基于最優控制的移動機器人軌跡運動研究

向昱丞，柳 波

（1.中國兵器工業第五八研究所 特種電子技術部，四川 綿陽 621000；2.綿陽師范學院 數學與計算機科學學院，四川 綿陽 621000）

0 引言

自主式移動機器人正日益應用到工業、科研項目和其他許多人類不可能直接介入的領域。移動機器人的控制問題與多年來廣泛的實際應用密切相關。近年來已經有大量的關于移動機器人控制的研究工作在開展。

軌跡控制的任務主要是盡量減少移動機器人實際位置，對參考軌跡所指定位置的偏離。簡化的非線性模型作為一種控制方法，僅僅描述了機器人當前運動參數與參考軌跡預定參數的運動學關系，一般的研究方法主要有兩種：一是基于參考軌跡的線性化控制設計，通常使用極點配置調整控制器參數；二是基于反饋線性或非線性控制設計方法。

盡管這些方法具有一定效果，但針對軌跡控制系統的研究，最優控制法的效果更好。一些研究中也提出采用設定參數控制法解決一些優化問題，其跟蹤質量取決于設定的參數，要想得到好的控制效果，其設定的參數必須是優化的。其結果是導致得出的控制律由選取的參數所決定。

本文主要研究了基于最優控制的移動機器人軌跡運動系統的合成。該問題的解決以最優控制和奇異攝動法為基礎。文中對所研究的問題進行了降階處理，并對控制器進行了簡化，最終給出了其控制律的實現。

1 軌跡控制

1.1 移動機器人的數學模型

圖1 顯示了移動機器人在平面中的運動，式（1）為其運動學模型：

圖1 平面上移動機器人的運動Fig.1 Motion of mobile robot on the plane

式中：X，Y 為移動機器人在平面中的當前坐標；V1，V2，V 分別為左右履帶及機器人的線速度；ω—機器人的角速度；φ—向量與軸的夾角。

假設兩個電機完全相同，移動機器人在水平面運動的動力學方程如下[1，2]：

其中m，J 分別為機器人的質量和慣性力矩；n—齒輪比；r—驅動輪半徑；cm—電機的轉矩常數；I1，I2—電機的電樞繞組中的電流；U1，U2—電機的電樞電壓；Rm，L 分別為電機中電樞繞組的電阻和電感；ce—電機電動勢常數。

1.2 移動機器人的運動軌跡控制

假設給定的軌跡如下：pref（t）=（Xref（t），Yref（t），φref（t））。圖2 是對移動機器人軌跡追蹤誤差[3～7]的描述：

對式（3）求微分，我們可以得到參考軌跡下移動機器人追蹤誤差的非線性模型。方程組線性化后得：

其中u1=Vref－V，u2=ωref－ω?，F在的問題是尋求輸入信號u1，u2根據最優控制理論，它們可以通過積分二次型性能指標函數的最小值獲得：

圖2 移動機器人軌跡運動控制Fig.2 Trajectory motion control ofmobile robot

已知控制輸入u1，u2，機器人的期望速度計算：Vreq=Vrefu1，ωreq=ωref－u2。接下來需要將機器人的線速度和角速度穩定在期望值Vreq和ωreq附近，這可以轉化為最優控制問題，如系統運動軌跡的二次型性能指標函數：

2 軌跡控制問題的解

2.1 位置控制環的合成

基于系統（4）、（5）的最優解的位置控制環的設計，可以寫成以下形式：

約束條件為：

為簡化起見，忽略時間依懶性，式（7）、（8）在能控矩陣對（A（t），B）（適用于所有Vref和ωref不為零的情況）下的解[8]為：這里的PK為Riccati 矩陣差分方程的一個對稱正定解，滿足：0。則移動機器人線速度和角速度的期望值為：Vreq=Vrefg11e1－g12e2－g13e3；ωreq=ωref－g21e1－g22e2－g23e3。

2.2 速度控制環的合成

速度控制環合成的任務，我們表述為以下形式：

約束條件為：

如果系統（10）是可控可觀測的，則系統（9）、（10）的最優控制問題有唯一的解[9]：

其中P 為Riccati 矩陣代數方程的一個解，滿足：0=-ATP-PAT+PBTR-1BP-Q。該解的主要缺點是：一方面對Riccati 矩陣方程進行實時求解是很困難的；另一方面要求測量用于評估控制效果的狀態向量的所有組件，這對控制策略（11）的使用帶來更大的限制。因為通常機器人裝備有電機角速度傳感器，但不是電流傳感器。假設我們測得移動機器人電機的角速度ωr1和ωr2，由式（1）容易得到：

可用以下輸出方程對狀態空間方程（10）加以補充：

由于無窮小量ε 和赫爾維茨矩陣A22，式（11）和（15）的解漸進相等[8]。

由系統式（13）有：xs=C1-1y。代入式（11）和（16）得：

式（15）～（17）是移動機器人速度控制次優問題的數學基礎，對衰減問題的解決是必不可少的。在快慢子系統穩定的情況下，區間（0，ε*）內原始閉環系統是穩定的。臨界值ε*是原始閉環系統魯棒性的一個重要指標，ε*值越大，系統魯棒性就越好。

3 軌跡運動控制系統的結構

將控制問題分解成位置控制和速度控制兩個子問題，形成了如圖3 所示的軌跡控制的系統結構。系統主要包括兩個部分：參考模塊和執行模塊。參考模塊位于PC 端，它由軌跡發生器、位置控制環和誤差計算單元組成。執行單元置于移動機器人主板上，包括速度控制環和位置估計單元。

3.1 移動機器人軌跡發生器

用平面內任意點M表示移動機器人，其將沿著參考坐標Xref，Yref形成的參考軌跡行進。M 點的速度可以用以下連續時間函數進行估計：

圖3 移動機器人控制系統結構圖Fig.3 Mobile robot control system structure diagram

由于移動機器人是一個非完整約束系統，因此存在一個如下形式的非完整約束[11]：-VXsinφ+VYcosφ=0。此約束不允許任意設置機器人的角坐標φ，其必然是以下微分方程的一個解[11]

其中bMcosγ 和bMsinγ 為與機器人相關的坐標系統中M 點的常數坐標。對式（18）進行積分，可以得到φref的變化規律。

3.2 移動機器人的位置估計

通過測量電機的角速度ωr1和ωr2，可以對移動機器人的當前位置進行估計。根據式（12），可以得到其線速度和角速度：。根據式（1），由歐拉近似方程可得移動機器人的當前位置：

其中，Ts為采樣周期，下標p 匹配最后一個采樣點的對應值。

4 控制系統的實驗測試

4.1 系統結構及參數

圖4 為所設計的履帶式移動機器人。機器人參數：履帶長l=0.245m，驅動輪半徑r=0.03m，質量m=0.83kg，中心到履帶的距離為d=0.19m。

電機參數：額定電壓UH=7.2V，電樞電阻Rm=100Ω，電樞電感L =0.0123H，齒輪比n=86.8。用兩個正交編碼器測量電機轉速。

4.2 實驗過程及結果

圖4 履帶式移動機器人Fig.4 Tracked mobile robot

作一個圓作為測試軌跡。初始時刻，移動機器人處于點（0，0），軌跡從點（0，0.25）開始移動。諧波信號Xref（t）和Yref（t）頻率的設置為可使得參考軌跡pref（t）形成40 秒一圈。

實驗結果顯示系統具有較好性能。機器人進入參考軌跡持續8 秒，偏差為｜eX｜≤0.22m，｜eY｜≤0.008m，｜eφ｜≤0.05rad，相對軌跡追蹤誤差不超過9%。

5 結論

本文研究了履帶式移動機器人軌跡運動最優控制問題。系統包括了兩個模塊（參考模塊與執行模塊）和兩個回路（位置控制環與速度控制環）。通過對描述追蹤誤差的線性二次型優化問題的求解，實現了軌跡控制回路的合成。其數學模型為移動機器人參考軌跡的跟蹤誤差動態系統的切線線性化，一般情況下，其控制律是一種時變系數的跟蹤誤差反饋。機器人線速度和角速度的時變性決定了系統的非穩定性質。如果線速度和角速度速度恒定不變，系統將變得穩定。

移動機器人的速度（線速度和角速度）控制環的設計也是同樣基于了對線性二次型優化問題的解決。為了簡化此問題，從計算和最優控制律實施的角度出發，使用奇異攝動法得到其漸近逼近。

通過研制的履帶式機器人對軌跡運動控制系統進行實驗驗證。實驗結果表明該控制系統對控制目標具有較好的控制效果。

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