激活學生思維提高課堂效率
——導數法判斷函數單調性教學中的“問題導引”

☉江蘇省海安縣曲塘中學 倪銅

激活學生思維提高課堂效率
——導數法判斷函數單調性教學中的“問題導引”

☉江蘇省海安縣曲塘中學 倪銅

隨著新課程理念的貫徹落實，高中數學課堂逐漸由以教師為主的“傳授式”教學向以學生為主的“探究式”課堂過渡，因此，如何“有效激活學生思維、打造高效教學課堂”成為廣大教育工作者追求的目標.筆者用“問題導學”的模式導引課堂教學，收到了良好的效果，下面以導數法判斷函數單調性的教學為例就“問題導學”法的應用進行探究，與讀者分享.

一、問題的導出

問題1：畫出函數f（x）=2x的圖像，在f（x）的圖像上任取點A，B，C，…，分別過點A，B，C，…作曲線的切線.

生1：如圖1所示.

生2：如圖2所示.

師：同學們仔細觀察這兩個圖像，能發現什么規律？

生3：函數f（x）=2x在其定義域內為單調遞增函數，在f（x）上任取一點作切線，切線的斜率均為正值；函數f（x）在其定義域內為單調遞減函數，在（fx）上任取一點作切線，切線的斜率均為負值.

師：上節課中，我們學習了導數的幾何意義，一起來回顧一下.

生眾：函數f（x）在某點x=x0處的導數值為函數在該點的切線的斜率，即k=f′（x0）.

師：由圖1和圖2我們能得出什么結論？

生4：當函數f（x）單調遞增且f（x）在其定義域內可導時，有f′（x）>0；當函數f（x）單調遞減且f（x）在其定義域內可導時，有f′（x）<0.

師：據此我們可得出函數單調性的判定法則是？

生5：（1）如果在區間（a，b）內，f′（x）>0，則f（x）在此區間是增函數，（a，b）為f（x）的單調增區間；（2）如果在區間（a，b）內，f′（x）<0，則f（x）在此區間是減函數，（a，b）為f（x）的單調減區間.

評注：部分教師在講解此部分知識時，讓學生記憶利用導數的正負來判斷函數的單調性法則，被動地接受，結果是學生不清楚問題的來龍去脈，只知其然不知所以然.本文中在此知識點的教學中，筆者只充當了課堂的引導者，規律的發現及結論的得出都是通過學生的觀察、分析得出的，整個教學過程中學生積極參與其中，由被動接受者轉變為主動探究者，落實了新課改的理念.

二、問題的拓展

師：同學們是否認同生6的解法？

生眾：認同.

問題4：判斷函數f（x）=x3在R內的單調性.

生7：函數f（x）=x3是我們熟悉的冪函數，f（x）在R內單調遞增.

師：能否利用導數來判斷此函數的單調性？

生8：求導得f′（x）=3x2，在區間R內，3x2≥0，所以f（x）在R內單調遞增.

師：請同學們比較一下問題3與問題4的解答，有何異同？

生9：當函數f（x）在某區間內為單調遞增函數時，可能包括導數為零的點，故若函數f（x）在某區間內單調遞增，則應有f′（x）≥0；若函數f（x）在某區間內單調遞減，則應有f′（x）≤0.

師：那么我們能得出什么結論？

生10：函數f（x）在其定義域內可導，則“f′（x）>0”是“f（x）為增函數”的充分不必要條件.原因是當f（x）為增函數，f′（x）可能含有有限個點的導數值為零.即函數f（x）在區間［a，b］內可導，則“f（x）在區間［a，b］內單調遞增（遞減）”是“對任意的x∈［a，b］都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）”的充分條件.

師：請生6更正一下問題3的解答.

評注：對于問題3的解答所存在的錯誤，教師并沒有直接指出，而是通過一個引例問題，使學生自己認識到了錯誤所在，親身感受到了錯誤的發生、發展及糾錯的過程，在頭腦中形成了深刻的印象，從而有效地避免了同類錯誤的再次發生.

三、問題的引申

問題5：畫出函數g（x）=lnx的圖像，在g（x）的圖像上任取點A，B，C，…，分別過點A，B，C，…作曲線的切線.

生11：如圖3所示.

師：請觀察圖3與圖1，能發現什么規律？

生12：函數f（x）=2x與函數g（x）=lnx在其定義域內均為增函數，但函數f（x）遞增的頻率較快，g（x）遞增的頻率較慢.函數f（x）切線的斜率逐漸增大，函數g（x）切線的斜率逐漸減小.

師：據此可得出什么結論？

生13：函數f（x）在其定義域內為可導函數，若其導函數f′（x）為單調遞增函數，則f（x）為上凹函數；若f′（x）為單調遞增函數，則f（x）為下凸函數.

問題6：如圖4，半徑為2的⊙O與直線MN相切于點P，射線PK從PN出發繞點P逆時針方向旋轉到PM，旋轉過程中，PK交⊙O于點Q，設∠POQ為x，弓形PmQ的面積為S= f（x），那么f（x）的圖像大致是圖5中的（）.

生14：可先考慮特征情況：當x=0時，S=0；當x=π時，S=2π；當x=2π時，S=4π.

再考慮一般情況：當x∈（0，π）時，S=S扇形OPQ-S△OPQ=×2×2sinx=2x-2sinx，S′=2-2cosx>0，所以S= f（x）在x∈（0，π）時單調遞增.又因為S″=2sinx>0在x∈（0，π）恒成立，所以S=f（x）在x∈（0，π）時為下凸函數.

同理當x∈（π，2π）時，S=f（x）為上凸函數.

因此選項為D.

評注：導數作為一種重要的解決函數問題的工具，在處理函數問題中有著廣泛的應用，最重要的應用之一——利用導數符號來判斷函數的增減，而對于某些問題我們不僅要知道函數的增減，而是要知道其增減的快慢.本題探究解法利用導函數的增減性嚴格地得出了函數遞增速度的快慢，較教材解答更體現出數學問題解答的嚴謹性.

綜上，數學課堂中的問題多姿多彩，數學因為問題的存在而具有重大的價值和意義.在高中數學的教學中，通過問題導引，將知識以問題的形式呈獻給學生，從而引導學生對問題進行探究得出一般結論，既鞏固了知識，又鍛煉了能力，而且增強了學生和教師之間的“互動”，提高了課堂效率.在高中數學的教學過程當中，將“問題”設成課堂的核心，把“探究”當成達成教學目的的手段，這樣的課堂教學將教師的教和學生的學統一成整體，在教師的引導下，使學生全身心地投入到課堂教學中來，既提高了課學效率，又落實了新課程理念.因此問題導引的教學模式值得廣大教育愛好者深入探究.F