尺規作圖：2015年中考強勢歸來

儲秀梅

2015年是執行國家《義務教育數學課程標準（2011年版）》的首次中考，各地嚴格落實“課標”對尺規作圖的要求，出現了很多尺規作圖考題，特別是以首都北京為首的中考數學卷更是在關鍵位置設計把關題，請看：

例1 （2015年北京，填空題把關題）閱讀下面材料：

在數學課上，老師提出如下問題：

尺規作圖：作一條線段的垂直平分線.

已知：線段AB.

小蕓的作法如下：

如圖，

（1） 分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點；

（2） 作直線CD.

老師說：“小蕓的作法正確.”

請回答：小蕓的作圖依據是_________

_________________.

【講解】本題主要考查尺規作圖的依據.由作圖過程可知點C和點D都在線段AB的垂直平分線上，而已知直線上的兩個點，這條直線就唯一被確定了.故答案為“到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上；兩點確定一條直線”.

【點評】這里使用了學生作圖的步驟和示意圖，要求回答作圖依據，體現了數學追求理性精神的需要，不只滿足于會操作，而要追問每一步操作背后的依據，是一道很有數學味的考題，值得同學們學習.

不僅北京卷如此，再看一道新考題：

例2 （2015·浙江嘉興）數學活動課上，四位同學圍繞作圖問題：“如圖，已知直線l和l外一點P，用直尺和圓規作直線PQ，使PQ⊥l于點Q.”分別作出了下列四個圖形，其中作法錯誤的是（ ）.

【講解】選項A，根據作法無法判定PQ⊥l；選項B，以P為圓心、大于P到直線l的距離的長為半徑畫弧，交直線l于兩點，再以兩點為圓心，大于它們距離一半的長為半徑畫弧，得出其交點，進而作出判斷；選項C，根據直徑所對的圓周角等于90°作出判斷；選項D，根據全等三角形的判定和性質即可作出判斷.故選A.

【點評】此題主要考查了過直線外以及過直線上一點作已知直線的垂線，熟練掌握基本作圖方法是解題關鍵.

最后，我們再提供一道與角平分線相關的練習，幫助同學們鞏固.

小試牛刀

數學課上，探討角平分線的作法時，李老師用直尺和圓規作角平分線，方法如下：

作法：①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD=OE.

②分別以D、E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內交于點C.

③作射線OC，則OC就是∠AOB的平分線.

小聰只帶了直角三角板，他發現利用三角板也可以作角平分線，方法如下：

步驟：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分別截取OM、ON，使OM=ON.

②分別過M、N作OM、ON的垂線，交于點P.

③作射線OP，則OP為∠AOB的平分線.

小穎的身邊只有刻度尺，經過嘗試，她發現利用刻度尺也可以作角平分線.

根據以上情境，解決下列問題：

①李老師用尺規作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是_________.

②小聰的作法正確嗎？請說明理由.

③請你幫小穎設計用刻度尺作角平分線的方法.（要求：作出圖形，寫出作圖步驟，不予證明）

【答案】（1） 李老師用尺規作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法SSS，故答案為SSS.

（2）解：小聰的作法正確.

理由：∵PM⊥OM， PN⊥ON，

∴∠OMP=∠ONP=90°，

在Rt△OMP和Rt△ONP中，

∵OP=OP，OM=ON，

∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），

∴∠MOP=∠NOP，

∴OP平分∠AOB.

（3） 解：如下圖所示.

步驟：①利用刻度尺在OA、OB上分別截取OG=OH.

②連接GH，利用刻度尺作出GH的中點Q.

③作射線OQ，則OQ為∠AOB的平分線.

（作者單位：江蘇省海安縣李堡鎮初級中學）