求異探源啟迪
——對一道高考試題的剖析

☉浙江省杭州學軍中學 鄭日鋒

求異探源啟迪
——對一道高考試題的剖析

☉浙江省杭州學軍中學 鄭日鋒

題1（2015年浙江省理科高考第18題）設函數f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）.記M（a，b）是|f（x）|在區間［-1，1］上的最大值．

（Ⅰ）證明：當|a|≥2時，M（a，b）≥2；

（Ⅱ）當a，b滿足M（a，b）≤2時，求|a|+|b|的最大值．

本題旨在考查函數的單調性與最值、不等式性質等基礎知識，同時考查推理論證能力，分析問題和解決問題的能力，很好地體現了高考試題以能力立意的特點．考后與考生進行訪談，許多考生找不到解決此題的思路，筆者對此題作了一些思考，現寫出來，與大家共享．

一、求異——多角度探索

（Ⅱ）方法1：由（Ⅰ）知，若|a|>2，則M（a，b）>2，與已知矛盾，故|a|≤2.由對稱性可以假設0≤a≤2，則|a|+|b|=a+ |b|.由得即即-3+a≤b≤1-a.而|-3+a|≥|1-a|，所以|b|≤|-3+a|=3-a，故|a|+|b|≤3.取f（x）=x2+2x-1符合條件，故|a|+|b|的最大值為3.

方法3：由（Ⅰ）知，若|a|>2，則M（a，b）>2，與已知矛盾，故|a|≤2.所以M（a，b）=max即在aOb坐標系中，作出點（a，b）的圖形，如圖1所示的陰影部分，所以當a=2，b=-1，或a=-2，b=-1時，|a|+|b|的最大值為3.

第（Ⅰ）小題考查單調性的定義、最值的概念、不等式的性質及實數絕對值的三角不等式，方法1運用對稱性及化整為零，方法2運用直接法，方法3運用反證法，與方法2有著異曲同工之妙．

第（Ⅱ）小題，方法1仿照第（Ⅰ）小題的方法1，由對稱性，縮小a的范圍，再固定a，求出|b|的最大值，然后求出|a|+|b|的最大值；方法2從數的角度，將求|a|+|b|的最大值轉化為求|a+b|，|a-b|的最大值；方法3從形的角度，將條件轉化為a，b滿足的限制條件，作出點（a，b）的圖形，從而得到|a|+|b|的最大值．方法2解題過程簡潔，但技巧性強，方法1、3解題過程雖稍繁，但解法自然且容易想到．

表4的數據從客觀的角度證實了POA聽說教學模式的效果,表中數據是依據調查問卷從學習主體的角度闡述學習效果。在能否提高聽力水平的維度上,70%的學生給出的是肯定的答案;高達85%的學生覺得自己的口語水平有很大提高;78%的學生認同這種教學模式對他們語言應用能力有所提高,學習效果問卷調查的結果和語言測試的結果完全吻合。

二、探源——尋找問題之源

其實，第（Ⅰ）小題與下面題2的第（Ⅲ）小題的題型及解題方法完全類似．

（Ⅰ）當a=0，b=1時，寫出函數f（x）的單調區間；

（Ⅲ）若對任意實數a，b，總存在實數x0∈［0，4］使得不等式f（x0）≥m成立，求實數m的取值范圍．

由|h（t）|在t∈［0，2］上的最大值M（a，b），得因為3h（0）+h（2）-4h（1）= -2，所以2=|3h（0）+h（2）-4h（1）|≤3|h（0）|+|h（2）|+4|h（1）|≤8M（a，b），即M（a，b）≥.取h（t）=-，符合條件．所以M（a，b）的最小值為，即實數m的取值范圍為

筆者還找到了與題1有著驚人相似的下列三題：

題3（2009年湖北省文科高考壓軸題）已知函數（fx）=-，其導函數為f（′x），令g（x）=|f（′x）|，記函數g（x）在區間［-1，1］上的最大值為M.

（Ⅱ）若|b|>1，證明：對任意的c，都有M>2；

（Ⅲ）若M≥k對任意的b，c恒成立，試求k的最大值．

題4（本校2014屆高三第六次月考理科壓軸題）已知函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），g（x）為f（x）的導函數．

（Ⅰ）在b=1，c=-a，d=0的條件下，試解決：

（1）g（x）在（1，2）上存在最值，求實數a的取值范圍；（2）f（x）在（1，2）上不是單調函數，求實數a的取值范圍.

（Ⅱ）若對任意x∈［0，1］，|g（x）|≤1恒成立，求實數a的最大值.

（Ⅲ）若對任意x∈［-1，1］，|f（x）|≤1恒成立，求|a|+ |b|+|c|+|d|的最大值．

題5（華東師范大學出版的《奧數教程（高一分冊）》P43測試題5）已知二次函數f（x）=ax2+bx+c在［-1，1］上的函數值的絕對值不超過1，求|a|+|b|+|c|的最大值．

三、啟迪——答題情況引發的思考

命題組給出的解答避開了實數絕對值的三角不等式，實際上是把需要用的實數絕對值的三角不等式推導出來，顯得牽強，不符合數學的簡潔性，命題教師考慮到實數絕對值的三角不等式不屬于2015年浙江省高考數學范圍，而有意避開．此題具有形式化、抽象化程度都很高的特點，需要考生具有良好的數學素養，以及分析問題與解決問題的能力．實測結果做出此題的考生很少，滿分15分，平均得分僅3分，大部分考生做不出第（Ⅰ）小題，由此可以看出此題的難度相當大，有些考生因為此題的卡殼，亂了分寸，影響了最后兩題的解答，這不能不說是一種令人扼腕嘆息的遺憾．此題放在倒數第3題的位置是否合適？除了壓軸題，有無必要考這么難的題目？高考試題與已考過的題雷同，這種非原創的試題在重點題中出現，是否能體現試題的客觀、公平、公正？

本屆考生都做過題2，但大部分考生依然無法解決題1，這是什么原因呢？原因也許是多方面的，但有一個現象值得關注，大部分教師缺少了一個教學環節，學業水平考試結束后，組織學生研討題2，如果這樣做了，肯定不會是現在的情況．

這一現象給今后的解題教學帶來怎樣的啟示呢？當下依靠“題海戰術”、大運動量的訓練依然盛行，這種教學模式不僅透支了學生未來學習的興趣，而且無法應對能力型、重本質、考素質的高考試題．固然，每位考生都能做出較難的高考試題，這是不可能的，但是讓不同層次的學生發揮出應有的較高水平，提高學生解決新穎問題的能力，這是我們的教學目標．這昭示著我們需要重新審視教學．

1.追根溯源

從學生答題中暴露出來的問題說明，學生缺乏的不是技巧，而是基礎．在考試中，不少學生對概念、定理、公理等認識模糊，導致在遇到陌生問題時不知道如何運用所學知識去合理地展開聯想，進行有效的探究．他們解答了大量的習題，但“重復的大運動量的訓練”不能使他們獲得思考和解決問題的能力．因此，重視概念建構，研究每一章節的典型習題，以及以往的高考試題，注重“源”與“本”的關系，才能提高學生對“雙基”的靈活運用．

2.感悟數學

引導學生學會思考、聯想、轉化，善于從多角度解決問題，從中比較各種方法的優劣，提煉歸納解題策略及數學思想方法，完善認知結構；有意識地引導學生對問題進行引申、拓展，使學生在探究活動中深刻領悟解題原則，由會解一道題到會解一類題，學會數學建模，讓學生在錯綜復雜的變化中，抓住問題的本質特征，培養學生研究、探索問題的能力．F