一道競賽題的再探究

☉重慶市云陽江口中學校 王連娜 姜官揚

一道競賽題的再探究

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一、賽題呈現

題目 （2011年北京市初二數學競賽題）如圖1，邊長為1的正方形EHGF在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動，始終保持EF∥AB.線段CF的中點為M，DH的中點為N，則線段MN的長為（ ）.

文1用三種不同的方法完成了解答，并且給出了八個不同的變式.讀后感想頗多，掩卷之余，總有意猶未盡之感，因此，對如下兩點進行了再思考和探究：一是變式的解答，二是原題的變式題是否只有文1給出的八種情況.現將對這兩點的思考所得，整理成文，呈現于此，供參考.

二、幾個變式的再解

此解法與文1給出的解法相比，不僅少作了輔助線，而且所用的知識較少，思路自然流暢.

此解法與原解法相比，少作了兩條輔助線，且用到的知識點少，過程也簡潔得多.

此解法比原解法少作兩條輔助線，且解題過程簡單明了.

三、變式再探

經過探究發現，除文1給出的8個變式之外，還能得出許多優美有趣的變式題，現略舉幾例.

因為原題中要求邊EF與邊AB平行，若將此要求改為對角線EG與邊AB平行，其余條件不變，又可得：

若將原題中的一個（或兩個）正方形改為矩形、菱形或平行四邊形，其余條件不變，以及在變式18、19、20的基礎之上，還能得出許多變式題，限于篇幅，就不一一例舉.

四、由原題、變式題編出新題

1.由原題編出新題

原題為選擇題，而選擇題反映不出學生的思維過程，為了考查學生的思維過程，可以將原題改編為：

這些題的證明，限于篇幅，此處略去.

由原題和變式題還能編出許多新題，不再贅述，請有興趣的讀者自己去探討之.

1.張寧.一道競賽題的解法及變式探究［J］.中學數學（下），2015（4）.H