可化為等差數列、等比數列求和問題的解法探究

李代國

（江蘇省南京市第九中學〈東南大學附屬中學〉）

我們前面學習了等差數列、等比數列的求和公式的推導過程，我們試著回答下列問題：

1.學習一個數學公式的基本任務有哪些？

（1）等差數列、等比求和公式內容是什么？公式怎么用？

（2）推導公式的方法怎么用？

2.拿到一個新題目怎么想？

（1）現有的相關公式能否用上？

（2）非等差、等比數列求和能否化為等差、等比數列求和？

（3）已經用過的相關方法能否用上？

分析：數列的分子成等差數列，分母成等比數列，可用錯位相減法求和；

兩式錯位相減得：

問題二：已知a≠0，求數列a，2a2，3a3，…，nan，…前n 項和.

點撥：字母的系數等差，字母項等比，但需要對字母討論.

解：，

當a=1 時，

當a≠1 時，Sn=a+2a2+3a3+…+nan，

小結：采用乘公比，錯位相減，可以得到一組等比數列，求和用公式但必須注意公比是否為1，否則須討論.

方法一：分析：由此數列的通項an=（-1）n（2n-1）；其是等差數列與等比數列的積這一類型的數列求和，故用錯位相減法.

總結：一個數列cnn n可以看成是一個以公差為d 的等差數列（d 不等于零）和一個是公比為q 的等比數列（q 不等于1）的乘積形式，則數列cnn n的前n 項求和的方法可采用做錯位相減法.

方法二：分析：通過觀察可發現此數列具有正負相間，且正數項和負數項分別成等差數列這一特征. 因此可以將正數項和負數項分別進行分組求和.但此數列有多少正數項和負數項呢？還要對項數n 的奇偶性進行討論.

，即Sn=（-1）nn.

總結：我們通過分組轉化成兩個等差數列，然后通過已有的等差數列求和求解。這種方法叫做分組求和法。

方法三：分析：通過觀察可發現此數列具有這樣的特征，即第一項與第二項，第三項與第四項，第五項與第六項，……，第n-1項與第n 項的和都等于2，共多少個2 呢？還要對項數n 進行奇偶性討論.

總結：通過將數列相鄰的兩項并成一項得到一個新的容易求和的數列，這種方法叫做并項求和。

通過對以上問題幾種方法的探討，不難看出，實際上所有與項的序號的奇偶性有關的數列求和問題，通過認真審題，抓住數列的通項，靈活地運用分類討論、轉化和化歸數學思想，就可將其變為熟悉、簡單的等差數列或等比數列來處理，輔助以適當的解題方法技巧，問題就會迎刃而解.