基于泰勒展開式的雙二極管模型顯示表達

楊桂紅，倫淑嫻

（1.渤海大學 數理學院，遼寧 錦州 121013；2.渤海大學 新能源學院，遼寧 錦州 121013）

目前，太陽能電池主要有兩種模型，即單二極管模型和雙二極管模型[1]。這兩種模型是關于電流電壓特性的數學描述，是隱式超越方程。為了獲得不同電壓對應的電流值，通常采用數值方法。

然而，即使有相對好的初始猜值，這些數值方法往往難以收斂。因此，在實際的光伏發電系統設計與運行的應用中，設計工程師需要一個簡單、快速、有效的太陽能電池顯式模型。通常，太陽能電池的顯式解析表達方法根據逼近的準確性可以被分為兩類。一類是以Lambert W函數為基礎的準確的顯式表達[2]，但是Lambert W函數方法需要復雜的計算程序以及較長的計算時間；另一類是以初等函數為基礎的近似的顯式表達[3]。

眾所周知，雙二極管模型比單二極管模型準確，尤其在低光強條件下[4]。因此，文中提出一個基于泰勒級數展開式的顯式雙二極管模型。而且，利用制造商提供的標準條件（SRC）下的關鍵電氣參數，建立了該顯式模型的兩個新的參數提取模型。為了驗證提出的顯式模型的有效性，本文測試了不同光強、溫度條件下不同材料的硅太陽能組件。

1 雙二極管太陽能電池模型

雙二極管太陽能電池等效電路由一個光生成電流源，兩個并聯二極管，一個并聯電阻和一個串聯電阻構成。如圖1所示。

根據圖1，太陽能電池雙二極管模型的I-V特性方程可以寫成：

其中，I，V分別是太陽能電池的輸出電流和電壓，IL是光電流密度，Io1，Io2分別是兩個二極管反向飽和電流，Rsh是并聯電阻，Rs是串聯電阻，a1，a2分別是兩個二極管的理想因子參數。這里，，其中，n,n分別是兩個二12極管的理想因子，Ns是串聯電池的數目，q是電子電荷（1.602 176 46×10-19C），k 是玻爾茲曼常數（1.380 650 3×10-23J/K），T是電池溫度（K）。

圖1 太陽能電池雙二極管電路模型圖Fig.1 The two-diode model of solar cells

2 基于泰勒展開的雙二極管模型顯式表達

式(1)中的指數函數可以采用泰勒級數近似，令x=IRs，即

將式(2)，式(3)代入式(1)中，得到

式(4)可以被重新寫成：

利用盛金公式[5]，令：

A=b2-3ac，B=bc-9ad，C=c2-3bd，根據式(1)和式(4),得到△=B2-4AC＞0，方程(5)的解為：

因此，電流I的逼近值為：

因此，式(7)是雙二極管模型的顯式解，根據式(7)可以直接計算太陽能電池的電流值。

為得到（7）中7個電池參數值，本文提出兩個基于泰勒展開式的雙二極管參數提取模型，這兩個新的參數提取模型是基本泰勒展開模型和修正泰勒展開模型。

1)基本泰勒展開模型

根據短路電流在 SRC 下的定義 V=0，I=Isc，ref，因此，式(4)可寫成：

根據開路電壓在 SRC 下的定義 I=0，V=Ioc，ref，因此，式(4)可寫成：

和

其中

由于4個方程式(8)～(11)不能求解7個未知電池參數，因此利用開路電壓溫度系數βVoc：

其中，Tref=298 K，Tc=Tref+10 K，βVoc，Te表示溫度為 Tc時的開路電壓溫度系數。通常βVoc由制造商提供，因此能得到βVoc，Te的值。根據式(1)和開路電壓定義，得到下面的表達式：

在式(13)中，需要求解，a1，Tc，a2，Tc，IL，Tc，Io1，Tc，Io2，Tc，Rsh，Tc。類似文獻[6]中的單二極管五參數模型，提出在不同光強和溫度下的，a1，a2，IL，Io1，Io2，Rsh，Rs模型：

其中 Sref=1 000 W/m2，αIsc是短路電流溫度系數，Eg是材料的能帶間隙，可以表達為[6]：

其中，對于硅電池 Eg，ref=1.121 eV。

通過增加式(13)得到5個方程求解電池參數。文獻[7]中提到，雙二極管模型的理想因子n1和n2滿足n1+n2≥2.2，由于本文的Ns少于72,因此，假設下面的表達式成立：

現在存在6個方程需求解7個未知的電池參數，因此，需要再增加一個方程。本文令Io2，ref=Io2，ref,guess作為已知參數值，這里Io2，ref,guess是初始猜值，表達式如下：

因此利用 6 個方程，即式（8），式（9），式（10），式（11），式（13），式（22）來獲得其他6個電池參數。綜上所述，通過使用式（14）～（21）能夠得到不同光強、溫度條件下的電池參數。根據式（8）～（11），去掉下角標“ref”時，能夠得到不同光強、溫度條件下的 Isc，Voc，Vmp和 Imp。

上面的方法被稱為基本泰勒展開模型（BTEM），通過使用BTEM可以得到電池參數。因此，當電池參數值代入方程（4）才真正的得到一個顯式的I-V特性模型。

2)修正泰勒展開模型

通常I-V特性曲線用來估計太陽能電池的最大功率，盡管BTEM能夠很好地表達太陽能電池的I-V特性曲線，但是在最大功率點處存在較大的模型誤差。為了減小最大功率點處的誤差，式(10)，式(11)，被修正為：

其中

上面的方法被稱為修正泰勒展開模型（MTEM）。由BTEM到 MTEM 的轉變只是把式(10)，式(11)變成式(24)，式(25)，因此MTEM與BTEM的計算步驟相同。

3 仿真及結果分析

本文使用文獻[7]中的實驗數據，選擇KC200GT和SQ150PC硅太陽能組件驗證提出的模型的有效性,兩種組件在SRC下的電氣參數值由制造商提供，見表1。通過比較本文提出的BTEM和MTEM，文獻[7]中的雙二極管模型，文獻[8]中的雙二極管模型，文獻[3]中的單二極管模型，驗證本文提出的兩個模型的準確性。定義均方根誤差（RMSE）為：

其中Ii是測試模型的電流，IEi是測量數據的電流，n是測量數據的個數。本文測試KC200GT組件的I-V特性見圖2和圖3。測試SQ150PC組件的I-V特性見圖4和圖5。另外，分別計算KC200GT組件和SQ150PC組件的RMSEs，見表2。在SRC下，文中提出的BTEM，MTEM和文獻[3]中模型計算不同組件的電池參數值,見表3。

表1 標準條件下由制造商數據提供太陽能組件電氣參數值Tab.1 Electrical characteristics of solar modules by manufacturer's datasheet at SRC

由圖2至圖5，通過計算絕對誤差可知，BTEM，MTEM，文獻[7]模型和文獻[3]模型的KC200GT組件的最大絕對誤差在光強S=1 000 W/m2，溫度T=25℃時分別為0.657 5，0.533 4，0.665 8，0.533 4，文獻[8]模型的 KC200GT 組件的最大絕對誤差在光強S=1 000 W/m2，溫度T=75℃時為1.342 3。以上5個模型的SQ150PC組件的最大絕對誤差在光強S=1 000 W/m2，溫度 T=60 ℃時分 別為 0.527 0，0.456 2，0.515 3，0.456 4，0.485 1。另外，從表3可以看出MTEM的RMSEs比其他4個模型相對小些。因此，本文提出的兩個模型比其他模型更能夠準確地逼近I-V特性。

4 結論

本文基于泰勒展開模型獲得新的太陽能電池雙二極管模

型的顯式解析表達[9]。本文呈現的模型能夠根據制造商提供的數據直接計算不同電壓的電流值。因此，在實際的光伏發電系統設計與運行的應用中，本文提出的模型能夠通過直接使用制造商數據快速、準確地估計太陽能組件性能。

表2 不同模型的均方根誤差Tab.2 RMSEs of the different models for PV modules

表3 根據制造商數據獲得的不同模型電池參數值Tab.3 Cell parameter values of different models obtained by using manufacturer's datasheet

圖2 KC200GT溫度為25℃時I-V圖Fig.2 I-V for KC200GT at T=25℃

圖3 KC200GT光強為1000W/㎡時I-V圖Fig.3 I-V for KC200GT at S=1000W/㎡

圖4 SQ150PC溫度為25℃時I-V圖Fig.4 I-V for SQ150PC at T=25℃

圖5 SQ150PC光強為1000W/㎡時I-V圖Fig.5 I-V for SQ150PC at S=1000W/㎡

[1]Cheknane A,Hilal H S,Djeffal F,et al.An equivalent circuit approach to organic solar cell modeling[J].Microelectronics Journal,2008(39):1173-1180.

[2]Romero B,Del POZO G,ARREDONDO B.Exact analytical solution of a two diode circuit model for organic solar cells showing S-shape using Lambert W-functions[J].Solar Energy,2012(86):3026-3029.

[3]LUN Shu-xian,DU Cun-jiao,GUO Ting-ting,et al.A new explicit I-V model of a solar cell based on Taylor's series expansion[J].Solar Energy,2013(94):221-232.

[4]Kurobe K,Matsunami H.New two-diode model for detailed analysis of multicrystalline silicon solar cells[J].Applied Physics,2005(44):8314-8321.

[5]范盛金.一元三次方程的新求根公式與新判別法[J].海南師范學院學報,1989(2):91-98.

[6]DE SOTO W,Klein S A,Beckman W A.Improvement and validation of a model for photovoltaic array performance[J].Solar Energy,2006,80(1):78-88.

[7]Ishaque K,Salam Z,Taheri H.Simple,fast and accurate two diode model for photovoltaic modules[J].Solar Energy Materials,2011(95):586-594.

[8]Hejri M,Mokhtari H,Azizian M R,et al.On the parameter extraction of a five-parameter double-diode model of photovoltaic cells and modules[J].IEEE Journal of Photovoltaics,2014(4):915-923.

[9]張相華，彭國良，杜太焦，等.一種通用的含熱阻溫度場計算方法[J].現代應用物理，2015（1）：60-65.