用向量模型說明“負(fù)負(fù)得正”

☉湖北省黃石市第二十一中學(xué) 柯賢力

用向量模型說明“負(fù)負(fù)得正”

☉湖北省黃石市第二十一中學(xué) 柯賢力

怎樣說明“負(fù)負(fù)得正”？什么樣的說明“負(fù)負(fù)得正”的模型是最好的模型？不少專家同行對此做了比較深入的研究，但到目前為止也沒有一個最好的答案.下面是筆者結(jié)合平時教學(xué)實踐對說明“負(fù)負(fù)得正”的模型教學(xué)的一點(diǎn)淺顯看法和做法.

一、背景分析

1.說明“負(fù)負(fù)得正”的必要性

“負(fù)負(fù)得正”的說明是“有理數(shù)的乘法”這一課時的難點(diǎn)，注意到“負(fù)負(fù)得正”是有理數(shù)四則運(yùn)算的一項重要規(guī)定，遵守規(guī)則，運(yùn)算就能夠順利進(jìn)行，這節(jié)課把側(cè)重點(diǎn)放在法則的運(yùn)用上無可厚非.但如果我們不講為什么，對這一難點(diǎn)問題避而不談，只說“負(fù)負(fù)得正”是一種規(guī)定，讓學(xué)生記住并能運(yùn)用就可以了，這種講法明顯不太符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.前一節(jié)剛剛在水平數(shù)軸上用向東、向西來學(xué)習(xí)加法法則，似乎頭頭是道，而乘法法則卻說是硬性規(guī)定，這樣一來學(xué)生肯定就不好接受了.“雜交水稻之父”袁隆平院士說過：“我最喜歡外語、地理、化學(xué)，最不喜歡數(shù)學(xué)，因為在學(xué)正、負(fù)數(shù)的時候，我搞不清為什么負(fù)負(fù)相乘得正，就去問老師，老師說‘你記得就是’；學(xué)幾何時，對一個定理有疑義，去問，還是一樣的回答，我由此得出結(jié)論，數(shù)學(xué)不講道理，于是不再理會，對數(shù)學(xué)興趣不大，成績不好.”數(shù)學(xué)原本就是這樣？還是我們的數(shù)學(xué)教學(xué)使之然？作為數(shù)學(xué)老師，我們是要好好的反思.我們還是要對“負(fù)負(fù)得正”有些“說明”，用一些實際事例和實踐模型來幫助學(xué)生理解“負(fù)負(fù)得正”的規(guī)律是符合實際的，只有這樣學(xué)生才會真正對之認(rèn)同和信服，這樣的課才是一節(jié)真正的數(shù)學(xué)課.

2.說明“負(fù)負(fù)得正”要注意的四個問題

（1）說明“負(fù)負(fù)得正”的模型不能離開實際問題背景，任何憑空高談闊論或者是一味的數(shù)學(xué)推理的處理方式都是初一學(xué)生最不喜歡的，也是他們不愿意接受的，如：

相反數(shù)模型：5×3=5+5+5=15；（-5）×3=（-5）+（-5）+（-5）=-15.所以，把一個因數(shù)換成它的相反數(shù)，所得的積就是原來的積的相反數(shù)等這類模型就完全屬于此情形.

（2）說明“負(fù)負(fù)得正”的模型應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡量減少學(xué)生理解困難的因素.如蝸牛爬行模型（氣溫變化模型）對“負(fù)負(fù)得正”問題的處理是我國五十年代初中數(shù)學(xué)課本的做法，由于涉及速度和時間兩個因素，而且需要考慮在指定時間以前的運(yùn)動物體的位置，學(xué)生實際上是不容易理解接受的.

（3）說明“負(fù)負(fù)得正”的模型盡量與說明有理數(shù)的加法運(yùn)算法則的模型相呼應(yīng)，體現(xiàn)有理數(shù)加法、乘法運(yùn)算法則的一致性和完整性.像數(shù)軸模型，應(yīng)該是一個能向?qū)W生說明“負(fù)負(fù)得正”的較好的模型，但在與有理數(shù)加法教學(xué)的銜接上，是不夠完美的.

（4）說明“負(fù)負(fù)得正”的模型應(yīng)該具備一定的理論背景.如好孩子模型、向后轉(zhuǎn)模型雖然很切合實際，學(xué)生聽后也樂于接受和認(rèn)同，但它們只能作為一種事例驗證，因為它們在理論上是站不住腳的.

二、筆者的模型設(shè)計——向量模型

綜合以上背景分析，筆者選擇以德國中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的向量模型為基礎(chǔ)，同時設(shè)置了一個彈簧伸長實驗的問題情境，說明為什么“負(fù)負(fù)得正”.從筆者的教學(xué)實踐來看，相比較而言，這一處理方法能從實際問題背景出發(fā)，所涉及問題學(xué)生也易于接受和理解，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也注意了與有理數(shù)加法教學(xué)的銜接，更與高中的向量法則學(xué)習(xí)同出一轍，具備理論背景.在學(xué)生歸納出有理數(shù)的乘法法則后，筆者再讓學(xué)生通過日常生活中的事例來說明“負(fù)負(fù)得正”，隨后筆者舉出一個生動的“向后轉(zhuǎn)”模型事例，堅定學(xué)生對“負(fù)負(fù)得正”這一事實的認(rèn)同.具體設(shè)計如下（僅摘選筆者的教學(xué)流程設(shè)計中的前兩個環(huán)節(jié)）：

1.創(chuàng)設(shè)情境

先向?qū)W生出示一根長為2分米的彈簧，固定彈簧的一端，強(qiáng)調(diào)這一端是不能動的，拉另一端使彈簧往不同方向伸長.

出示問題1：（邊說邊演示）約定：彈簧移動端向東時為正，移動端向西時為負(fù).當(dāng)彈簧移動端向東時，其原始長度可記為_________，彈簧移動端指向西，彈簧伸長后的長度為3分米時，其長度可記為_________.

設(shè)計意圖：這樣設(shè)計主要是幫助學(xué)生回顧和體會前面所學(xué)的正、負(fù)數(shù)的意義，體驗數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和參與程度，并為學(xué)生探究乘法法則創(chuàng)設(shè)探索的情境.

2.探究歸納

出示問題2：再約定：當(dāng)拉伸方向與移動端指向一致時稱為正向拉伸，記為正；當(dāng)拉伸方向與移動端指向相反時稱為反向拉伸，記為負(fù).當(dāng)彈簧分別作如下四種情況下的拉伸時，結(jié)合上述相反意義，你能求出彈簧最終的長度嗎？

（1）開始時彈簧移動端向東，并正向拉伸至原來的3倍.

（2）開始時彈簧移動端向東，并反向拉伸至原來的3倍.

（3）開始時彈簧移動端向西，并正向拉伸至原來的3倍.

（4）開始時彈簧移動端向西，并反向拉伸至原來的3倍.

具體活動：（1）實驗探究：教師通過演示實驗，讓學(xué)生說出每一種情況中彈簧長度的變化過程及結(jié)果，并列式表示.

（2）數(shù)軸表示：你能在數(shù)軸上畫出以上過程嗎？（課件展示）

（3）歸納概括：類比有理數(shù)加法，從以上算式你發(fā)現(xiàn)了兩數(shù)相乘有什么規(guī)律嗎？兩數(shù)相乘還有什么特殊情況嗎？你能用以上實驗來說明這種情況嗎？

歸納有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；任何數(shù)同0相乘，都得0.

（4）舉例驗證：為了幫助學(xué)生進(jìn)一步地認(rèn)同“負(fù)負(fù)得正”這一事實，可鼓勵學(xué)生舉例說明：生活中還有哪些事例可以說明“負(fù)負(fù)得正”？學(xué)生經(jīng)過討論發(fā)言后，教師舉出“向后轉(zhuǎn)”模型事例：規(guī)定一個人面朝東為正，面朝西為負(fù).向前看，記為正；向后轉(zhuǎn)，表示負(fù).現(xiàn)在一個人面朝西，向后轉(zhuǎn)，此時他面朝東，不就是“負(fù)負(fù)得正”嗎？

設(shè)計意圖：整個探究歸納環(huán)節(jié)筆者設(shè)計了實驗探究、數(shù)軸表示、歸納概括、舉例驗證四個階段，其中實驗探究、數(shù)軸表示是突破“負(fù)負(fù)得正”這一難點(diǎn)的關(guān)鍵階段.使用這一向量模型說明“負(fù)負(fù)得正”還有一大優(yōu)點(diǎn)，那就是它可以使有理數(shù)乘法的講法與加法的講法實現(xiàn)完美統(tǒng)一，因為它們都是用有向線段或運(yùn)動來說明的，上述過程（課件展示）也可以看成是把有向線段（±2）正、反向延長到原來的3倍（或正、反向運(yùn)動了3次）；這樣一來，就使初中的有理數(shù)加法、乘法運(yùn)算法則與高中的向量的加法、乘法運(yùn)算法則一脈相承，因此，這種處理方法還為初、高中數(shù)學(xué)教材的銜接做了一個很好的嘗試，也說明了這種處理方法是具備理論背景的.上述的活動，由淺入深，循序漸進(jìn)，既繼承了學(xué)生思維的延續(xù)性，又成功化解了“負(fù)負(fù)得正”這一難點(diǎn)問題，類比有理數(shù)加法法則，有理數(shù)乘法法則的歸納也就順理成章了.“向后轉(zhuǎn)模型”的舉出，更是讓學(xué)生對“負(fù)負(fù)得正”深信不疑，學(xué)習(xí)熱情高漲.通過一系列數(shù)學(xué)活動，學(xué)生學(xué)會把實際語言、圖形語言、符號語言相互轉(zhuǎn)換，發(fā)展用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力、數(shù)學(xué)表示、概括歸納能力，感受數(shù)形結(jié)合、化歸、模型化、類比和分類討論思想.

1.鞏子坤.“負(fù)負(fù)得正”教學(xué)的有效模型［J］.中學(xué)版·教學(xué)參考，2010（1）.

2.呂學(xué)禮.怎樣講負(fù)負(fù)得正［J］.數(shù)學(xué)通訊，1990（9）.Z