“三角函數的概念”教學實錄與思考

? 內蒙古赤峰學院數學與計算機科學學院 譚 波 李婉瑜 周 惠 湯 獲

“三角函數的概念”是人教A版(2019年)必修第一冊第五章第二節的內容.本節課的內容起著承上啟下的作用,承接初中階段的銳角三角函數和高一階段第一章集合的內容,為學生后續學習三角函數的恒等變換、三角函數的圖象與性質等內容作鋪墊,同時又滲透了數形結合、轉化與化歸的數學思想,培養學生的抽象能力、建模能力以及利用信息技術解決實際問題的能力.近期,筆者在內蒙古赤峰市S中學見習,觀摩了A教師一節“三角函數的概念”課,現結合教學過程實錄提出一些思考.

1 教學過程

1.1 回顧舊知,概念引入

師:同學們,我們在初中用什么函數模型刻畫勻速直線運動、自由落體運動和拋物線運動?

生:一次函數和二次函數.

師:在客觀世界中,許多運動有著循環往復、周而復始的規律,我們把這種規律稱為周期性.今天我們以圓周運動為例,學習周期性現象的函數模型.

1.2 理解感悟,概念形成

師:如圖1,圓上的點P以A為起點做逆時針旋轉,旋轉一周后,又回到了原來的位置,這體現了函數的什么性質?

圖1

生:周期性.

師:點在運動時,影響其位置的因素有哪些?

生:角、圓的半徑和圓心的位置.

師:以點O為圓心,1為半徑畫弧形成的單位圓,圓上任意一點的位置僅與角度有關.

師:要建立一種模型刻畫函數關系,點的位置要用什么表示?

生:實數.

師:那下一步應該怎么做?

生:建立平面直角坐標系.

師:如圖2,以O為原點,OA為x軸的非負半軸,建立平面直角坐標系,則A(1,0).設點P的坐標為(x,y).

圖2

1.3 建構課堂,師生探究

師:對于任意角,它的終邊與單位圓交點的橫坐標和縱坐標是否唯一確定?(通過幾何畫板演示.)

師:通過演示發現,當角變化時,交點的坐標也隨之變化.

師:對于任意角,都有唯一的值與之相對應.那么這種對應關系叫什么?

生:函數.

師:初中我們學過銳角三角函數,它是如何定義的呢?

圖3

探究2:如何定義任意角的三角函數?

設α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y).

①把點P的縱坐標叫做α的正弦函數,記作sinα,即y=sinα;

②把點P的橫坐標叫做α的余弦函數,記作cosα,即x=cosα;

生:不能.因為x≠0.

1.4 鞏固新知,課堂小結

師:對的,由于終邊相同,因此它們對應的三角函數值相同.這體現了三角函數的周期性.

生:設點坐標,過點P和P0,作x軸的垂線,利用相似三角形關系,可以得出比值.

師:我們寫出證明過程.

圖4

師:由習題及勾股定理可知,只要角終邊上任意一點的坐標已知,就可以求得該角的三角函數值.這是求三角函數值的另一種方法——“終邊定義法”.

2 思考

(1)創設問題情境,培養抽象思維

三角函數的概念涉及幾何與代數兩方面內容,是本章的教學難點.部分學生缺乏數學抽象思維,針對這種情況,筆者建議采用情境教學法引入概念,通過創設生活情境,加深學生的學習體驗,將抽象的函數概念形象化,有助于達到事半功倍的教學效果.比如,在三角函數概念引入前可創設問題情境:“同學們在日常生活中坐過摩天輪嗎?”(通過PPT展示倫敦眼的圖片)“摩天輪在轉動的過程中,座椅離地面的高度會變化,那么如何描述游客所在的位置?”通過這些情境的創設,有助于學生更好地理解三角函數的概念.

(2)引入數學文化,拓展學生視野

數學文化應融入數學教學活動.在日常教學活動中,教師應有意識地結合教學內容滲適相應的數學文化,引導學生了解數學的發展歷程,向學生闡述學習三角函數的必要性,讓學生更容易掌握三角函數的概念.比如,在引出三角函數的概念后,教師可向學生介紹一些相關數學史:公元6世紀,印度數學家阿耶波多使用了“半弦”和“余角的正弦”,我們現今學習的“正弦”和“余弦”就源于此;古代阿拉伯天文學家使用“橫影”和“豎影”,現今的“余切”和“正切”即源于此.三角函數數學史的引入,有利于學生了解三角函數的發展歷程.

(3)注重深度學習,組織概念教學