基于時(shí)域卷積的瞬態(tài)響應(yīng)計(jì)算方法及精度分析

曹建華

（中國(guó)人民解放軍92853部隊(duì)，遼寧 興城125106）

數(shù)字信號(hào)處理雖然發(fā)展得比較充分，但是瞬態(tài)沖擊響應(yīng)計(jì)算依然是備受關(guān)注的課題。而工程問(wèn)題中都會(huì)有以下時(shí)域響應(yīng)計(jì)算問(wèn)題:對(duì)于一個(gè)H系統(tǒng)，在時(shí)域作用力f（t）下的時(shí)域響應(yīng)，計(jì)算的收斂性依然是難題。例如:瞬態(tài)沖擊聲輻射計(jì)算，這類(lèi)問(wèn)題就存在計(jì)算收斂的問(wèn)題。因此常常通過(guò)頻域計(jì)算，以及轉(zhuǎn)換到時(shí)域的求解方法。文獻(xiàn)［1］討論了頻域 DFT 以及IDFT［2－3］的計(jì)算步驟:即對(duì)輸入信號(hào)作DFT變換，與系統(tǒng)傳遞函數(shù)在頻域作乘法，然后對(duì)結(jié)果IDFT變換得到瞬態(tài)響應(yīng)。本文將討論另外一種頻域計(jì)算方法，即對(duì)傳遞函數(shù)的IDFT變換結(jié)果，與輸入信號(hào)進(jìn)行時(shí)域卷積獲得瞬態(tài)響應(yīng)，討論在保證計(jì)算精度條件下節(jié)省計(jì)算時(shí)間的方法。

1 卷積計(jì)算和DFT→IDFT分析的對(duì)等性原理推導(dǎo)

假設(shè)傳遞函數(shù)的迪拉克沖擊響應(yīng)為h（t）（即對(duì)傳遞函數(shù)IDFT的結(jié)果），瞬態(tài)響應(yīng)采用DFT和IDFT技術(shù)有:

所以最終有

2 頻域計(jì)算誤差原因和卷積計(jì)算提高精度的可能方法

對(duì)于頻域計(jì)算存在兩個(gè)誤差:頻域截?cái)?，時(shí)域混疊。

2.1 時(shí)域混疊

數(shù)字DFT、IDFT是基于周期信號(hào)的理論，認(rèn)為每一個(gè)小片段是一個(gè)周期，某個(gè)周期的響應(yīng)可以看成信號(hào)前一系列周期輸入的輸出疊加和（圖1）。

圖1 響應(yīng)為一系列沖擊疊加

為了減小計(jì)算誤差，盡管沖擊時(shí)間很短，為了減小疊加效應(yīng)，單個(gè)周期的計(jì)算時(shí)間T應(yīng)該足夠長(zhǎng)，以使時(shí)域疊加效果盡量減弱。由于頻率分辨率Δf＝1

T，因此要求在頻域計(jì)算時(shí)頻率分辨率足夠大。

2.2 頻域截?cái)?/h3>

另外一個(gè)問(wèn)題是頻域截?cái)?，即要求?jì)算頻率足夠高。考慮矩形信號(hào)

采樣見(jiàn)圖2，假設(shè)采樣頻率為fs。

圖2 以fs采樣頻率對(duì)矩形采樣

對(duì)DFT變換只取該頻率級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，當(dāng)展開(kāi)采用更高的采樣率時(shí)，細(xì)線(xiàn)為更高采樣頻率展開(kāi)信號(hào)。盡管在采樣點(diǎn)復(fù)合較好，在更高采樣點(diǎn)與原信號(hào)不復(fù)合，這就是采樣混疊造成的誤差（圖3）。

圖3 采樣混疊的影響

2.3 卷積計(jì)算誤差

DFT→IDFT瞬態(tài)響應(yīng)計(jì)算步驟是對(duì)輸入信號(hào)作DFT變換，與系統(tǒng)傳遞函數(shù)在頻域作乘法，然后對(duì)結(jié)果IDFT變換得到瞬態(tài)響應(yīng)，流程見(jiàn)圖4。

圖4 DFT→IDFT計(jì)算方法流程

采用卷積的計(jì)算為對(duì)傳遞函數(shù)的IDFT變換結(jié)果與輸入信號(hào)進(jìn)行時(shí)域卷積獲得瞬態(tài)響應(yīng)，框圖見(jiàn)圖5。

圖5 卷積方法計(jì)算流程

卷積計(jì)算存在同樣的計(jì)算誤差問(wèn)題，從H（"）獲得h（t）計(jì)算量比較大的工作，在通過(guò)有限個(gè)頻率點(diǎn)的H（"）獲得h（t）時(shí)，提高精度的可能方法在H（"）插值獲得更高的采樣頻率，從而期望減小時(shí)域混疊；而h（t）后在時(shí)域插值就是為了在f（t）采樣率比較高時(shí)，充分利用f（t）的信息以減小誤差，計(jì)算步驟見(jiàn)圖6。

圖6 采用插值法的瞬態(tài)計(jì)算方法

3 算例和驗(yàn)證

圖7所示單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程為

其中m為質(zhì)量，c為粘性阻尼系數(shù)，k為彈簧剛度，f為沖擊力。有振動(dòng)傳遞函數(shù)［4］

圖7 單自由度系統(tǒng)沖擊計(jì)算

3.1 時(shí)域標(biāo)準(zhǔn)解

矩形沖擊信號(hào)解析響應(yīng)為:

取m＝1，c＝1，k＝100，沖擊時(shí)長(zhǎng)t0＝0.5，采用DFT-IDFT計(jì)算時(shí)，數(shù)字計(jì)算頻率取一階系統(tǒng)共振頻率的10倍，時(shí)間長(zhǎng)度取

輸入信號(hào)頻譜見(jiàn)圖8a，傳遞函數(shù)頻譜見(jiàn)圖8b。

圖8 信號(hào)和傳遞函數(shù)頻譜

圖10 傳遞函數(shù)進(jìn)行頻域插值誤差分析

時(shí)域插值可以獲得較好的結(jié)果，誤差對(duì)比見(jiàn)圖11。

3.2 傳遞函數(shù)頻域和時(shí)域插值對(duì)h（t）計(jì)算精度的影響

圖11 IDFT時(shí)域插值與解析解誤差對(duì)比

對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行頻域插值然后IDFT計(jì)算與真實(shí)解析解對(duì)比見(jiàn)圖9。頻域插值計(jì)算精度不高，主要原因是頻域插值時(shí)傳遞函數(shù)存在較大誤差，見(jiàn)圖10。

3.3 整體計(jì)算精度對(duì)比

圖9 傳遞函數(shù)頻域插值后IDFT計(jì)算與h（t）解析解對(duì)比

圖12 采用DFT→IDFT方法和卷積結(jié)果及真實(shí)值對(duì)比，采樣頻率同樣，卷積與DFT→IDFT計(jì)算精度完全相同。

圖12 采用DFT→IDFT方法和卷積和真實(shí)值對(duì)比

圖13 是頻域時(shí)域插值卷積和DFT→IDFT誤差對(duì)比，頻域時(shí)域都插值卷積結(jié)果在后半部分遜于DFT→IDFT計(jì)算結(jié)果。

圖13 頻域時(shí)域插值卷積和DFT→IDFT計(jì)算誤差對(duì)比

圖14 是時(shí)域都插值卷積和DFT→IDFT計(jì)算誤差對(duì)比，可發(fā)現(xiàn)時(shí)域插值光時(shí)域插值除了可以改善初始段計(jì)算精度外，相對(duì)于都插值，尾段計(jì)算精度有所提高，其根本原因是通過(guò)H（"）獲得H′（"）時(shí)插值精度無(wú)法得到保證，因此損壞了計(jì)算精度；由h（t）獲得h′（t）時(shí)，輸入信號(hào)可以獲得更高采樣精度輸入，因此總的計(jì)算精度得到了提高。

圖14 時(shí)域插值卷積和DFT→IDFT計(jì)算誤差對(duì)比

4 結(jié)論

本文研究了采用卷積計(jì)算瞬態(tài)響應(yīng)的方法，討論了頻域插值和時(shí)域插值在有限計(jì)算量時(shí)提高計(jì)算精度的可能性，表明輸入信號(hào)采樣頻率高于傳遞函數(shù)計(jì)算截止頻率時(shí)，對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行時(shí)域插值可以有效提高計(jì)算精度。本文研究結(jié)果可以用于一些純時(shí)域計(jì)算不收斂的問(wèn)題，如:瞬態(tài)邊界元分析等。

［1］ Cao Jianhua，Wang Yingjian，Wu Xianjun.Discussion on transient response analysis based on DSP［C］.IEEE:Proceeding of the 2nd International Conference on Mechanic Automation and Control Engineering.Inner Mongolia，China:IEEE，2011:4 905-4 908，

［2］ 文頓P R.數(shù)據(jù)處理和誤差分析［M］.北京:知識(shí)出版社，1986:190-200.

［3］ 丁玉美，高西全，彭學(xué)愚.數(shù)字信號(hào)處理［M］.西安:西安電子科大出版社，1997:50-80.

［4］ 聞邦椿.機(jī)械振動(dòng)理論及應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2009:1-30.