眾里尋他千百度，最值卻在頂點處——2015年福州卷第26題的思路突破與解后反思

☉江蘇省張家港市鹿苑中學(xué) 吳禮紅

眾里尋他千百度，最值卻在頂點處
——2015年福州卷第26題的思路突破與解后反思

☉江蘇省張家港市鹿苑中學(xué) 吳禮紅

由于中考數(shù)學(xué)卷承載了區(qū)分選拔功能，而作為全卷最后一題往往倍受關(guān)注，本文選取2015年福建福州卷第26題，嘗試從不同角度突破思路，并解后反思，與同行研討．

一、試題解析

二、解后反思

從上面的求解過程中，我們注意到數(shù)形結(jié)合的分析幫助我們順利解決了第（2）問，而且從數(shù)和形的不同角度也加深了我們對第（3）①問的理解，然而第（3）②問的處理還是略顯晦澀，只是從數(shù)的角度給出最值解釋，而且湊巧的是，兩條線段和、積的最值都在拋物線頂點處獲得，這是一種巧合還是一種必然呢？以下我們再從“形”的角度反思第（3）②問，幫助大家直觀理解這種巧合背后的必然或道理：

受到第（3）①問中思路的啟發(fā)，如圖6，我們?nèi)匀豢梢园裀D·DQ轉(zhuǎn)化為PD·DQ′，以PQ′為直徑作圓交直線AC于點N，根據(jù)圓周角定理，可發(fā)現(xiàn)∠PNQ′＝90°，進而在Rt△PNQ′中，由相似三角形性質(zhì)容易得出ND2＝PD·DQ′（事實上，這也是構(gòu)造了所謂的“射影定理”的基本圖形）.要想獲得PD·DQ′的最大值，本質(zhì)上只要ND最大即

三、教學(xué)導(dǎo)向之思

中考關(guān)鍵位置之處的綜合選拔題通常還會對地區(qū)的教學(xué)導(dǎo)向有著相應(yīng)的提醒.事實上，第26題的第（2）問三角形面積比，在底邊相同的情況下，兩個三角形的面積比等于它們的高之比，這些都是學(xué)生應(yīng)該掌握的基礎(chǔ)知識和基本技能.最后一問關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維層次，關(guān)注初高中知識的銜接，重點考查學(xué)生知識的靈活運用、邏輯推理、建模思想等，有一定的區(qū)分度；試題的解題途徑多樣，兼顧擅長幾何方式與代數(shù)方式解題的學(xué)生，為一線教師提供了試題研究及復(fù)習(xí)教學(xué)的良好素材.試題內(nèi)涵豐富，解法多樣，值得回味.

可以發(fā)現(xiàn)，命題組重在引導(dǎo)廣大師生關(guān)注雙基教學(xué)，然后才是關(guān)注學(xué)生的思維層次，而且預(yù)設(shè)了解題的多樣性，滿足不同思維風(fēng)格學(xué)生的需求，體現(xiàn)了公平性.這也提醒教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是解題教學(xué)中，不能滿足于所謂獲取答案，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從不同角度獲取答案，并思辨不同解法之間的異同之處、和諧之處，長期堅持這樣做，一方面對于提高學(xué)生解題能力是有幫助的，另一方面也可使學(xué)生在中考考場上能對較難考題進行轉(zhuǎn)化，并兼顧數(shù)形結(jié)合思想，力求在較短時間內(nèi)貫通思路，這也是向?qū)W生傳遞波利亞在《怎樣解題》所倡導(dǎo)的“沒有一個問題能被十分完美的解決，總能留下一些什么讓我們繼續(xù)思考”.

1.中華人民共和國教育部制定．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

2.羅增儒．數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］．西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008．

3.【美】G.波利亞，著．怎樣解題［M］．閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.Z