尺規作圖的三大難題

顧志勇

古希臘人用尺規作圖，主要目的在于訓練智力，培養邏輯思維能力，所以對作圖的工具有嚴格的限制.他們規定作圖只能用直尺和圓規，而他們所謂的直尺是沒有刻度的.正是在這種嚴格的限制下，產生了種種難題.

相傳德利安人為了擺脫某種瘟疫，遵照神諭，必須把阿波羅的立方體祭壇的體積擴大一倍.后來，這個問題提到柏拉圖那里，柏拉圖又把它交給了幾何學家.這就是著名的倍立方問題.除倍立方問題外，還有三等分任意角、化圓為方（作一正方形，使其面積等于給定的圓面積）等問題.

在數學史中，很難找到像這樣長期被人關注的問題.兩千多年以來，無數人的聰明才智傾注于這三個問題而毫無結果.但對這三個問題的深入探索，促進了希臘幾何學的發展，引出了大量的發現.如圓錐曲線、許多二次和三次曲線以及幾種超越曲線的發現等；后來又有關于有理數域、代數數、超越數、群論和方程論若干部分的發展.直到19世紀，即距第一次提出這三個問題兩千年之后，這三個問題才被證實在所給的條件下是不可能解決的.

現在還有不少人創造了各種各樣的輔助工具，用來解決這些尺規作圖無法解決的問題.下面的工具就可以用來解決三等分任意角的問題（這樣的作圖就相當于用量角器三等分任意角，已不屬于尺規作圖范疇）.你能說出其中的道理嗎？

（作者單位：江蘇省海安縣城南實驗中學）