基于Hermite插值的時變信號諧波測量研究

吳超凡，陳隆道

(浙江大學電氣工程學院，浙江杭州310027)

0 引言

準確的諧波分析是對電網進行有效控制和保護的前提，FFT 算法因為能快速地分析諧波參數而在電力系統的數字信號處理技術中被廣泛使用，在同步采樣的前提下，能夠滿足工程上實時測量的要求。但是當信號頻率發生偏移時，應用傳統的FFT 直接對電網信號進行檢測時，將造成一定的誤差。這是因為均勻采樣頻率和信號周期之間不再存在整數倍關系時，所截取的數據長度也不再是嚴格的整數倍信號周期。此時若直接對采樣序列用FFT 算法來分析諧波將會發生比較嚴重的頻譜泄漏現象，頻譜和其他相關電參量的測量結果也隨之存在很大的誤差。此外，還有一種更為惡劣的情況，即待測信號是基波頻率不斷變化的非穩態周期信號，由于信號頻率不僅僅發生了偏移，還處在振蕩之中，這對諧波測量的實時性有很高的要求。以微網為例，隨著化石燃料等常規資源的日漸枯竭以及人們對環境污染問題的進一步關注，環保、高效、靈活的微網成為了電力系統未來的一大發展方向［1-2］。但是當微網處于孤島運行時，因為內部發電和負荷以及儲能元件的不平衡和電力電子器件等非線性元件的大量使用，微網內部的諧波信號往往是實時變化的，具有隨機性、分布性、非平穩性等特點，對其的控制和保護帶來了很大的困難。因此，尋找一種能夠準確測量一般電力網絡信號且適用于微網等時變信號測量的諧波測量方法是很有必要的。

一般來說，當電力系統頻率發生變化時，需要保證采樣頻率和系統頻率的同步。應用于FFT 方法的同步技術大致可以分為兩類—重采樣和插值。對于重采樣法，第一步在于測量電力系統的基頻，然后根據測量結果控制模數轉換器(ADC)來對信號進行重新采樣。為了保證頻率同步，可以應用過零檢測、頻域插值法、線性調制Z 變換、牛頓法、鎖相環(PLL)等技術來防止譜泄漏［3-8］。

當頻率失去同步時，可以應用一些窗函數來減少譜泄漏，譬如Hanning 窗、Hamming 窗、Blackman 窗等。然而，這類技術在諧波分析中通常只能減少計算誤差［9-11］。而參數估計的方法是在非同步情況下的另外一種解決方案，和基于FFT 的方法對比，該方法往往擁有更高的頻率分辨率。

對于另一類應用于同步化的方法—插值法，其原理為先計算出信號的基波頻率進而得到同步化的采樣頻率。然而該頻率并不一定能夠靈活適用于一些低成本的ADC，在這種情況下，采樣數據將基于同步化的理想采樣頻率進行插值重組。在該過程中，要用到一些插值算法，例如牛頓法、多項式法、多次樣條法等［12］。應用插值法時不會發生失去同步的情況，但會引入額外的計算量。

本研究主要討論基于傅里葉變換的諧波計算方法，而非同步采樣信號的同步化是FFT 算法能夠對信號頻譜進行高精度分析的有力保障，通過信號的同步化，可以使得頻率分辨率和信號的諧波分布取得一致，能盡可能地減小頻譜泄漏等問題帶來的誤差。對于重采樣法，需要先測量電力系統的基頻，再根據測量結果對采樣部分進行反饋控制以調整采樣頻率重新進行采樣。但是若待測信號是一個時變信號時，其基波頻率一直處于變化之中，該方法很難實現對基波頻率的實時跟蹤，一旦失去同步，還是會受到譜泄漏等問題的影響。

所以本研究采用插值以重構采樣數據的方法，即通過對采樣序列的插值或自適應算法，實現采樣數據的重構，使得重新得到的數據逼近理想化，再進行參量的運算和分析。這種方法可以適用于一些低成本的ADC，且不會發生失去同步的情況，適用于時變信號的同步化。

本研究將在其基礎上采用Hermite 插值的方法對非同步采樣序列進行同步化處理，并用變頻率信號進行仿真計算以驗證其可行性。

1 非同步數據的重定位

對于非同步數據的同步化，首要的工作應該是確定信號的周期［13］。因為周期信號的數字化處理存在一定的延遲以及電網實際頻率的偏移所產生的非同步，文獻［14］對于不含直流分量的周期信號采取信號過零檢測的方法來確定其周期，一般情況下，信號周期的計算分為中間部分的若干個完整采樣周期和首尾的小數部分，即:

式中:T1—一個信號周期中間的整數個采樣周期部分，可以依據兩個相同特征的過零點之間的采樣點數來計算得到;TP1，TP2—信號始端和尾端的周期小數部分，可以通過對過零點附近的采樣點進行插值來逼近信號在采樣點附近的函數值，然后通過解函數方程來計算得到該小數部分。

一個含有最高諧波次數為30 次的周期信號，在過零點附近用一階線性方程插值計算其周期，誤差在0.009%以內［15］，足以滿足一般工程上的精度需求。

設x1(k)是包含一個完整信號周期的非同步采樣序列，在計算出信號周期T 之后，便可以由T 得到理想的同步采樣周期Tsi，為了后續FFT 的方便，一般將T 除以2 的冪次方。因此，理想同步序列x2(i)中的第i 個同步采樣點在實際采樣序列中的下標為:

式中:INT［］—取整算子，Tsi—理想同步采樣周期，Ts—實際采樣周期，tp1—實際采樣序列和同步采樣序列始端的時間差。在計算得到下標ki后，就能夠根據ki和ki+1 點的實際采樣值來構造插值函數得到同步化處理后的理想序列。

2 Hermite 插值同步化算法

本研究提出一種基于Hermite 算法的插值同步化算法，因為實際電網中的信號波形大致上近似于三角函數，其二階導數大致上也和三角函數一樣呈周期變化。在信號的過零點附近往往其斜率變化率不大，用線性插值便有足夠高的精確度;而在信號的波峰和波谷附近，信號的二階導數在一般情況下也到達極值，在圖像上看，這段信號也擁有較大的曲率，此時若用線性插值算法則不大妥當，會產生很大的誤差，故本研究考慮采取Hermite 插值算法來對信號進行擬合。

已知兩節點三次Hermite 插值公式如下:

在計算得到ki后，由ki和ki+1 點的函數值和一階導數值代入式(3)并化簡后可得構造兩點的Hermite 插值函數如下:

式中:x'1()—x1()的一階導數，可以用插值點前后的采樣值差商運算近似求得:

x'1(ki+1)同理，將式(5)代入式(4)就是對于采樣序列的Hermite 插值同步化公式。再對該算法的誤差進行分析，設同步化的取樣點ti處于實際采樣序列的點tki和點tki+1之間，則在ti點上有理論截斷誤差為:

式中:ξ—tki和tki+1之間的某值，實際上由于tki和tki+1充分接近，以至于在區間內單調，可以用(tki)和中的較大者來代替來得到在

ti點上最大的理論截斷誤差:

值得一提的是，拋物線插值算法的截斷誤差為:

通過對比式(6)和式(8)不難發現，Hermite 插值的截斷誤差比拋物線插值的誤差擁有更高的階數，所以R3較之R2要更小，即在采樣序列采用Hermite 插值可以提高插值的精度。

3 仿真實驗

3.1 固定頻率信號仿真

考慮到電網中的實際信號的諧波成分多為奇次諧波，同時出于方便觀察的目的對諧波幅值進行設定，有一信號如下:

式中:f—電網的基波的實際頻率，取f 為49.5 Hz，49.7 Hz，50 Hz，50.3 Hz，50.5 Hz 作為頻率測試點。在仿真計算時，本研究取采樣頻率為6 400 Hz，為保證選取的信號至少包含一個完整周期，共取256 個采樣點。

本研究通過對該函數進行采樣后得到x1(k)，通過Hermite 插值同步化算法處理后得到x2(i)后再對其進行FFT 變換計算諧波幅值，結果如表1所示。

表1 同步化后的幅值仿真結果

由仿真結果可知，在49.5 Hz ～50.5 Hz 的電網基波范圍內，該同步化算法在小于等于9 次以下的諧波幅值有較高的精度，其相對誤差都在0.08%以內，且伴隨著諧波次數增加其相對誤差并沒有明顯的增加。

可見該算法在處理一般的非時變的頻偏信號時已有足夠高的精度，完全可以適用于一般情況下的電網諧波分析。

3.2 變頻率信號仿真

由于負荷和發電量處于動態的平衡狀態，微網中的實際信號的基頻并不是一成不變的，供需關系的實時變化帶動著基波頻率的變化。除了微網中的諧波信號以外，還存在快速變動的過程信號等非穩態周期信號，其特征即為基波頻率在一定范圍內快速波動，只有單周期的測量結果才有實際意義，在這種前提下，對算法的實時性有了較高的要求，且要求對單個周期的采樣信號即可進行計算?；贔FT 的重構法僅需一個完整采樣周期即可完成數據的二次同步，能夠適用于這種特殊場合。為了更好地對該類信號進行仿真，本研究將構造一個頻率偏移實時變動的信號對分段插值同步算法進行驗證:

式中:f=50 ×［1 +0.01sin(2π ×5t)］。為了便于計算，用一正弦變化的頻率來模擬非穩態周期信號中實時變化的頻率，其變化范圍在49.5 Hz ～50.5 Hz 之間，變化的周期為0.2 s。

在采樣頻率為6 400 Hz，256 個采樣點的前提下對信號進行取樣后，分別用線性插值算法、拋物線插值算法、Hermite 插值算法對其進行同步化并FFT 后結果如表2所示。

表2 變頻信號的仿真結果

4 結果分析

由仿真結果可以看出，當用變頻率信號對3 種不同的插值算法進行驗算時，在3 次諧波上線性插值算法擁有最高的幅值精度，但是在其他次諧波幅值的計算上，其精度明顯不及另外兩種算法。拋物線插值算法在3 次諧波的計算上誤差較大，但是在其他諧波幅值的計算上有較高的精度。Hermite 插值算法在低次諧波幅值的計算上和拋物線插值算法精度大致相近，但是在高次諧波的計算中擁有較拋物線插值算法更高的精度，其9 次諧波幅值的相對誤差僅為0.12%，明顯優于另外兩種算法。

不妨進一步加大頻率的波動范圍以模擬微電網在特殊環境下的非穩態周期信號來測試分段插值算法的性能，在信號不變的前提下，設:

f=50 ×［1 +0.04sin(2π×5t)］

基波頻率的變化范圍在48 Hz ～52 Hz 之間，變化的周期為0.2 s。在采樣頻率為6 400 Hz，256 個采樣點的前提下對信號進行取樣后，用Hermite 插值算法對其進行同步化并FFT 后結果如表3所示。

表3 變頻信號的仿真結果(2)

由表3 結果可見，即使是頻率在48 Hz ～52 Hz 的較大范圍波動的非穩態周期信號，在經過Hermite 插值算法的二次同步化之后，其諧波測量的結果也具有相當的精度，其中相對誤差最大的是9 次諧波，為1.26%，滿足GBT 17626.7—2008 國標要求，在對精度要求不是太高的場合具有一定的應用價值。

5 結束語

本研究提出了一種基于Hermite 插值的時域插值算法用來對非同步采樣序列進行同步化處理，并對固定頻率偏移和變頻率偏移兩種情況下的非同步序列進行了仿真和對比。因為本研究對信號采用了截斷誤差高達四階的兩點Hermite 插值公式進行計算，充分保證了計算精度。同時因為在理論上只需一個完整周期的采樣序列就能進行插值同步化計算，該算法也具備了很高的實時性，可以適用于非穩態周期信號等特殊信號的同步化計算。

仿真結果證明，在基波頻率偏移范圍很大或者基頻偏移連續變化的特殊情況下，該算法依然能保持良好的計算精度，能夠滿足GBT 17626.7—2008 國標要求，是一種有實用價值的非同步取樣序列的同步化算法。

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