找準生長點，學程重生成
——以“一元二次方程解法（第2課時）”教學為例

☉江蘇省海安縣李堡初級中學 朱國生

找準生長點，學程重生成
——以“一元二次方程解法（第2課時）”教學為例

☉江蘇省海安縣李堡初級中學 朱國生

近讀初中數學教學研究專業期刊，特別是《中學數學》（下）近一段時間來發表了很多研究專家教師李庾南老師數學教學思想的案例文章，這對我們一線教師來說顯得非常實用，而且筆者所在學校又是“李庾南實驗學校”，近兩年全校上下正在積極踐行李庾南老師的“自學·議論·引導教學論”的教學思想，這也激發筆者認真思考日常教學中如何體現李老師的教學思想.本文以近期筆者開設的一節教研課“一元二次方程的解法”為例，闡釋我們對李老師教學思想的理解和實踐.

一、教材、學情與目標設定

1.教材分析

人教版九年級上冊第21章“一元二次方程”的第2節是解一元二次方程配方法第2課時，配方法是解一元二次方程的基本方法，它是在剛學過的直接開平方法的基礎上推導出來的，它是后面公式法解一元二次方程的基礎，也是第22章二次函數知識的基礎．所以，一元二次方程的解法與應用是初中數學的主要內容之一．從知識的發展來講，學生通過一元二次方程的學習，可以對前面已學過的知識加以復習鞏固．對學生來講，本節的一些常用解題方法、計算技巧及數學思想，在本章教材中有比較好的體現和應用．要在今后用一元二次方程的知識解決實際應用問題，那首先就要學會解一元二次方程.本節就是解一元二次方程的一種基本方法．如何解一元二次方程，它的基本策略是將一元二次方程轉化為已學的一元一次方程，就是降次.本節的配方法就是降次的方法之一．

2.學情分析

學生知識掌握方面：學生已學過平方根的意義，即如果x2=a，那么；完全平方式公式等.這為本節課運用配方法解一元二方程奠定基礎．學生難度方面：如何配方、怎樣配方對學生來說是個難點，我們老師在這方面應予以深入淺出地分析．可見，老師要從學生的認知水平和心理發展特征出發，利用學生強烈的好奇心和求知欲．以解決實際問題作為本節課的開端，讓學生發現問題，當他們在解決問題時發現方程不是以前所學過的，這樣可以激發學生探究新知的欲望，想進一步探索解方程的方法．前面我們已經系統地研究了完全平方式、二次根式等知識，這就為我們繼續探究用配方法解一元二次方程奠定了基礎．

3.教學目標

（1）讓學生會用配方法解一元二次方程，體會“降次轉化”的基本思想．

（2）通過解決簡單的實際應用過程，讓學生體會配方法和配方過程，總結配方法的基本步驟，熟練地運用配方法解一元二次方程，掌握一些轉化的技巧和技能，滲透化歸思想．

（3）通過配方法的探索活動，培養良好的學習品質，感受數學的美．培養學生勇于對未知世界探索的精神.

二、教學流程與解讀

1.溫故知新

（幻燈片1）填空題：

（1）a2+4a+______=（a+______）2；

（2）若4x2-mx+16是一個完全平方式，那么m的值是______；

（3）如果（x+y）2=25，那么x+y=______．

設計意圖：這是復習引入的過程，（1）、（2）兩題的二次項系數一個是1一個不是1，用這兩題復習完全平方公式，第（3）題復習直接開平方法，培養學生探究的興趣，既回顧上節課內容，也為新課的學習做好鋪墊．

2.初探解法

（幻燈片2）在一塊空地上設計一個矩形小花圃，使花圃的長比寬多6m，并且花圃的面積為16m2，這個花圃的長和寬應各是多少米？

師：如何設未知數？

生：設花圃的寬為xm，則長為（x+6）m.

師：好！如何列方程呢？

生：x2+6x-16=0．

師：很好！如何解這個方程呢？能不能用昨天學過的方法呢？同學們在下面討論一下，看如何解．

設計意圖：以簡單實際應用問題為引入，教師提出需要解決的問題，學生獨立思考、討論發表各自見解，同時教師要引領學生發現列方程很簡單，而如何解方程是關鍵；把學生引向這節的內容，若要解方程想到我們上節課的直接開平方，只要將方程左邊的二次三項式“湊”成一個完全平方式．配方的關鍵是如何配、如何選擇常數項，讓學生感受到新知識是以舊知識為基礎，同時感受新舊知識的融合．

生：不能直接用之前的方法．先將左邊16移至等號的右邊，然后在等式兩邊同時加上9，這樣等號的兩邊就是x2+6x+9=25，左邊是一個完全平方，配方成（x+3）2=25，就和我們前面學到的一樣了．

師：回答得完全正確！老師把這位同學的解題步驟演示一遍，大家再想一想這位同學解題的基本步驟是什么．

生：將方程左邊常數項移到右邊，然后將方程兩邊同時加上一個適當的數字，使得左邊是完全平方式，右邊是一個數值，然后用直接開平方法，求出方程的解．

師：好的，像這位同學說的，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，就叫配方法，我們可以看出，配方目的是為了降次，把一元二次方程轉化成一元一次方程來解，這就是化歸思想的體現．

師：（幻燈片3）填空：在下列橫線上填上適當的數，使等式成立.

（1）x2+8x+______=（x+______）2；

（2）x2+12x+______=（x+6）2．

評析：通過這兩題的練習，讓學生既鞏固剛學的知識，又為接下來熟練掌握配方法解一元二次方程打好基礎．

師：請同學們先做，或同桌討論一下，再回答．

生：第（1）題左邊填16，右邊是4；第（2）題36．

師：這位同學回答得很好，那么大家能從這些題目中找出配方規律嗎？小組討論．

生：我發現的規律是：當二次三項式的二次項系數為1的時候，添加的常數項是一次項系數一半的平方，就配成了完全平方．

師：你說得非常好，歸納得很準確，很到位，大家給他鼓鼓掌．

評析：通過小組討論，讓學生自己發現規律，使學生更深刻地掌握解一元二次方程的方法．

師：下面我們再來看這兩道題.

（幻燈片4）解方程：

（1）2x2+1=3x；

（2）3x2-6x+4=0．

師：大家觀察上面這兩道題，你能發現什么問題？

生：二次項系數不是1．

師：我們如何解呢？大家先討論一下，然后請一位同學回答．

生：先將二次項和一次項移到等號的左邊并按未知數降冪排列，將常數項移到等號的右邊，用等式的基本性質，將等式兩邊同時除以二次項系數，使得二次項系數變為1，再配成完全平方解出．

師：很好！

師：大家看第（2）題還有什么不同的地方？

生：第（2）題中，在配方后，等號左邊是（x-1）2，而右邊是，這個方程是無解的．

師：很好！大家在解題時一定要注意方程配方后，當等號的右邊是一個負數時，原方程無解．請兩名同學將解題過程寫到黑板上．

評析：通過前后例題對比講解，讓學生深刻了解不同題目的不同方法，請學生到黑板來寫，讓學生知道解題的格式化、規范化．

師：請大家思考總結一下用配方法解一元二次方程的基本步驟．

生：當一元二次方程的二次項系數為1時，方程兩邊加上一次項系數一半的平方，再配方．

生：當一元二次方程的二次項系數不為1時，先將二次項和一次項移到等號的左邊并按未知數降冪排列，常數項移到等號的右邊，將方程兩邊同時除以二次項系數，把二次項系數化為1，再將方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，再配方．

設計意圖：讓學生在小組合作中嘗試、比較、探索、探究解一元二次方程的方法．在老師的引領下讓學生積累數學解題的經驗，教學過程中要鼓勵學生多動腦、多動手、多動口，充分展示以學生為主體，以教師為主導的作用，留些時間讓學生去觀察、想象、歸納，為今后學習其他數學知識打好基礎．

3.課堂小結

（幻燈片5）配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一般步驟：

（1）移項：將二次項和一次項移到方程左邊并按未知數降冪排列，常數項移到方程右邊；

（2）把二次項系數化為1：用等式的基本性質將方程兩邊同時除以二次項系數；

（3）配方：方程的左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方，把原方程化為（x+a）2=p的形式；

（4）求解：當p≥0時，用直接開平方法解方程，當p＜0時，原方程無解．

三、教后反思

1.做到“三個理解”，找準知識生長點

我們知道，近年來章建躍博士提出的“三個理解”（即理解數學、理解學生、理解教學）在一線教師中產生廣泛的影響，筆者也深受啟發，在本節課的教學預設時，從復習引入、探究新知、課堂訓練、歸納小結幾方面入手，利用簡單的實際問題逐步引入配方法．這主要是學生已經學過完全平方公式和如何對一個正數進行開方運算作為本節課的基礎，教學中的難點放在探索如何配方上，重點放在配方應用上．通過兩個例題規范解法的過程，幫助學生掌握配方的技巧．

2.確立學生主體，學程注重生成

李庾南老師課堂教學最大的特點就是“學程重生成”，據我們聽課體會，她的課堂真正體現了學生為主體，很多知識的生成都是在她的啟發、引導、追問下，由學生表達出來.所以在本節課上，筆者也把激發學生學習熱情和獲得學習能力放在教學首位，多次組織學生合作交流，通過小組合作，激勵學生積極主動的學習，很多學生能充分展示自己的聰明才智，并且在此過程中注重發現學生分析問題和解決問題時的獨到見解．

四、寫在最后

江蘇省教科院楊九俊先生曾感慨“我通向李庾南老師的路十分漫長”.我們深知：面對古稀之年的李庾南老師，這實在是肺腑之言，而不是過謙之詞.我們在上面只是簡單模仿李老師的教學實踐，“形似”還不一定，更難說“神似”，然而“高山仰止，景行行止，雖不能至，心向往之”，讓我們一起努力吧！

1.中華人民共和國教育部制定．義務教育數學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

3.馬立平，著.小學數學的掌握和教學［M］．李士锜，吳穎康，等，譯．上海：華東師范大學出版社，2011.

4.李庾南．自學·議論·引導教學論［M］．北京：人民教育出版社，2013．

5.章建躍．構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］．數學通報，2013（6）．

6.李庾南，陳育彬．中學數學新課程教學設計30例——學力是這樣發展的［M］.北京：人民教育出版社，2007．Z