另類“數(shù)形結(jié)合”幫助學(xué)生理解幾何證明*
——由平行四邊形判定教學(xué)引發(fā)的一點(diǎn)思考

☉廣東省廣州市景中實(shí)驗(yàn)中學(xué) 吳穎接

☉廣東省廣州市第七十八中學(xué) 梁 倩

另類“數(shù)形結(jié)合”幫助學(xué)生理解幾何證明*
——由平行四邊形判定教學(xué)引發(fā)的一點(diǎn)思考

☉廣東省廣州市景中實(shí)驗(yàn)中學(xué) 吳穎接

☉廣東省廣州市第七十八中學(xué) 梁 倩

恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中量的關(guān)系與空間形式的科學(xué).”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.其實(shí)按筆者的理解，初中的幾何證明就是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的好例子.它讓學(xué)生用文字與符號，對圖形進(jìn)行分析與解釋.讓學(xué)生在思考圖形的來龍與去脈的過程中，逐步學(xué)會邏輯思考，慢慢學(xué)會理性思維.但也因此讓許多學(xué)生感到十分頭痛，易產(chǎn)生畏難情緒.

一、原由

在2014年初二下學(xué)期的數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者所任教的初二（1）班的學(xué)生學(xué)習(xí)水平較低.當(dāng)教到“平行四邊形”時(shí)，按傳統(tǒng)要求，如果證明時(shí)要用到初學(xué)的定理，必需要寫理由.這種做法的原因是：為了加強(qiáng)學(xué)生對初學(xué)定理的記憶與理解.但幾何課上，筆者察覺學(xué)生不是心不在焉，就是無精打采，更甚的有一兩個(gè)在打瞌睡.到了測驗(yàn)時(shí)，他們的水平自然是不過關(guān)的.這讓筆者相當(dāng)苦惱.筆者試想原因何在？經(jīng)觀察，他們的原因可能有以下幾個(gè)：（1）不理解；（2）有點(diǎn)理解，但由于定理過多，容易產(chǎn)生混淆；（3）證明的過程太長，再加上要寫明理由（注1），嫌煩瑣，不想寫，久而久之，生疏不會寫.面對這一難題，筆者反復(fù)思量，結(jié)果從全等三角形的幾個(gè)判定的表述中，得到啟發(fā).

全等三角形的幾個(gè)判定，其表現(xiàn)形式極為簡潔，它甚至將判定簡化成為字母.如：SSS、SAS、ASA、AAS.這幾個(gè)定理的簡寫，給全等三角形的教與學(xué)帶來很大的幫助.讓初學(xué)幾何的學(xué)生，在閱讀時(shí)更容易得到清晰的形象，而在書寫證明表達(dá)時(shí)，則可以更簡便清楚地寫出證明的過程.而有些老師甚至?xí)蜗蟮亟虒W(xué)生，尖尖的A就是角，而S就是邊，以此幫助學(xué)生記憶.

二、轉(zhuǎn)化

因?yàn)槿热切蔚呐卸ň哂泻啙嵭浴⑿蜗笮裕菇^大部分學(xué)生對全等三角形的判定的基礎(chǔ)運(yùn)用是比較容易理解與記憶的.所以筆者認(rèn)為，四邊形邊的判定應(yīng)該也可以進(jìn)行類似的簡化.利用平行四邊形的表達(dá)符號“?”，筆者把平行四邊形的五個(gè)判定方法分別進(jìn)行了以下的簡化：

（1）如圖1，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（同向箭頭的兩直線表示為平行關(guān)系）

（2）如圖2，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.（同向加標(biāo)注的兩直線表示為相等關(guān)系）

（3）如圖3，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

（4）如圖4，兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

（5）如圖5，兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

相類似地，特殊平行四邊形的判定也可以類似地進(jìn)行簡化.

如矩形的判定：

（1）?+對角線相等——對角線相等的平行四邊形是矩形.

（2）?+90°——有一個(gè)90度角的平行四邊形是矩形.

（3）3個(gè)90°——有三個(gè)90度角的四邊形是矩形.

菱形的判定：

（1）?+鄰邊相等——一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

（2）?+對角線垂直——對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

（3）4邊等——四條邊都相等的四邊形是菱形.

這種用簡圖代替定理的表述文字的做法，筆者給了它一個(gè)名稱：“以圖代理”.

如此，學(xué)生在書寫相關(guān)證明的理由時(shí)，可以用這些簡圖代替相應(yīng)的文字理由.小小的簡圖，把長長的文字簡略掉了.筆者的學(xué)生都感覺很開心，對于平行四邊形的很多題目，他們就不再覺得很難了，特別是在初學(xué)這些幾何定理時(shí)，這種做法，對記憶定理和區(qū)分這些定理有相當(dāng)大的幫助.（當(dāng)然，初學(xué)時(shí)，還是要求學(xué)生看簡圖，背定理，以鞏固和加深理解）

三、應(yīng)用與反思

不僅學(xué)生使用這些圖形方便，而且在后面解題時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)這些簡圖還有更重要的作用.讓我們看一看以下運(yùn)用簡圖的證明過程.

圖6

例1已知：如圖6，AD平分∠BAC，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)且DE∥AC，DF∥AB.求證：四邊形AEDF為菱形.

證明：因?yàn)镈E∥AC，DF∥AB，

又因?yàn)锳D平分∠BAC，

所以∠EAD＝∠FAD.

因?yàn)镈E∥AC，

所以∠FAD＝∠EDA，

所以∠EDA＝∠EAD，

所以四邊形AEDF是菱形.（?+鄰邊相等）

通過上面的例題可以看出，上題中的“以圖代理”的做法，既簡化了書寫，又形象地用圖像代替定理的文字表達(dá)，幫助了學(xué)生理解記憶定理.而實(shí)際上這種做法，是將原圖中無關(guān)的線段省去，并將重要的線段與角抽取出來進(jìn)行分析，它就完成了一次較完整圖形的抽象過程.這使學(xué)生明白幾何的證明，就是將原圖進(jìn)行分拆，然后抽取出關(guān)鍵的基本圖形出來后再重組，并用之對原圖進(jìn)行解釋的過程.

另外，根據(jù)皮亞杰的兒童認(rèn)知心理學(xué)的理論，兒童認(rèn)知新事物的能力分為四個(gè)階段，而初中學(xué)生的認(rèn)知水平應(yīng)屬于第三階段末、或第四階段（注2）.而新皮亞杰學(xué)說則認(rèn)為，個(gè)體是有差異的.在同一年齡段，有些人的認(rèn)知還在第三階段，有些人卻已在第四階段了.而且常識告訴我們，在同一班中，學(xué)生的認(rèn)知能力總會有人更強(qiáng)，而有些人則更弱一些.能力較強(qiáng)的學(xué)生，能開始脫離具體事物，具有較好的抽象能力，這部分學(xué)生的數(shù)學(xué)能力較強(qiáng)，并不用老師太費(fèi)心.但相當(dāng)多的學(xué)生的認(rèn)知能力尚處于認(rèn)知能力第三階段末，他們處于具體事物運(yùn)算階段，太抽象的東西對他們來講，是很困難的（注3）.所以如果能以“圖”代“理”進(jìn)行教學(xué)，這些簡圖可以幫助他們對幾何圖形進(jìn)行抽象的思考.使他們明白復(fù)雜的圖形是由幾個(gè)簡單的“基礎(chǔ)”圖形組成，只要在原圖中把這些基礎(chǔ)圖形找出來，證明的思路就可以相應(yīng)建立.所以筆者覺得，這種以“圖”代“理”的做法，對這一階段思維能力較弱的學(xué)生來理解和鞏固幾何知識有重大的幫助.

四、效果與拓展

在平行四邊形判定的教學(xué)中，應(yīng)用這種以“圖”代“理”的方法，筆者所任教初二（1）班的幾何成績有了相當(dāng)大的提高，在學(xué)期的期末考試中，初二（1）班比另一老師教的初二（3）班多了近5分，其中（1）班為81.8，（3）班為77.3.（注4）

在期末考之后，筆者思考到，以“圖”代“理”，數(shù)形結(jié)合的這種方法，不但可以在“平行四邊形的判定”中應(yīng)用，而且在其他的幾何內(nèi)容也可以用到.如初一的“平行線的判定”，到初三“圓”的學(xué)習(xí)，都可以用到.如平行線與圓的一些重要定理，可嘗試作如下表示.

（1）如圖7，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

（2）如圖8，同位角相等，兩直線平行.

（3）如圖9，同旁內(nèi)角相等，兩直線平行.

（4）如圖10，垂徑定理.

（5）如圖11，圓周角等于同弧所對的圓心角的一半.

（6）如圖12，同弧所對的圓周角相等.

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

這些簡圖，在學(xué)生初學(xué)這些定理時(shí)，可以幫助他們更方便地書寫證明過程，同時(shí)也能更好地記憶定理，更直觀地讓學(xué)生明白，證明幾何題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)分解圖形.讓他們明白，學(xué)幾何并不是死背定理.證明應(yīng)該是一個(gè)將復(fù)雜的圖形拆分為幾個(gè)基本的圖形后，并對之進(jìn)行解釋的過程.這對他們明白幾何是怎樣建構(gòu)公理體系的過程，這對學(xué)生的邏輯分析能力，都有著很大的幫助.

注1：在中考，幾何證明的理由是不用書寫的.但在初學(xué)一個(gè)幾何定理時(shí)，按傳統(tǒng)要求，在初學(xué)應(yīng)用時(shí)，要以文字的形式書寫幾何定理.但學(xué)生往往嫌煩瑣，不愿寫，但矛盾的是，如果不要求學(xué)生書寫幾何理由，學(xué)生對定理忘記得很快，遺忘率非常高.

注2：皮亞杰將兒童思維的發(fā)展劃分為四個(gè)大的年齡階段.這四個(gè)階段分別是：

（1）感知運(yùn)動階段（從出生到兩歲左右）.這一階段是思維的萌芽期，是以后發(fā)展的基礎(chǔ).皮亞杰認(rèn)為這一階段的心理發(fā)展決定著未來心理演進(jìn)的整個(gè)過程.

（2）前運(yùn)算階段（兩歲左右到六七歲）.這一階段又稱前邏輯階段，這時(shí)兒童開始以符號作為中介來描述外部世界，表現(xiàn)在兒童的延緩模仿、想象或游戲之中.

（3）具體運(yùn)算階段（六七歲到十一二歲）.在這個(gè)階段，兒童已有了一般的邏輯結(jié)構(gòu).

（4）形式運(yùn)算階段（十一二歲到十四五歲）.此時(shí)兒童的智慧發(fā)展趨于成熟，思維能力已超出事物的具體內(nèi)容或感知的事物，思維具有更大靈活性.

注3：根據(jù)廣州中考數(shù)學(xué)的相關(guān)數(shù)據(jù)，滿分為150分的考試中，每年10萬考生，有近1萬的考生數(shù)學(xué)成績在30分以下.

注4：在初二上學(xué)期末，（1）班與（3）班的數(shù)學(xué)成績基本相同，相差不到1分.

1.【瑞士】皮亞杰，著.心理發(fā)生和科學(xué)史［M］.姜志輝，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2005.

2.【瑞士】皮亞杰，著.發(fā)生認(rèn)識論原理［M］.北京：商務(wù)印書館，1981.

3.【瑞士】皮亞杰，著.可能性與必然性［M］.熊哲宏，譯．上海：華東師范大學(xué)出版社，2005.H

*本文系廣州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃（第二批）課題《初中數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)實(shí)踐研究》（課題編號12B063）的研究成果之一.