橫向剪切干涉純背景條紋模擬

代金梅，朱進容，2，姚育成，成純富

（1湖北工業大學太陽能高效利用湖北省協同創新中心，湖北 武漢430068；2武漢理工大學材料科學與工程學院，湖北 武漢430070）

橫向剪切干涉儀以平行平晶為分光元件，共光路的設計增強了干涉儀的抗震性，能夠實時顯示。由于其結構簡單、對光學元件要求低，國內外學者采用這種干涉法對溫度場、肥皂泡厚度、天然氣管道泄漏等進行無損檢測［1－4］。用 Zernike多項式表示光學系統像差，橫向剪切干涉儀還能擬合出光學元件表面面形［5］。然而剪切條紋并不直接反映待測波面，即使在大剪切量的情況下，條紋退化為一組類似于全息干涉的條紋，仍包含背景條紋［6］。由此可見，純背景條紋的研究將有助于分析光學系統定位誤差，實現實驗數據的快速處理。

本文根據橫向剪切的成像理論，利用Matlab軟件模擬橫向剪切干涉純背景條紋，分析離焦像差和附加相位差對條紋特征的影響。對比純背景條紋的模擬和實驗條紋，驗證實際光學系統定位存在的誤差，以指導光路的調試。

1 橫向剪切干涉原理

平行光穿過二維軸對稱測試段入射到平行平晶，經平行平晶前后兩表面反射，在水平方向上錯開一定的距離，相遇后形成剪切干涉條紋。若兩波面在x方向錯開距離（剪切量）S，則疊加后干涉波面的相位差

其中，W（x，y）和W（x－s，y）分別為平行平晶迎光面和背光面的待測波面，兩者互為對偶相且信息等價；Δl為平行平晶引入的兩剪切波面的幾何光程差。

理論上，理想的橫向剪切干涉純背景（無待測場）條紋是一片均勻亮場。由于光學元件表面存在缺陷、平行平晶兩表面不嚴格平行等，系統存在球差、像差等光學系統像差，實際觀測到的純背景干涉圖將呈現彎曲互相的平行楔形條紋。根據光學系統的成像理論，初級像差（即三級像差）能很好地描述光學系統的像差。相應地，剪切前后的純背景波面W0（x，y）、W0（x－s，y）以及干涉波面的相位差ΔW0（x，y）分別為:

式中，a1、a2分別為近軸像點離焦像差和離軸像差。

作如下坐標變換

其中，C為附加相位差，與平行平晶的厚度和偏轉角有關。整理式（4）得到

由上式可知，剪切干涉條紋相位分布是X的三次多項式、Y的二次多項式，故條紋在Y方向恒對稱。從純背景干涉圖上提取3條水平線（即Y恒定）上的數據，三次多項式擬合后聯立求解，可得到離焦a1、a2和C。

2 實驗裝置

橫向剪切干涉儀的光路如圖1所示。整個裝置放置在精密光學減震平臺之上。He-Ne激光器連續輸出632.8nm的光波，采用可調衰減器調整光束強度以保護圖像采集系統，90°反射后經小孔光闌濾掉雜散光。短焦距的半球透鏡的擴束鏡和長焦距的凸透鏡構成擴束準直系統，將光束擴展為通光口徑100mm的平行光束。平行平晶前后表面的兩反射波面相遇形成的剪切干涉條紋經焦距200mm的凸透鏡匯聚后由數碼相機捕捉，最后存儲于PC端。實驗采用K9材質的平行平晶，折射率為1.51，直徑100mm，厚度40mm。M1、M2、M3均為全反射鏡面，用來改變光的傳播方向和縮短光路。

圖1 橫向剪切干涉儀的光路示意圖

3 橫向剪切干涉純背景條紋的模擬結果

計算域半徑50mm，純背景條紋輸出為灰度圖，明暗條紋的灰度從256過渡到0，分辨率30pix/mm。K9材質高質量的雙面平行平晶厚度40mm，折射率1.515。計算域外側用黑色填充，條紋不可見一側用灰色填充。

3.1 離焦像差a1的影響

平行平晶偏轉角60°，計算出S＝24.2mm、C＝0.2πrad。調節擴束準直系統中半球透鏡的位置可改變初級球差a1。若令球差a2＝－6.8×10－6π rad/mm4，離焦像差a1（－0.01～0.01πrad/mm2）對純背景條紋的影響如圖2所示。分析圖可知，離焦像差a1對條紋形狀影響很大。隨著a1增大，條紋中心附近出現向外拓展的特殊橢圓輪廓，X方向的不對稱性也越明顯。當a1＝－0.01（a1＜0）時，條紋高度密集。當a1＝0時，橢圓輪廓較明顯。當a1＝0.01時，條紋稀疏，對稱中心兩側出現明暗相反的特殊橢圓輪廓；內部相位梯度無規則變化，外部等間距。

圖2 離焦像差a1在－0.01～0.01內的純背景模擬條紋

3.2 球差a2的影響

平行平晶偏轉角設置60°，S和C的取值同上。令離焦像差a1＝0，討論A＜0時球差a2對純背景條紋的影響，模擬結果如圖3所示。分析圖可知，條紋分布在X方向仍明顯不對稱，對稱中心兩側存在橢圓輪廓。球差a2對條紋的影響很大，從10－5πrad/mm4變為10－6πrad/mm4，僅降低一個數量級，條紋間距劇增。即a2太小，將沒有足夠的背景條紋作為參考；a2太大，條紋密集而難以分辨。因此，實驗時需調試得到合適的a2值。

圖3 不同數量級的球差b3的純背景模擬條紋

3.3 附加相位差C的影響

由于光強表達式中的余弦函數以2π為周期，其他分布都可平移一個周期內的分布來得到。設定離焦像差a1＝2.9×10－2πrad/mm2，球差a2＝－6.8×10－6πrad/mm4，2π內C 對條紋分布特征的影響如圖4所示。討論如下:

1）C＝0πrad時，cos（ΔW0）＝cos（AX3＋AXY2＋ABX），條紋整體呈對稱分布；

2）C＝0.5πrad時，cos（ΔW0）＝cos（AX3＋AXY2＋ABX＋0.5π）＝sin（AX3＋AXY2＋ABX），條紋分布將向右移動1/4周期，條紋在X方向正負半軸上明暗正好相反；

3）C＝πrad時，cos（ΔW0）＝cos（AX3＋AXY2＋ABX＋π）＝－cos（AX3＋AXY2＋ABX），條紋分布將向右移動1/2周期，對稱性與1）相同，只是條紋明暗正好相反；

4）C＝1.5πrad時，cos（ΔW0）＝cos（AX3＋AXY2＋ABX＋1.5π）＝－sin（AX3＋AXY2＋ABX），條紋分布將向右移動2/3周期，對稱性與2）相同，只是條紋明暗分布正好相反；

5）C＝2πrad時，cos（ΔW0）＝cos（AX3＋AXY2＋ABX＋2π）＝cos（AX3＋AXY2＋ABX），相位差分布將向右移動1個周期，條紋與1）完全相同。

圖4 C在0～2πrad周期內的純背景模擬條紋

3.4 與實驗結果對比

取純背景干涉圖上3條水平線上的數據，求解得到離焦a1＝2.88×10－2πrad/mm2、球差a2＝－6.81×10－6πrad/mm4、C＝0.16πrad。將這些系數帶入到橫向大剪切干涉成像的數學描述中，并賦予亮條紋He-Ne激光的顏色，純背景干涉圖的實驗和模擬結果分別如圖5所示。實驗干涉只記錄了部分視野范圍內的干涉條紋，對應虛線寬內的模擬條紋。兩者的條紋分布特征基本一致，在模擬結果的有效干涉區出現了2個并排橢圓輪廓。

圖5 純背景干涉圖的實驗和模擬結果

4 結論

1）純背景條紋的相位分布規律性很強，豎直方向始終對稱，水平方向的分布受附加相位差的影響，對稱性呈周期性變化。

2）當擴束準直透鏡組焦距失配時，平行光將明顯匯聚或發散，像差較大使得條紋密集不易分辨。調試光路，可以獲得適宜的像差系數，輸出易于處理的純背景條紋。

3）借助于Matlab軟件純背景模擬條紋與實驗條紋基本一致。

［1］ Shakher C，Nirala A K.Measurement of temperature using speckle shearing interferometry［J］.Applied Optics，1994，33（11）:2 125-2 127.

［2］ Zhu Jinrong，Dai Jinmei，Cheng Xiaomin，et al.Temperature measurement of a horizontal cylinder in natural convection using lateral shearing interferometer with a large shear amount［J］，Optical Engineering，2015，54（03）:0 341 09-8-0 341 09-8.

［3］ Lv Wei，Zhou Huaichun，Lou Chun，et al.Spatial and temporal film thickness measurement of a soap bubble based on large lateral shearing displacement interferometry［J］.Applied optics，2012，51（36）:8 863-8 872.

［4］ 張學鋒，高玉斌.新式橫向剪切干涉系統對天然氣管道泄漏野外監測的研究［J］.光譜學與光譜分析，2012，32（09）:2 587-2 590.

［5］ 彭愛華，葉紅衛，李新陽.基于解耦差分澤尼克待定系數法的二維橫向剪切波面重建算法［J］.光學學報，2011，31（08）:9-13.

［6］ 朱進容，張金業，陳義萬.水平圓管表面自然對流換熱的數值模擬［J］.湖北工業大學學報，2013，28（01）:1-3，21.