基于DELTA機器人的動力學逆解算法設計及應用

徐 恒，李夢姣，陰雷鳴

（1.四川航天職業技術學院 四川 成都 610100；2.廣州數控設備有限公司 廣東 廣州 510165）

閉環的機構結構允許并聯機器人被基座上或附近的驅動部件驅動[1]。相反，串聯機器人通常由沿機構鏈上各個關節驅動。安裝在機構鏈上各個關節的驅動器會對機器人本身產生巨大的負重。然而并聯機器人的連桿通常沒有必要承受驅動器的重量。這使得并聯機器人的連桿重量比串聯機器人的連桿重量要輕許多。因此并聯機器人的輕重量帶來了許多有潛力的價值，并聯機器人的最大的缺點是它的工作空間比串聯機器人要小得多[2]。

1 機構簡介

DELTA機器人由靜平臺（上平臺）、動平臺（下平臺）、3根主動桿、3個平行四邊形從動支鏈組成（結構如圖1所示）。基座平臺的三邊通過3條相同的運動鏈分別連接到運動平臺的三條邊上。每條運動鏈中有一個由4個球鉸與桿件組成的平行四邊形閉環，此閉環再與一個帶轉動關節的驅動臂相串聯，驅動臂的一端固定在靜平臺上，在電動機的驅動下作一定角度的反復擺動。這3條運動鏈決定了運動平臺的運動特性[3]。運動平臺不能繞任何軸線旋轉，但可以在直角坐標空間沿x，y，z 3個方向平移運動，即具有3個自由度。

圖1 DELTA機器人機構圖Fig.1 DELTA robot mechanism map

2 DELTA機器人運動學逆解算法

機器人運動學研究是在連桿幾何約束下的機器人運動。機構學分析在不考慮引起機器人運動的力或力矩的情況下進行。機器人逆運動學問題涉及把已知的機器人輸出連桿的位姿映射到能夠使機器人輸出連桿到達該位姿的輸入關節變量的集[4]。根據DELTA機器人的機械結構，DELTA機器人運動學逆解問題是：已知DELTA機器人的動平臺中心點在基坐標系中的位置，求解DELTA機器人3根主動桿和固定平臺之間的角度[5]。

圖2 DELTA機器人的機械結構示意圖Fig.2 DELTA robot mechanical structure schematic

給定運動平臺中心點P在基座坐標系中的坐標Rxyz，如圖2所示，要求各驅動臂對基座平臺的張角。定義坐標Ruvw系其 W 軸和Z軸重合，U 軸指向點 Ai（i=1，2，3）。由基座坐標系Rxyz到坐標系Ruvw的坐標變換矩陣為

則點P，Ai及Ci在坐標系Ruvw中的坐標為：

點Bi的運動軌跡應當在以Ci為中心，半徑為從動桿m的球面上，于是得：

點Bi的運動軌跡也應當在以Ai為圓心，半徑為n，且位于u-w平面內的一個圓上，則有：

連立求解方程，一般可得到園和球面的兩個交點，其坐標為

3 工作空間分析

工作空間運用空間幾何來描述機器人的性能。機器人正常運行時，機器人末端執行器的坐標系原點能夠到達的所有點的集合構成了機器人的工作空間。機器人的工作空間包括兩個基本問題的求解：機器人的工作空間分析和機器人工作空間的綜合[6]。本文運用解析幾何的方法計算DELTA機器人的工作空間：

圖3 DELTA機器人坐標圖Fig.3 DELTA robot plot

將上式化簡為：aisinθi+bicosθi-ki=0

因此可以得到不等式：

即為：

上面這個不等式即表示一個空間范圍，該空間邊界為Qi（x，y，z）=0 （i=1，2，3）。 以上的等式都是建立在固定坐標系R（，，中，在此定義一個新的旋轉坐標系 T（，），其中：

所移動平臺中點O′在旋轉坐標系T中的位置矢量為：

將空間邊界 Qi（x，y，z）=0 經過簡化后在旋轉坐標系中表達式為：

上面的形式與圓環的標準方程一致，其中：

圓環中心為（Δr，0）T=（Δr cosφi，Δr cosφi，0）R

4 結束語

DELTA機構具有并聯機器人機構的諸多優點，在不少領域有潛在的用途。研究其在大負載情況下的應用，是一個重要的方面。本文提出了一種DELTA型并聯機器人運動學逆解的幾何解法，充分利用DELTA機構的特殊幾何特性及運動約束條件，求解過程簡單、直觀，推導過程的每一步都有明確的幾何意義。

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