滲透思想方法 提升思維品質

朱悅

“知識的掌握也許只能受益一時，而思想的形成、方法的掌握卻將受益終身”，這句話耐人尋味，這就要求我們在學習過程中更好地把數學知識的理解、方法的掌握、思想的形成融為一體.而在這之中累積數學思想方法、提升思維品質顯得尤為關鍵.

一、 分類討論

分類討論思想是對事物分情況加以討論，實質是將整體問題化為部分問題來解決，化成部分問題后，相當于增加了題設條件.

例1 （1） 等腰三角形的一個角是30°，求它的另外兩個角的度數.

（2） 等腰三角形的兩邊為4厘米和7厘米，求它的周長.

【分析】（1） 已知條件中的一角可以分為頂角或是底角兩種情況；（2） 條件中的兩邊一定有一邊是腰，一邊是底，那到底哪邊是腰，題目中沒有說明，所以都有可能，分成兩種情況討論.

解：（1） 當30°是頂角時，另兩角分別為75°、75°；當30°是底角時，另兩角分別為30°、120°.

（2） 當腰是4厘米時，則底是7厘米，三邊分別為4、4、7，此時能形成三角形，周長為15厘米；當底是4厘米時，則腰是7厘米，三邊分別為4、7、7，此時能形成三角形，周長為18厘米.

【點評】因為等腰三角形的三個角有頂角、底角之分，三條邊有底邊、腰之分，所以在求解等腰三角形邊角問題時常需分類討論.

二、 方程思想方法

許多幾何問題從表面上看與方程沒有多少直接聯系，但是如果認真分析問題的數量關系，通過建立方程，就可以得到問題的解.

例2 如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求∠A的度數.

【分析】在這個題目中，一個角的度數都不知道，那怎樣才能把邊的已知條件轉化為角呢？通過等邊對等角，就可以知道很多角有相等關系，得到了角的關系后，利用三角形內角和180°的隱含條件構造方程，從而求出答案.

解：∵BD=AD，∴∠A=∠ABD.

∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A.

∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2∠A.

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠A.

∵∠ABC+∠C+∠A=180°，

∴2∠A+2∠A+∠A=180°.

∴5∠A=180°，即∠A=36°.

【點評】本題利用邊角之間的轉化、外角、內角和把圖中的角聯系起來，在三角形中，要解決角度有關的問題時，我們常常構造方程.

三、 整體思想

在解與三角形有關的題目時，有些問題直接求解，比較繁瑣，甚至無法解決，而從全局著眼，整體思考，會使問題化繁為簡，化難為易，迅速獲解.

例3 如圖2，在△ABC中，∠BAC=110°，DE、FG分別垂直平分AB、AC，垂足分別為E、G，求∠DAF的度數.

【分析】若能求出∠BAD、∠CAF的度數，則∠DAF的度數立即可求得；由已知條件，無法直接得到它們的度數，但可以求得∠B+∠C=70°，再利用垂直平分線、等邊對等角可得∠BAD+∠CAF的度數，這樣∠DAF的度數就可求出.

解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

且∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°.

∵DE、FG分別垂直平分AB、AC，

∴AD=BD，AF=CF.

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAF，

∴∠BAD+∠CAF=∠B+∠C=70°.

∵∠BAD+∠CAF+∠DAF=110°，

∴∠DAF=110°-（∠BAD+∠CAF）=40°.

【點評】當題目中無法求出每個角的度數時，我們往往采用“整體”來轉化要解決的問題，在運用整體思想解決問題時要注意等價性.

四、 軸對稱變換思想

軸對稱變換是我們認識的一種基本變換，通過軸對稱變換改變圖形的位置，卻不改變圖形的形狀和大小，從軸對稱變換的角度去思考問題，有助于我們對幾何圖形的動態分析，從而更好地理解圖形的全等，進而理解線段、角之間的關系.

例4 （1） 如圖①，在直線MN上作一點P，使它到直線MN同側的兩點A、B的距離之和最短.

（2） 圖②，∠AOB=30°，P是∠AOB內一點，PO=10，M、N分別是OA、OB上的動點，求△PMN周長的最小值.

【分析】軸對稱變換在路徑最短問題上經常運用，要解決題（1），作點A關于MN的對稱點A′，連接A′B交MN于點P，則PA+PB=A′B的值最小；題（2）中利用兩次軸對稱變換，作出P關于OA的對稱點P′，P關于OB的對稱點P″，將PM+PN+MN轉化為P′M+P″N+MN，即三條線段在一直線上時最短；再利用軸對稱的特性，得等邊△P′OP″，從而求解.

解：（1）

即點P就是所求作的點.

（2）

∴△PMN周長=PM+PN+MN

=P′M+P″N+MN

=P′P″=PO=10.

【點評】利用軸對稱變換解決數學問題中的路徑最短問題，是通過軸對稱變換將不在同一直線上的不同線段，巧妙構造到同一直線上，利用“兩點之間線段最短”求解.

（作者單位：江蘇省常熟市第一中學）