基于時域卷積的瞬態響應計算方法及精度分析

曹建華

（中國人民解放軍92853部隊，遼寧 興城125106）

數字信號處理雖然發展得比較充分，但是瞬態沖擊響應計算依然是備受關注的課題。而工程問題中都會有以下時域響應計算問題:對于一個H系統，在時域作用力f（t）下的時域響應，計算的收斂性依然是難題。例如:瞬態沖擊聲輻射計算，這類問題就存在計算收斂的問題。因此常常通過頻域計算，以及轉換到時域的求解方法。文獻［1］討論了頻域 DFT 以及IDFT［2－3］的計算步驟:即對輸入信號作DFT變換，與系統傳遞函數在頻域作乘法，然后對結果IDFT變換得到瞬態響應。本文將討論另外一種頻域計算方法，即對傳遞函數的IDFT變換結果，與輸入信號進行時域卷積獲得瞬態響應，討論在保證計算精度條件下節省計算時間的方法。

1 卷積計算和DFT→IDFT分析的對等性原理推導

假設傳遞函數的迪拉克沖擊響應為h（t）（即對傳遞函數IDFT的結果），瞬態響應采用DFT和IDFT技術有:

所以最終有

2 頻域計算誤差原因和卷積計算提高精度的可能方法

對于頻域計算存在兩個誤差:頻域截斷，時域混疊。

2.1 時域混疊

數字DFT、IDFT是基于周期信號的理論，認為每一個小片段是一個周期，某個周期的響應可以看成信號前一系列周期輸入的輸出疊加和（圖1）。

圖1 響應為一系列沖擊疊加

為了減小計算誤差，盡管沖擊時間很短，為了減小疊加效應，單個周期的計算時間T應該足夠長，以使時域疊加效果盡量減弱。由于頻率分辨率Δf＝1

T，因此要求在頻域計算時頻率分辨率足夠大。

2.2 頻域截斷

另外一個問題是頻域截斷，即要求計算頻率足夠高。考慮矩形信號

采樣見圖2，假設采樣頻率為fs。

圖2 以fs采樣頻率對矩形采樣

對DFT變換只取該頻率級數的有限項，當展開采用更高的采樣率時，細線為更高采樣頻率展開信號。盡管在采樣點復合較好，在更高采樣點與原信號不復合，這就是采樣混疊造成的誤差（圖3）。

圖3 采樣混疊的影響

2.3 卷積計算誤差

DFT→IDFT瞬態響應計算步驟是對輸入信號作DFT變換，與系統傳遞函數在頻域作乘法，然后對結果IDFT變換得到瞬態響應，流程見圖4。

圖4 DFT→IDFT計算方法流程

采用卷積的計算為對傳遞函數的IDFT變換結果與輸入信號進行時域卷積獲得瞬態響應，框圖見圖5。

圖5 卷積方法計算流程

卷積計算存在同樣的計算誤差問題，從H（"）獲得h（t）計算量比較大的工作，在通過有限個頻率點的H（"）獲得h（t）時，提高精度的可能方法在H（"）插值獲得更高的采樣頻率，從而期望減小時域混疊；而h（t）后在時域插值就是為了在f（t）采樣率比較高時，充分利用f（t）的信息以減小誤差，計算步驟見圖6。

圖6 采用插值法的瞬態計算方法

3 算例和驗證

圖7所示單自由度系統振動方程為

其中m為質量，c為粘性阻尼系數，k為彈簧剛度，f為沖擊力。有振動傳遞函數［4］

圖7 單自由度系統沖擊計算

3.1 時域標準解

矩形沖擊信號解析響應為:

取m＝1，c＝1，k＝100，沖擊時長t0＝0.5，采用DFT-IDFT計算時，數字計算頻率取一階系統共振頻率的10倍，時間長度取

輸入信號頻譜見圖8a，傳遞函數頻譜見圖8b。

圖8 信號和傳遞函數頻譜

圖10 傳遞函數進行頻域插值誤差分析

時域插值可以獲得較好的結果，誤差對比見圖11。

3.2 傳遞函數頻域和時域插值對h（t）計算精度的影響

圖11 IDFT時域插值與解析解誤差對比

對傳遞函數進行頻域插值然后IDFT計算與真實解析解對比見圖9。頻域插值計算精度不高，主要原因是頻域插值時傳遞函數存在較大誤差，見圖10。

3.3 整體計算精度對比

圖9 傳遞函數頻域插值后IDFT計算與h（t）解析解對比

圖12 采用DFT→IDFT方法和卷積結果及真實值對比，采樣頻率同樣，卷積與DFT→IDFT計算精度完全相同。

圖12 采用DFT→IDFT方法和卷積和真實值對比

圖13 是頻域時域插值卷積和DFT→IDFT誤差對比，頻域時域都插值卷積結果在后半部分遜于DFT→IDFT計算結果。

圖13 頻域時域插值卷積和DFT→IDFT計算誤差對比

圖14 是時域都插值卷積和DFT→IDFT計算誤差對比，可發現時域插值光時域插值除了可以改善初始段計算精度外，相對于都插值，尾段計算精度有所提高，其根本原因是通過H（"）獲得H′（"）時插值精度無法得到保證，因此損壞了計算精度；由h（t）獲得h′（t）時，輸入信號可以獲得更高采樣精度輸入，因此總的計算精度得到了提高。

圖14 時域插值卷積和DFT→IDFT計算誤差對比

4 結論

本文研究了采用卷積計算瞬態響應的方法，討論了頻域插值和時域插值在有限計算量時提高計算精度的可能性，表明輸入信號采樣頻率高于傳遞函數計算截止頻率時，對傳遞函數進行時域插值可以有效提高計算精度。本文研究結果可以用于一些純時域計算不收斂的問題，如:瞬態邊界元分析等。

［1］ Cao Jianhua，Wang Yingjian，Wu Xianjun.Discussion on transient response analysis based on DSP［C］.IEEE:Proceeding of the 2nd International Conference on Mechanic Automation and Control Engineering.Inner Mongolia，China:IEEE，2011:4 905-4 908，

［2］ 文頓P R.數據處理和誤差分析［M］.北京:知識出版社，1986:190-200.

［3］ 丁玉美，高西全，彭學愚.數字信號處理［M］.西安:西安電子科大出版社，1997:50-80.

［4］ 聞邦椿.機械振動理論及應用［M］.北京:高等教育出版社，2009:1-30.