從“將軍飲馬問題”到許瓦茲三角形

陶建石

許瓦茲是柏林大學的著名數學家，他給后人留下一道極著名而又有意義的問題，后人稱之為：許瓦茲三角形問題.問題如下：在已知銳角三角形ABC中求作一個內接三角形（即頂點分別在△ABC三邊上的三角形），使所作的三角形的周長最短.

【活動課題】從將軍飲馬問題到許瓦茲三角形.

【活動準備】三角板等作圖工具，幾何畫板軟件.

【活動目的】借助幾何畫板，探索出許瓦茲三角形的結論，感受軸對稱的魅力，體驗探究數學問題的快樂.

活動一：探究“將軍飲馬問題”

唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”我們可以把它抽象成一個有趣的數學問題.如圖1所示，將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河旁邊的C點飲馬后再到B點宿營.請問：怎樣走才能使總路程最短？

【設計意圖】通過自己的實際操作、教師幾何畫板的演示，學生探究出問題的解決方法，積累解決“最短問題”的經驗，為后續的探究活動作鋪墊.

活動二：“將軍飲馬問題”的拓展

如圖2，P為馬廄，牧馬人某一天從馬廄牽出馬，先到草地邊OA的某處牧馬，再到河邊OB某處飲馬，然后回到馬廄.請你幫助他確定這一天的最短路線.

【設計意圖】在原有經驗的基礎上，學生再次經歷“分析—探索—解決—反思”的過程，利用軸對稱設計最短途的方案，并可得到一個基本數學模型：在銳角∠AOB內部，有一定點P，點P′和P″分別是點P關于OA、OB的對稱點.連接P′P″，分別交OA、OB于點M、N，此時PM+MN+NP最短.

活動三：對“將軍飲馬問題”的實驗探究

當點P為銳角∠ABC內一動點時，PM+MN+NP與哪些量有關呢？其大小由哪些量決定？學生猜想結論可能與點P到角兩邊的距離、點P到角頂點的距離、角的大小等有關，師生利用幾何畫板作圖（如圖3），采用“變量控制法”分類測量相關數據并填入設計好的表格.設PB=r，以B為圓心，BP長為半徑作圓，分別交BA、BC于D、E.

表1 r不變，∠ABC不變，

點P在弧DPE上運動

表2：r變化，∠ABC不變

表3：r不變，∠ABC變化

【設計意圖】通過理性分析和大膽猜想，結合實驗目的，設計相應的實驗方案，然后進行數據的分析、加工，得出結論.

結論：（1） 當r為定值，∠ABC為銳角時，隨著角度的增加，PM+MN+NP變大.

（2） 當銳角∠ABC為定值時，隨著r的增加，PM+MN+NP變大.

活動四：許瓦茲三角形問題的探究

在已知銳角三角形 ABC中求作一個內接三角形 （即頂點分別在△ABC三邊上的三角形），使所作的三角形的周長最短.

學生結合剛才的數學模型及結論進行邏輯推理，可猜想出結論：如圖4，當內接三角形是△ABC的三條高的垂足所構成的三角形時，周長最短.

【設計意圖】對于解決“許瓦茲三角形”這個著名的幾何問題，學生是充滿求知欲的.八年級學生已具有一定的探究經驗和基礎，教師適當引導，學生可猜想出問題的答案.在這次探究活動中，學生感受到了軸對稱知識的魅力，體驗到了探究問題的快樂.

教師小結：許瓦茲（H.A.Schwarz）三角形問題是一個著名的極值問題，本次活動中，在“將軍飲馬問題”的基礎上，我們經歷了畫圖、列表、測量、分析、推理得出結論的過程，探究出了許瓦茲三角形的答案.結合本節課的探究與思考，將你的收獲或疑惑寫一篇小文章.

（作者單位：江蘇省常熟市外國語初級中學）