chǎng)最壞的情形，負(fù)債情形下的投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例高于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例，事實(shí)上，如果不考慮負(fù)債，在上述數(shù)據(jù)下，保險(xiǎn)公司將賣空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(π*＜0)還對(duì)承保風(fēng)險(xiǎn).圖2顯示負(fù)債情形下的再保險(xiǎn)水平低于無(wú)負(fù)債情形.

②比較不同的負(fù)債參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)的影響.由圖3知，在市場(chǎng)最壞的情況下，最優(yōu)投資策略是負(fù)債波動(dòng)率d2(t)的增函數(shù)，由于d2(t)表示由于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)引起的負(fù)債波動(dòng)率.當(dāng)其增大時(shí)，保險(xiǎn)公司投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例也相應(yīng)增多；圖4則給出了負(fù)債波動(dòng)率d1(t)對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響，由于d1(t)表示由保險(xiǎn)公司保費(fèi)及索賠的不確定性引起的負(fù)債波動(dòng)率，當(dāng)這部分波動(dòng)增大時(shí)，再保險(xiǎn)水平將減小.

圖1 有負(fù)債與無(wú)負(fù)債情形最優(yōu)投資策略比較

圖2 有負(fù)債與無(wú)負(fù)債情形最優(yōu)再保險(xiǎn)策略比較

圖3 不同負(fù)債對(duì)投資策略的影響

圖4 不同負(fù)債對(duì)再保險(xiǎn)策略的影響

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【編校：許潔】

OptimalPoliciesforInsuranceCompanywithLiabilityunderStochasticDifferentialGames

WANGLixia,LIShuangdong
(DepartmentofGeneralCourses,JianghuaiCollegeofAnhuiUniversity,Hefei,Anhui230031,China)

Usinglinear-quadraticcontroltheory,takingmarketasinsurancecompany'svirtualopponent,azero-sumsto?chasticdifferentialgameproblembetweeninsurerandmarketwithliabilitywasinvestigated.Assumingthattheaimofthe insureristomaximizetheexpectedutilityofterminalwealth,underexponentialutilityandpowerutility,theexpressionof optimalreinsurancestrategies,investmentstrategiesandthebestmarketingstrategiesaswellasvaluefunctionwereob?tained.Finally,anumericalanalysiswasgiventoshowtheimpactofliabilitiesandmarketparametersontheoptimal strategiesunderexponentialutility.

liability;stochasticdifferentialgames;linear-quadraticcontrol;utilityfunction

O225；F840.32

A

1671-5365(2015)12-0064-06

王麗霞，李雙東.隨機(jī)微分博弈下帶有負(fù)債的保險(xiǎn)公司最優(yōu)決策[J].宜賓學(xué)院學(xué)報(bào),2015,15(12):64-69.

WANGLX,LISD.OptimalPoliciesforInsuranceCompanywithLiabilityunderStochasticDifferentialGames[J].Journalof

2015-08-04修回：2015-08-31

安徽省教育廳質(zhì)量工程項(xiàng)目“基于數(shù)學(xué)建模思想的獨(dú)立學(xué)院學(xué)科競(jìng)賽體系的研究”（2013jyxm525）；安徽大學(xué)江淮學(xué)院院級(jí)基金“帶投資的再保險(xiǎn)模型的隨機(jī)微分博弈問(wèn)題研究”（2014KJ0001）

王麗霞（1984-），女，講師，碩士，研究方向?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)精算理論

時(shí)間：2015-08-3116:35

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.z.20150831.1635.001.html