平面要素方向公差數學模型的建立

邱義臻，熊 焰，劉方方

（宿遷學院 機電工程系，江蘇 宿遷 223800）

0 引言

為縮短產品設計周期、降低產品的成本、提高產品的質量和性能，增強市場競爭力與提升市場份額，必須實現CAD/ CAM 有效集成，利用計算機進行公差分析與綜合。目前CAD 軟件系統中，公差信息只能以文本/注解的形式存儲在計算機中，不能利用計算機輔助公差分析與綜合，阻礙了產品設計的自動化，成為CAD/CAM有效集成的瓶頸[1]。為實現計算機輔助公差分析與綜合，必須在計算機中合理而有效表示機械零件（幾何形體）的公差信息。機械零件的公差是控制目標幾何要素在尺寸、形狀、方向與位置偏離理想狀態的程度，用數學表達式（數學模型）表示公差信息中每一個成員的含義，獲得被測要素與基準要素之間的幾何變動與形狀變動的數值關系等，是公差分析、公差設計、公差檢測，實現GAD/CAM 有效集成的基礎。建立平面要素方向公差數學模型，對CAD 系統中包含公差信息的語義作出正確的解釋，并使之具有工程語義，從而在CAD/CAM 集成中發揮重要作用。

1 平面要素的方向公差及方向公差帶

平面要素方向公差是指實際平面要素相對于基準要素的實際方向對理想方向的允許變動量[2]，平面要素方向公差分為平行度、垂直度和傾斜度，在數學表述上，平行度、垂直度和傾斜度可統一看成是被測要素與基準要素的一種角度關系。對于平面要素而言，方向公差有被測平面要素相對于基準平面（面對面），被測平面相對于基準直線（線對線）兩種形式，其方向公差帶是距離為公差值t，且與基準要素間滿足給定角度關系的兩平行平面之間的區域。

2 公差坐標系的建立及平面要素的自由度

圖1 坐標系、平面要素及平面要素的變動Fig.1 Coordinate system，plane feature and the changes of plane feature

公差坐標系是用來確定平面要素自由度方向，表示平面要素相對于公稱位置在方向、位置上的變動情況。如圖1 所示，坐標系應建立在平面要素的公稱位置上，公差坐標系的原點與平面要素的中心重合，Z 軸為平面要素的固有方向，即同向自由度方向（法向），x、y 軸方向為基準約束目標自由度的方向。

機械零件的幾何要素既具有類似剛體自由度特性，又與剛體的自由度不同，幾何要素存在恒定度[3]，即自由度數量總是少于6 個（F=6—n，式中n 是恒定度），所謂恒定度就是幾何要素沿某方向運動（平動或轉動）時不產生新的實體。平面要素具有1 個平移自由度（Tz）和兩個轉動自由度（Rx、Ry）。

3 平面要素基于自由度變動的數學表示

機械零件是由構成其幾何特征的若干點、線、面等幾何要素構成。幾何要素沿平移自由度方向上的位置變動引起尺寸偏差；沿旋轉自由度上的位置變動，引起角度偏差；而微量變動可引起平行度、垂直度和傾斜度等方向偏差的改變[4]，因此，平面要素的變動方程均可以通過其自由度變動表示出來, 因此可以將各自的自由度變動定義為模型的設計變量。

如圖1（a）所示，公稱平面要素的方程為：

如圖1（b）所示，在平面要素3 個自由度Z、Rx、Ry方面分別給定一變動dz、dα、dβ，則其的變動方程為：

寫成平面要素的一般表示形式：

式中：A=dβ，B=dα，C=-1，D=dz

4 平面要素方向公差數學模型

機械零件上平面要素的方向公差是指被測平面要素相對于基準的實際方向對理想方向的允許變動量，因此，建立平面要素方向公差的數學模型，就是用數學的方式來描述和解釋公差信息中成員的含義，一是平面要素公差域的形成與表示；二是變動后平面要素的形成與表示。

4.1 平面要素平行度公差的數學模型

平面要素平行度公差表示機械零件上被測實際平面要素相對于基準要素保持距離的狀況，如圖2 所示，圖2（a）為被測平面要素相對于基準平面（面對面）平行度公差要求，圖2（c）為被測平面要素相對于基準直線（面對線）平行度公差要求，它們的公差區域分別如圖2（b）、（d）所示。

圖2 平面要素的平行度要求及公差區域Fig.2 Parallelism requirements of plane feature and their tolerance zone

對于圖2（a）、圖2（b）所示（被測平面的寬度為l），面對面平行度公差要求，其公差帶為間距等于公差值t 兩平行平面所限定的區域，其位置是浮動的，因此，可以很方便地確定被測平面要素的變動范圍，即得出被測平面要素平行度公差的數學模型為：

被測平面要素的變動范圍：

被測平面要素的約束范圍：

對于圖2（c）、（d）所示（被測平面的寬度為l），面對線平行度公差要求，其公差帶為間距等于公差值t 兩平行平面所限定的區域，其位置是浮動的，同樣的方法，可以很方便的得出被測平面要素平行度公差的數學模型：

被測平面要素的變動范圍：

被測平面要素的約束范圍：

求出基于自由度被測平面要素的變動和約束以后，按照一定的分布規律取值，即可求得機械零件上被測平面要素的變動情況。

4.2 平面要素垂直度公差的數學模型

平面要素垂直度公差表示機械零件上被測實際平面要素相對于基準要素保持90°夾角的狀況，如圖3 所示，圖3（a）為被測平面要素相對于基準直線（面對線）垂直度公差要求，圖3（c）為被測平面要素相對于基準平面（面對面）垂直度公差要求，它們的公差區域分別如圖2（b）、（d）所示。

圖3 平面要素的垂直度要求及公差區域Fig.3 Vertical requirements of plane feature and their tolerance zone

對于圖3（a）、（b）所示（被測平面的直徑為d），面對線垂直度公差要求，其公差帶為間距等于公差值t 兩平行平面所限定的區域，其位置是浮動的，由于公差區域相同，根據上節相同的方法，得出被測平面要素垂直度公差的數學模型為：

被測平面要素的變動范圍：

被測平面要素的約束范圍：

對于圖3（c）、（d）所示（被測平面的寬度為l），面對線垂直度公差要求，其公差帶為間距等于公差值t 兩平行平面所限定的區域，其位置是浮動的，由于公差區域相同，根據上節相同的方法，得出被測平面要素垂直度公差的數學模型為：被測平面要素的變動范圍：

被測平面要素的約束范圍：

4.3 平面要素傾斜度公差的數學模型

平面要素傾斜度度公差表示機械零件上被測實際平面要素，相對于基準要素任意給定理想角度的正確狀況，如圖4 所示，圖4（a）為被測平面要素相對于基準平面（面對面）傾斜度公差要求，其公差區域分別如圖4（b）所示。

圖4 平面要素的傾斜度要求及公差區域Fig.4 Slope requirements of plane feature and their tolerance zone

由圖4 可知，由于被作用對象的平面與基準平面之間存在一定的角度關系，因此被作用平面的實際變動范圍變小，即被作用平面的實際變動范圍為變為tsinα。因此，可以依據上節相同的方法，推導出傾斜度公差的變動數學模型，這里不再贅述。

5 結論

公差信息是CAD/ CAM 集成的必要信息之一，在現行國家標準中采用圖例及文字說明的形式來定義公差，不適于計算機的表達、處理以及在各個階段的數據傳遞。在分析平面要素的方向公差及方向公差帶的基礎，以自由度變動為模型參數，系統地研究了被測平面要素的平行度、垂直度、傾斜度等公差數學模型。由此建立的數學模型完整、準確地表示出了平面要素方向公差的工程語義，便于公差的計算機處理，有利于CAD/ CAM有效集成、自動檢測與評定技術的發展。

[1]張馬彪，葉曉平，劉玉生，等. 基于自由度變動的直線尺寸公差數學模型[J].工程設計學報，2009，6.

[2]甘永立.幾何量公差與檢測[M].上海：上海科學技術出版社，2010.

[3]吳玉光，張根源. 基于幾何要素控制點變動的公差數學模型[J].機械工程學報，2013，3.

[4]方東陽，張琳娜. 基于自由度變動的定向公差計算方法分析[J].機床與液壓，2013，1.