在建模活動(dòng)過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換

李海東

斯托利亞爾認(rèn)為，“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)”[2]，學(xué)生如果能熟練進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，就能提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。教師如果能把數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換有機(jī)融合，課堂教學(xué)就能事半功倍。數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言三種。文字語(yǔ)言是“數(shù)學(xué)化”的自然語(yǔ)言，能準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象及其相互關(guān)系、能充分揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)；符號(hào)語(yǔ)言是思維的高度濃縮，能非常精煉和準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵；圖形語(yǔ)言不但是學(xué)生形象思維的有效載體，而且是學(xué)生形象思維的結(jié)果，還是學(xué)生進(jìn)行抽象思維的工具，能準(zhǔn)確表達(dá)知識(shí)的數(shù)學(xué)特征。雖然它們的表現(xiàn)形式不同，但表示相同數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性一致，彼此之間可以相互轉(zhuǎn)換。現(xiàn)以“平行四邊形面積”教學(xué)為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生在建模活動(dòng)過(guò)程中進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換。

一、 經(jīng)歷模型準(zhǔn)備過(guò)程，把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為文字語(yǔ)言

模型準(zhǔn)備就是教師通過(guò)展示現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)原型，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生從情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，為學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型做好準(zhǔn)備工作。模型準(zhǔn)備能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、喚醒學(xué)生的探究欲望。模型準(zhǔn)備需要根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)：可以由教師直接提出問(wèn)題，也可以由教師通過(guò)講故事的形式引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，還可以由教師出示圖形引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題。學(xué)生在模型準(zhǔn)備過(guò)程中抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往需要進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換：或者是文字語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)換，或者是圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為文字語(yǔ)言。

課始，筆者用課件出示一個(gè)長(zhǎng)方形花壇和一個(gè)平行四邊形花壇圖（圖1）：

讓學(xué)生比較哪個(gè)花壇大些？學(xué)生根據(jù)直覺(jué)無(wú)法判斷，認(rèn)為要根據(jù)它們的面積才能比較。筆者給花壇圖標(biāo)上數(shù)據(jù)后，學(xué)生很快用長(zhǎng)×寬求出長(zhǎng)方形的面積，但不會(huì)求平行四邊形面積。于是，筆者先引導(dǎo)學(xué)生回憶平行四邊形的特征和面積的意義，接著讓學(xué)生表示圖2中平行四邊形的面積，最后引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)圖中3個(gè)數(shù)據(jù)分別表示的意義，認(rèn)識(shí)平行四邊形的底（6厘米）、高（4厘米）以及與底相鄰的邊（圖中5厘米長(zhǎng)的線段），幫助學(xué)生完成模型準(zhǔn)備的過(guò)程。

在模型準(zhǔn)備過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成文字語(yǔ)言，不但能激發(fā)他們的探究興趣，而且能為他們探究新知、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

二、 經(jīng)歷模型驗(yàn)證過(guò)程，把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言

模型驗(yàn)證就是學(xué)生根據(jù)已有認(rèn)知發(fā)展水平和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，結(jié)合自己的觀察和思考提出猜想或假設(shè)，但假設(shè)可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，需要設(shè)計(jì)出一些有效的方法對(duì)學(xué)生提出的假設(shè)進(jìn)行判斷，為后續(xù)研究確定正確的方向。學(xué)生在驗(yàn)證過(guò)程中，需要有目的地進(jìn)行操作、交流或質(zhì)疑等活動(dòng)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不可避免地需要借助語(yǔ)言轉(zhuǎn)換肯定或否定自己的假設(shè)。操作驗(yàn)證就是把假設(shè)的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言。

學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方形和正方形面積公式猜測(cè)圖2中平行四邊形的面積時(shí)，有的學(xué)生認(rèn)為是5×6=30平方厘米，有的學(xué)生認(rèn)為是5×4=20平方厘米，還有的學(xué)生認(rèn)為是6×4=24平方厘米。這三種假設(shè)是否正確呢？學(xué)生經(jīng)過(guò)思考，認(rèn)為同一個(gè)平行四邊形面積不可能有三種不同的結(jié)果。也就是說(shuō)，可能有一種答案正確，也可能三種答案都不對(duì)。怎么驗(yàn)證呢？學(xué)生合作用邊長(zhǎng)1厘米的小正方形進(jìn)行操作：

圖3 圖4

發(fā)現(xiàn)圖3中鋪上5×4=20個(gè)小正方形時(shí)，不能鋪滿整個(gè)平行四邊形，也就是說(shuō)平行四邊形的面積比20平方厘米大，因此5×4=20平方厘米是錯(cuò)誤的；繼續(xù)鋪小正方形，圖4中鋪上7×4=28個(gè)小正方形時(shí)，超出了平行四邊形，也就是說(shuō)平行四邊形的面積小于28平方厘米，因此5×6=30平方厘米是錯(cuò)誤的。剩下的假設(shè)——6×4=24平方厘米是否正確呢？筆者借助課件演示，把圖5轉(zhuǎn)化成圖6，學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積真的是6×4=24平方厘米。

圖5 圖6

用邊長(zhǎng)1厘米的小正方形驗(yàn)證假設(shè)是否正確，就是學(xué)生把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖形語(yǔ)言的過(guò)程，不但直觀，而且具有很強(qiáng)的說(shuō)服力，凸顯了圖形語(yǔ)言的優(yōu)勢(shì)。借助圖形語(yǔ)言，學(xué)生不斷驗(yàn)證猜想、否定猜想，并最終發(fā)現(xiàn)正確的猜想。學(xué)生在驗(yàn)證假設(shè)的過(guò)程中不斷把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言，同時(shí)初步感悟了數(shù)學(xué)模型。

三、 經(jīng)歷模型確立過(guò)程，把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言

數(shù)學(xué)建模的目的不只是為了獲得結(jié)論，更是為了促進(jìn)學(xué)生在確立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中內(nèi)化知識(shí)、升華思想。確立數(shù)學(xué)模型時(shí)，我們要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)踐，結(jié)合所觀察的現(xiàn)象，歸納、概括出模型內(nèi)部因素之間的數(shù)量關(guān)系或具體算法（公式、法則或運(yùn)算律等），以便確立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。數(shù)量關(guān)系或具體算法往往要用字母表示，這就需要學(xué)生把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言。

筆者先出示圖7讓學(xué)生判斷兩個(gè)圖形的面積是否相等，并說(shuō)說(shuō)理由，學(xué)生思考后認(rèn)為把左圖中凸出的小三角形剪開(kāi)、平移后就能拼成右邊的長(zhǎng)方形，因而面積相等；接著筆者出示一個(gè)平行四邊形讓學(xué)生嘗試轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形：有的學(xué)生沿平行四邊形的高剪下一個(gè)三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形；有的學(xué)生沿平行四邊形的高剪下一個(gè)梯形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考為什么要沿著高剪開(kāi)？一共有多少種剪法？為什么？轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形和原來(lái)的平行四邊形有什么關(guān)系？轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與原來(lái)平行四邊形的底和高之間分別有什么關(guān)系？根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式猜一猜如何計(jì)算平行四邊形的面積？學(xué)生獨(dú)立思考后小組交流，很快發(fā)現(xiàn)平行四邊形和轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形之間的關(guān)系，并根據(jù)“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”類(lèi)推出“平行四邊形的面積=底×高”。最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生嘗試用符號(hào)表示平行四邊形的面積公式。學(xué)生嘗試用個(gè)性化符號(hào)表示后，發(fā)現(xiàn)用字母表示最簡(jiǎn)潔，最終歸納出用“s=ah”表示平行四邊形面積的方法。

學(xué)生建構(gòu)平行四邊形面積公式模型的過(guò)程，就是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的過(guò)程：把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，實(shí)現(xiàn)了圖形語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換；歸納概括出平行四邊形的面積=底×高，實(shí)現(xiàn)了圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成文字語(yǔ)言；把文字語(yǔ)言表示的公式用字母表示，實(shí)現(xiàn)了文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言。在不斷轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了具體事物、個(gè)性化符號(hào)表示和“數(shù)學(xué)地表示”的逐步符號(hào)化過(guò)程，不但學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)潔的符號(hào)語(yǔ)言表示平行四邊形面積，而且初步掌握了數(shù)學(xué)建模方法。

四、 經(jīng)歷模型拓展過(guò)程，把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言

根據(jù)具體問(wèn)題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型不是學(xué)生認(rèn)識(shí)的最終目的，我們還要有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，拓展已有的數(shù)學(xué)模型。拓展數(shù)學(xué)模型就是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)變化，促進(jìn)學(xué)生把大腦中已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組和優(yōu)化，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)模型。拓展數(shù)學(xué)模型，不但能幫助學(xué)生鞏固已經(jīng)建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，而且能促使學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。學(xué)生在拓展數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，同樣離不開(kāi)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換。

模型拓展時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生解決下面兩個(gè)問(wèn)題：

1.在方格紙上畫(huà)兩個(gè)形狀不同的平行四邊形，使它們的面積都和圖中長(zhǎng)方形的面積相等。（圖中方格邊長(zhǎng)都是1厘米）

2.先畫(huà)一組平行線，再畫(huà)一組平行線，可能畫(huà)出什么圖形？

練習(xí)第1題時(shí)，學(xué)生嘗試畫(huà)圖后，通過(guò)交流，發(fā)現(xiàn)畫(huà)圖時(shí)只要所畫(huà)平行四邊形的底和高與圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別相等，那么所畫(huà)圖形和它的面積就相等，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)滿足底×高=15平方厘米的平行四邊形都符合要求；練習(xí)第2題時(shí)，有的學(xué)生畫(huà)出了長(zhǎng)方形、有的學(xué)生畫(huà)出了正方形，有的學(xué)生畫(huà)出了平行四邊形。交流后，我出示圖9，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析這些等底等高的圖形的面積相等。在此基礎(chǔ)上，我出示圖10，學(xué)生猜想后再用課件演示圖形平移的過(guò)程（圖11），驗(yàn)證學(xué)生的猜想——面積相等。

學(xué)生畫(huà)平行四邊形的過(guò)程就是長(zhǎng)方形和平行四邊形圖形語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換；學(xué)生畫(huà)2組平行線，是線與面圖形語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換；學(xué)生判斷不規(guī)則圖形和平行四邊形的面積是否相等，是不規(guī)則圖形和規(guī)則圖形之間的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換。這樣借助圖形語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)換，學(xué)生不但豐富了知識(shí)表象，而且拓展了數(shù)學(xué)模型——等底等高的平行四邊形面積相等，還進(jìn)一步內(nèi)化了數(shù)學(xué)模型，初步形成了模型思想，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。

總之，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過(guò)程，不但有助于學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，而且能促進(jìn)學(xué)生合理使用各種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的理解，還能提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，從而提高教學(xué)效率。當(dāng)然，教學(xué)過(guò)程中的文字語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言不是絕對(duì)孤立轉(zhuǎn)換的，有時(shí)是幾種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換，有時(shí)還要借助自然語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換才能達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】