別樣的視角，新穎的解答
——一類含參恒成立問題中的定積分求法

☉湖北武漢市黃陂區(qū)第一中學盤龍校區(qū) 李紅春

☉湖北武漢市教育科學研究院中學教學研究室 孔峰

別樣的視角，新穎的解答
——一類含參恒成立問題中的定積分求法

☉湖北武漢市黃陂區(qū)第一中學盤龍校區(qū) 李紅春

☉湖北武漢市教育科學研究院中學教學研究室 孔峰

法國生理學家貝爾納曾指出：“良好的方法使我們更好地發(fā)揮運用天賦的才能，而拙劣的方法則會抑制才能的發(fā)揮”.可見，解決問題時選擇一種好的方法至關重要，這既能使我們高效快捷地達到目的，而且有利于我們提升能力.

引例：已知函數(shù)f（x）=x2lnx-a（x2-1），a∈R，若當x≥1時f（x）≥0成立，求a的范圍.

文1從三個不同的角度對以上問題展開了分析與求解，解法1采用分離參數(shù)法，但解題過程需要用到洛必達法則，涉嫌超綱，美中不足；解法2和解法3進行分類討論，不但煩瑣，而且分類討論的標準對學生來說不易把握，讓人望而卻步.

有沒有其他易于學生掌握的好方法呢？答案是肯定的！

另解：由題意得：x2lnx-a（x2-1）≥0對x∈［1，+∞）恒成立，即2≥a（x2-1）對x∈［1，+∞）恒成立.

令t=x2-1，t∈［0，+∞），則（t+1）ln（t+1）≥2at對t∈［0，+∞）恒成立.

當t=0時，不等式顯然成立.

設曲線y=ln（x+1）+1和直線y=2a在定直線x=0和動直線x=t之間與x軸圍成的面積分別為S1和S2，則S1≥S2，如圖1所示，y= ln（x+1）+1過y軸上的定點A（0， 1），顯然2a≤1，故

以上解法借助數(shù)形結合思想，從圖形直觀加以解決，不但計算量小，而且沒有復雜的分類討論，給人耳目一新的感覺.無獨有偶，2014年陜西高考理科第21題和引例極為相似，運用以上解法，很容易求解.

例1（2014年高考陜西理科第21題簡編）設函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=xf′（x），x≥0，若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

當t=0時，不等式恒成立，a∈R.

波利亞說過：一個想法使用一個技巧，通過多次使用可成為一種方法.借助以上方法，我們可以解決很多這樣的問題，下面再看幾例.

設x=t，則不等式at

例3（2010年高考新課標理科第21題簡編）設函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍.

解：由已知ex-1-x≥ax2.設x=t，則et-1-t≥at2對t∈［0，+∞）恒成立.

當t=0時不等式恒成立，此時a∈R.

例4（湖北襄陽四中2015屆10月月考理科第22題簡編）已知對t∈［0，+∞）恒成立，求a的取值范圍.

以上試題本質(zhì)上都是含參恒成立問題，區(qū)間端點的函數(shù)值恰好是不等式恒成立時的臨界值是這些試題的共同特征，求解過程中，尋找定積分中的原函數(shù)是解題的基礎，借助定積分的幾何意義將函數(shù)值間的大小關系轉(zhuǎn)化為不同曲線圍成圖形面積間的大小關系，再轉(zhuǎn)化為曲線和直線的位置關系是解題的核心，善于抓住圖形中的臨界位置和特殊點是解題的關鍵.

定積分是高等數(shù)學的重要內(nèi)容，目前在高考中的考查力度越來越強，隨著新課改的推進，越來越多的高等數(shù)學知識與方法已滲透到中學數(shù)學之中，這些含有高等數(shù)學背景的試題因背景公平，能很好地考查學生現(xiàn)有的知識水平和繼續(xù)學習的潛能，因而頻頻出現(xiàn)在高考試卷中，倍受命題者的青睞.筆者在一線教學中發(fā)現(xiàn)，只要學生真正理解了定積分的基本概念，這類問題的處理并不像有些人想的那么難，用定積分解決這類問題，開拓了學生的視野，強化了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)了學生逆向思維的能力，這種別開生面的解法，激發(fā)了學生學習的興趣.

1.王若梅，徐雷.一道常規(guī)問題的不常規(guī)之處［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2013（12）.

2.李紅春.兩道高考壓軸試題的趣解［J］.中學數(shù)學（上），2012（2）.

3.李紅春，盧瓊.新課程理念下高考試題的整體感悟［J］.中學數(shù)學（上），2012（5）.A