對2014年高考四川卷壓軸題的探討

黃 鵬

（西南大學附屬中學 重慶 400700）

2014年高考四川卷壓軸題是一道典型的力電綜合試題，考查了帶電粒子在復合場中的運動、運動的合成與分解、閉合電路歐姆定律、洛倫茲力、二力平衡和圓周運動等.據統計全省近30萬名考生中，只有30人全對，而且19分的滿分，全省平均分卻只有3.9分，滿分率不到萬分之一.這引起了筆者的注意，在研究過程中發現了兩個問題，提出來與大家探討，原題如下.

1 題目

如圖1所示，水平放置的不帶電的平行金屬板p和b相距h，與圖示電路相連，金屬板厚度不計，忽略邊緣效應.p板上表面光滑，涂有絕緣層，其上O點右側相距h處有小孔K；b板上有小孔T，且O和T在同一條豎直線上.圖示平面為豎直平面.質量為m，電荷量為－q（q＞0）的靜止粒子被發射裝置（圖中未畫出）從O點發射，沿p板上表面運動時間t后到達K孔，不與板碰撞地進入兩板之間.粒子視為質點，在圖示平面內運動，電荷量保持不變，不計空氣阻力，重力加速度大小為g.

（1）求發射裝置對粒子做的功；

（2）電路中的直流電源內阻為r，開關S接“1”位置時，進入板間的粒子落在b板上的A點，A點與過K孔豎直線的距離為l.此后將開關S接“2”位置，求阻值為R的電阻中的電流強度；

（3）若選用恰當直流電源，電路中開關S接“1”位置，使進入板間的粒子受力平衡，此時在兩板間某區域加上方向垂直于圖面的、磁感應強度大小合適的勻強磁場（磁感應強度B的取值范圍只能在0～），使粒子恰好從b板的T孔飛出，求粒子飛出時速度方向與b板面的夾角的所有可能值（可用反三角函數表示）.

圖1

解析：（1）、（2）略.

（3）由題意知此時在板間運動的粒子重力與電場力平衡，當粒子從K進入板間后立即進入磁場做勻速圓周運動，如圖2所示.

圖2

粒子從D點出磁場區域后沿DT做勻速直線運動，DT與b板上表面的夾角為題目所求夾角θ，磁場的磁感應強度B取最大值時的夾角θ為最大值θm，設粒子做勻速圓周運動的半徑為R，有

過D點作b板的垂線與b板的上表面交于G，由幾何關系有

當磁感應強度B逐漸減小，粒子做勻速圓周運動的半徑R則隨之變大，D點向b板靠近，DT與b板上表面的夾角θ越變越小，當D點無限接近于b板上表面時，粒子離開磁場后在板間幾乎沿著b板上表面從T孔飛出板間區域，此時Bm＞B＞0滿足題目要求，夾角θ趨近θ0，即

2 關于答案的運算

有觀點認為參考答案上求θm的運算過程一句話帶過，但實際上那個計算過程非常麻煩.真是這樣的嗎？聯立式（1）～（4）并應用給出的條件

因為這個方程多數人只想到換元作為二次方程來解，這當然很難解出.其實可以用數學對應關系解決，將方程左邊分式的分子和分母同時除以5，可得

3 模擬命題過程

根據題目的設置可以猜想命置第（3）問的步驟.

（1）設置一個直角三角形，如圖3所示，邊長分別是2，5，，將AC邊置于下極板，并使A點與T點重合；

圖3

圖4

（4）隨著B的減小，與上板相切于K點的軌跡圓半徑R增大，其過下板T點的切線與板面的夾角θ減小，可見夾角θ范圍是0＜θ≤arcsin，然后逆向思維，將B范圍設置已知條件，反過來求角度條件.

4 本題的爭議和建議

原題中“某區域加上……勻強磁場”并沒有限定磁場區域的邊界位置和形狀，由題意知在板間運動的粒子重力與電場力平衡，當粒子從K進入板間后在磁場中做勻速圓周運動，在磁場外做勻速直線運動.若磁場的區域形狀如圖5（a）所示，則粒子可以垂直下板從T飛出；若磁場的區域形狀如圖5（b）所示，則粒子可以斜向右下方從T飛出.可見，適當調整磁場區域的邊界位置和形狀，可使粒子從T以任意任意方向飛出，所以θ的范圍應是：0＜θ≤90°.

圖5

原題中也沒有限制粒子進入板間后可否與極板碰撞，若發生彈性碰撞，如圖6所示，則粒子可以經一次或多次碰撞后從T飛出，所以θ的范圍也會是：0＜θ≤90°；若發生非彈性碰撞，碰撞后圓周運動半徑將會減小，情況將會更加復雜，這里不再展開討論.

圖6

顯然以上討論的兩種情況都不是出題者的本意，造成這種爭議的原因是：由于軌跡圓大小的不同，使對應的磁場邊界難以描述，所以出題者用“某區域加上……勻強磁場”來描述，但恰恰就是這個含糊地描述，造成了磁場邊界的無限可能性.其實出題者只考慮了一個軌跡圓的可能情況.因此建議在以后使用該題目時，在第（3）問附加上：在板間粒子只做了一次圓周運動且未與極板相碰.

5 啟示

從本題可以看出壓軸題設計的一大特點：注重考查數學工具的靈活運用.應用數學知識解決物理問題的能力是高考考查的5大能力之一，今年各套高考試卷均有體現，比如重慶卷、安徽卷壓軸題等都需要較強的數學能力，所以在平時的教學中我們要有意識的加強對數學工具應用的引導，以期逐步提高學生的這種必要能力.

本題是用標準的逆向命題方式命置而成，已知磁場反過來求角度條件，但是邏輯上“多對一”，不能反過來“一對一”地唯一確定命題人的那個思路滿足的條件，這是邏輯層次出現了問題.一般來說，在確定磁場及邊界的情況下，推導出某一帶電粒子運動的結果是唯一的；但是如果涉及到由粒子運動的某一結果反推磁場邊界的問題，可能性是非常多的.因此我們在設計這類試題時要尤其精心和細心，科學理性的根基和精髓，就是邏輯的嚴密性，高考壓軸題更應該基于此而作.

以上就是本人對2014年高考四川卷壓軸題的一些粗淺認識，望各位同行批評和指正.

1 葉兵.2014年全國高考物理壓軸題賞析.物理教學，2014（8）：56～60

2 侯賣生.對2013年高考新課標全國卷Ⅰ第23題的賞析.物理教師，2014（9）：89